Kapitel 6. Nichtlineare Gleichungen. 6.1 Einführung. Problem: Idee: Beispiel:

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1 Kapitel 6 Nichtlineare Gleichungen 6. Einführung Problem: Gesucht sind Lösungen nichtlinearer Gleichungen bzw. Systeme, das heißt es geht beispielsweise um die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms oder einer stetigen Funktion. Idee: Man wende ein iteratives Verfahren an, das heißt, man starte mit einem günstigen Startwert x 0 und berechne eine bessere Näherungslösung x nach einer gewissen Vorschrift, zum Beispiel durch x k+ = F (x k ), k =0,, 2,... (die Funktion F ist in diesem speziellen Fall nur von x k abhängig, es ist auch möglich, das sie außerdem noch von x k,x k 2,... abhängt, nötig wird dabei allerdings eine Vorgabe weiterer Startwerte). Wir betrachten das folgende Beispiel: Beispiel: Gesucht ist eine Lösung der Gleichung Setzen wir nun e x x =0. F (x) =:e x, so ist also ein x gesucht, so dass F (x )=x. Die Lösung dieses Problems basiert auf dem Banach schen Fixpunktsatz (Satz 3.2), der besagt: Ist die Funktion F : D D, D R n, eine Kontraktion, das heißt, existiert eine Lipschitz-Konstante 0 <L<so,dass F (x) F (y) L x y für alle x, y D gilt, so besitzt F genau einen Fixpunkt x D und die Folge {x k } k 0 mit x k = F (x k ) mit beliebigem Startwert x 0 D konvergiert gegen x. Es ist zunächst sicherzustellen, dass der Banach sche Fixpunktsatz überhaupt in unserem Beispiel anwendbar ist. Wir müssen also ein Intervall D R finden, für das F eine Kontraktion ist. Wir betrachten dazu zunächst das Intervall [0, ]. Da F (0) =, F() = e

2 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Darstellung von f(x) =e x und f(x) =x (siehe Beispiel) gilt, ist F eine Abbildung von [0, ] in [0, ]. Nötig für die Kontraktionseigenschaft ist die Existenz einer Konstanten L so, dass F (x) F (y) x y L<. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein Wert ξ [0, ] so, dass F (x) F (y) x y = F (ξ) gilt, das heißt man kann wählen. Wegen folgt L = max ξ [0,] F (ξ) F (ξ) = e ξ = e ξ L = e 0 =. Damit ist das betrachtete Intervall zu groß, F ist in [0, ] keine Kontraktion. Durch Verkleinerung des Intervalls (insbesondere an der linken Intervallgrenze, da die Funktion F streng monoton fallend ist) auf das Intervall [0.2, ] und anschliessende analoge Rechnung erhält man L = e 0.2 = <, also muss im Intervall [0.2, ] ein Fixpunkt existieren. Anwendung des Banach schen Fixpunktsatzes auf die Funktion F :[0.2, ] [0.2, ] mit Startwert 0.5 liefert dann eine Berechnungsvorschrift x k = F (x k ), k =, 2, 3,... und explizit x k = e x k. Nach Aufruf der folgenden MAPLE-Prozedur erhält man die im Anschluss aufgeführten Ergebnisse: > printlevel:=0; > x := 0.5; > for j fromto30do x:=evalf(exp( x)); print(j, x) end do;

3 84 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Fazit: x x x x x x x Der Banach sche Fixpunktsatz selbst kann schon für die Entwicklung eines Iterationsverfahrens benutzt werden. 6.2 Konvergenzordnung und Fehlerabschätzung Wie gut konvergieren die (mittels des Banachschen Fixpunktsatzes) gewonnenen Iterationsverfahren? Satz 6.: (a-prori Fehlerabschätzung) Sei F : D D eine Kontraktion, D R n, und D x = F (x )(dasheißtx ist Fixpunkt der Abbildung F ) sowie die Iterationsvorschrift x k = F (x k ),k=, 2,... mit Startwert x 0 D gegeben. Dann gilt die sogenannte a-priori-fehlerabschätzung x x k Lk L x x 0. Beweis: Es gilt für m N x k+m x k = x k+m x k+m + x k+m x k+m 2 + x k+m 2 + x k x k+m x k+m + x k+m x k+m x k+ x k = = k+m µ=k m+k µ=k k+m µ=k x µ+ x µ F (x µ ) F (x µ ) L µ x x 0 k+m = x x 0 µ=k L µ m = L k x x 0 L ν L< = L k x x 0 Lm L. ν=0

4 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 85 Dann folgt durch Grenzübergang: x x k = lim x k+m x k m Lk L x x 0. Die a-priori-fehlerabschätzung gestattet also eine ungefähre Angabe der benötigten Iterationsschritte zur Unterschreitung einer vorgegebenen Toleranz. Satz 6.2: (a-posteriori-fehlerabschätzung) Mit den Voraussetzungen wie in Satz 6. gilt die a-posteriori-fehlerabschätzung x x k L L x k x k, k =, 2,.... Beweis: Die Gültigkeit der Abschätzung folgt aus der Tatsache, dass (Idee analog zu oben) x k+m x k k+m µ=k x µ+ x µ und außerdem x µ+ x µ L µ k+ x k x k für µ = k, k +,k+2,..., k + m gilt. Das liefert Beispiel: x k+m x k k+m µ=k k+m L µ k+ x k x k = x k x k µ=k L µ k+ m = x k x k L µ+ L< = x k x k L Lm. L µ=0 }{{} L m L Wir betrachten erneut das obige Beispiel mit F (x) =e x. Mit dem oben bereits gefundenen L = liefert die a-priori-fehlerabschätzung x x }{{} 0.5 x = Für die a-posteriori-fehlerabschätzung hingegen erhält man x x x 30 x 29 = Die a-posteriori-fehlerabschätzung ist im allgemeinen mit Abstand besser!

5 86 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Definition 6.3: (Konvergenzordnung) Ein Iterationsverfahren besitzt die Konvergenzordnung p, falls die von ihm erzeugte Folge {x k } so gegen den Grenzwert x konvergiert, dass x k+ x lim k x k x p <K, 0 <K<, p gilt, und K<für p =.Für p = nennt man die Konvergenz linear, für p = 2 heißt die Konvergenz quadratisch. Satz 6.4: Sei D = [a, b] R und F : D D. Weiter sei F auf D eine Kontraktion und einmal stetig differenzierbar mit F (x) 0für alle x D. Dann gilt x k+ x lim k x k x = F (x ). Dabei war x k+ = F (x k ),x 0 D der Startwert und x = F (x ) der Fixpunkt der Kontraktion. Bemerkung: Da F (x) stetig ist, ist diese Ableitung auf einem abgeschlossenen Intervall beschränkt und man erhält in diesem Fall sofort lineare Konvergenz für F (x ) <. Beweis: Sei x 0 x, dann folgt, dass x k x für k gilt, denn angenommen es existiert ein k so, dass x k = x und x k x gilt. Dann folgt F (x k ) F (x k )=x k x k =0. () Andererseits ist aber nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung für ein ξ [a, b]. Da weiter nach Voraussetzung F (x k ) F (x k )=(x k x k ) F (ξ) (2) x }{{} k x k }{{} =x x 0 und F (x) 0 x [a, b] gilt, ergibt sich aus () und (2) ein Widerspruch, das heißt die Annahme war falsch. Nutzt man erneut den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, so erhält man mit ε k := x k x ε k+ := x k+ x = F (x k ) F (x ) = F (x + ε k ) F (x ) Taylor = F (x )+ε k F (x + θ ε k ) F (x ) (θ (0, )) = ε k F (x + θ ε k ). Da nach Voraussetzung ε k = x k x 0 galt, folgt aus der obigen Gleichungskette ε k+ ε k = F (x + θ ε k ).

6 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 87 Für k strebt ε k gegen 0 (Fixpunkteigenschaft von x ), und aufgrund der Stetigkeit von F erhalten wir ε k+ lim = F (x ). k ε k Damit ist der Beweis beendet. Was ist aber zu tun, wenn F (x ) = 0 gilt? Satz 6.5: Sei F :[a, b] [a, b] gegeben und auf dem Intervall [a, b] eine Kontraktion sowie zweimal stetig differenzierbar. Ferner sei F (x ) = 0 und F (x) 0für alle x [a, b]. Dann gilt x k+ x lim k (x k x ) 2 = 2 F (x ), das heißt, es liegt quadratische Konvergenz vor. Beweis: Es gilt x k+ x = F (x k ) F (x ) = F (x +(x k x )) F (x ) Taylor = F (x )+(x k x ) F (x ) + }{{} 2 (x k x ) 2 F (x + θ (x k x )) F (x ) =0 = 2 (x k x ) 2 F (x + θ (x k x )) mit einem θ (0, ).Wir zeigen wieder, dass für einen Startwert x 0 x auch alle weiteren x k,k ungleich x sind: Angenommen, es gäbe ein ein k N mit x k x und x k+ = x. dann folgt aus der obigen Rechnung, dass 2 (x k x ) 2 F (x + θ (x k x )) = 0 im Widerspruch zu (x k x ) 0 und F (x) 0für alle x [a, b]. Also ist eine Division durch den Faktor (x k x ) 2 erlaubt und die obige Gleichung ist äquivalent zu x k+ x (x k x ) 2 = 2 F (x + θ (x k x )). Da F nach Voraussetzung stetig in [a, b] ist und die Folge {x k } gegen x konvergiert, ergibt sich lim F (x + θ (x k x )) = k 2 F (x ), damit ist der Beweis beendet.

7 88 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 6.3 Das Newton-Verfahren Es sei f(x) im Intervall[a, b] stetig differenzierbar und es existiere eine Nullstelle von f(x) in [a, b]. Idee: Man wähle einen Startwert x 0 [a, b]. Die Werte x k+ (k =0,, 2,...) werdendannso gewählt, dass sie jeweils die Schnittpunkte der x-achse mit den Tangenten an die Funktion f(x) im Punkt x k sind. f(x) a x 0 x b Geometrische Darstellung des Newton-Verfahrens Allgemein lautet die Tangentengleichung für die zu betrachtende Tangente y = f(x k )+(x x k ) f (x k ), dabei soll nun der Wert, für den y = 0 gilt, der nächste Iterationspunkt sein, das heißt, es gilt y = 0 an der Stelle x k+.damitlässt sich x k+ durch Umstellen der Gleichung berechnen: 0=f(x k )+(x k+ x k ) f (x k ) = x k+ = x k f(x k) f (k =0,, 2,...). (x k ) Somit ergibt sich hier direkt die Iterationsformel des Newton-Verfahrens. Dieses Verfahren ist eine Fixpunktiteration. Setzt man F (x) =x f(x) f (x) so ist x mit gesucht, denn F (x )=x F (x )=x x f(x ) f (x ) = x f(x ) f (x ) =0. Nötige Voraussetzung bei der Anwendung des Newton-Verfahrens ist, dass f (x) 0 gilt für alle x k,k=0,,...

8 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 89 Satz 6.6: Sei f C 2 [A, B], f:(a, B) R, (A, B) R. Für ein Intervall (a, b) (A, B) gelte (i) f (x) 0 x [a, b], d.h., f ist in [a, b] monoton. (ii) Es ist f(x) f (x) f (x) 2 L< x [a, b]. (Diese Bedingung sichert die Kontraktionseigenschaft für F (x).) (iii) Es sei x f(x) f := F (x) [a, b] (x) d.h., F (x) ist eine Abbildung von [a, b] in[a, b]. x [a, b], Dann existiert genau eine Nullstelle x [a, b] und für einen beliebigen Startwert x 0 (a, b) konvergiert das Newton-Verfahren gegen x mit F (x )=x und die Folge {x k } ist mindestens quadratisch konvergent. Bemerkung: Ist x eine Nullstelle von f C 2 [A, B] mitf (x ) 0, dann existiert immer ein Intervall (a, b) mitx (a, b) so, dass (i)-(iii) erfüllt sind. Die Eigenschaft (i) folgt für ein Intervall [x ε, x + ε] aus der Stetigkeit von f. Aufgrund der Stetigkeit von f auf diesem abgeschlossenen Intervall lässt sich eine Abschätzung der Form f (x) C mit positiver Konstante C finden, da außerdem f (x ) 0 vorausgesetzt war, ist auf diesem Intervall auch eine Abschätzung der Form mit positiver Konstante c gültig. Damit gilt f (x) c f(x) f (x) f (x) 2 f(x) C c 2. Da f(x ) = 0 war, kann man ein ε finden, für das f(x + h) < c2 C für alle h <εgilt. Damit gilt auch Eigenschaft (ii). Wählt man dann speziell ε>0so,dassfür alle x [x ε, x + ε] die Eigenschaft c f (x) 2c (c >0) gilt (auch das ist aufgrund der Stetigkeit von f und der daraus folgenden Beschränktheit auf abgeschlossenen Intervallen immer möglich) und ist o.b.d.a. f (x) > 0für alle x [x ε, x + ε], dann ergibt sich (da x ja nach Voraussetzung die Nullstelle von f ist), dass f(x) < 0 für x<x, f(x) > 0 für x>x,

9 90 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN (streng monotones Wachstum!). Für x [x,x + ε] gilt dann x f(x) [ f x f(x),x f(x) ] (x) c 2c [ x f(x) + x x,x f(x) ] + x x. c 2c Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung und der Stetigkeit von f, folgt außerdem für eine Zwischenstelle ξ (x,x) =0 {}}{ f(x) f(x ) x x = f (ξ) = c x x f(x) 2c x x, so dass x f(x) [ f (x) x x x,x + ] [ 2 x x x ε, x + ε ]. 2 Analog folgt für x [x ɛ, x ] x f(x) [ f (x) x ε ] 2,x + ε. Damit ist auch Eigenschaft (iii) erfüllt. Beweis von Satz 6.6: ) Nach Eigenschaft (iii) ist F (x) eine Abbildung von [a, b] in[a, b]. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein ξ (x, y) mit F (x) F (y) = F (ξ) x y F (x) F (y) = F (ξ) x y. F ist eine Kontraktion, wenn wir zeigen können, dass gilt. Aus folgt max ξ [a,b] F (ξ) L< F (x) =x f(x) f (x) F (ξ) = f (ξ) 2 f(ξ) f (ξ) f (ξ) 2 = f(ξ) f (ξ) f (ξ) 2. Nach Eigenschaft (ii) ist F (x) also eine Kontraktion. Da F eine Abbildung von [a, b] in [a, b] ist, existiert nach dem Banach schen Fixpunktsatz also ein Fixpunkt x [a, b] mit F (x )=x.damiterhält man unter Berücksichtigung der Eigenschaft (i), f (x ) 0, dass x f(x ) f (x ) = x f(x ) f (x ) =0 = f(x )=0 gilt, das heißt, der Fixpunkt x ist gleichzeitig die gesuchte Nullstelle der Funktion f im Intervall [a, b]. Die Eindeutigkeit das Fixpunktes folgt aus Satz 3.2.

10 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 9 2) Das Newton-Verfahren hat die Konvergenzordnung 2, denn eine Taylor-Entwicklung der Funktion f (Entwicklungspunkt x k ) ergibt sich zu f(x ) = f(x k +(x x k )) = f(x k )+f (x k ) (x x k )+ 2 f (x k + θ (x x k )) (x x k ) 2, wobei θ (0, ) gilt. Wegen f(x ) = 0 ergibt sich mit der Iterationsformel aus der Taylor-Entwicklung x k+ = x k f(x k) f (x k ) 0=f(x k )+f (x k ) (x x k )+ 2 (x x k ) 2 f (x k + θ (x x k )) f(x k) f (x k ) +(x x k ) = 2 (x x k ) 2 f (x k + θ (x x k )) f }{{} (x k ) x x k+ x x k+ = 2 (x x k ) 2 f (x k + θ (x x k )) f (x k ) = x x k+ x x k 2 = 2 f (x k + θ (x x k )) f (x k ) x x k+ = lim k x x k 2 = 2 f (x ) f (x ) < das heißt, es ergibt sich die Konvergenzordnung 2. Beispiel: Gesucht ist die m-te Wurzel aus K>0, also die Nullstelle der Funktion f(x) =x m K, (m 2). Diese ist im Intervall (0, ) eindeutig. Zunächst ist vor der Anwendung des Newton-Verfahrens sicherzustellen, dass alle in Satz 6.6 genannten Bedingungen erfüllt sind. Es ist also zuerst ein geeignetes Intervall zu wählen, so dass dort (i)-(iii) gelten. (i) Es gilt f (x) =m x m 0 x>0. (ii) Es gilt f(x) f (x) f (x) 2 = (xm K) m(m ) x m 2 m 2 x 2m 2 = (xm K) (m ) m x m = m ( m Kx ) m. Um Eigenschaft (ii) aus Satz 6.6 zu erfüllen, muss dieser Quotient durch eine Konstante L<abgeschätzt werden können. Es ist K x m für K 2x m x m K 2.

11 92 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN F (x) = x/2 + /x (siehe Beispiel) Damit ist beispielsweise das Intervall [a, b] mita m K 2 und b = zulässig. Wir wählen ein a mit K 2 am <K. (iii) Zu überprüfen ist, ob für dieses Intervall [a, b] die Bedingung (iii) gilt, d.h., ob F (x) := x f(x) f (x) = x xm K m x m = x x m + K m x m = m m x + K m x m eine Abbildung von [a, b] in[a, b] ist.f (x) ist monoton wachsend für x m >K(x m K) und monoton fallend für a m x m K (a x m K), denn es ist F (x) = m m + K m ( m +) x m = m ( m Kx ) m. Zu Veranschaulichung betrachte die folgende Skizze (m =2,K=2,f(x) =x 2 2, F(x) = 2 x + x ): Es gilt (wieder im allgemeinen Fall!) für m K/2 a< m K: m F (a) = m a + K m a m a m <K m m a + a m m a m m = m a + a m = a und für x = m K ( F ) m K = m m m K + ( m = m m m K + m ( K m K = m m m K + m m K = m K > a. ( ) m ) m m K ) m m K

12 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 93 Alle nötigen Bedingungen aus Satz 6.6 sind somit erfüllt auf dem Intervall [a, ). Die Iterationsvorschrift lautet in diesem Fall explizit x k+ = x k f(x k) f (x k ) = x k xm k K m x m k = ( ) K m x m +(m ) x k. k Im Fall m = 2 (Quadratwurzel) ergibt sich daraus speziell x k+ = [ ] K 2 + x k, x k wobei z.b. der Startwert x 0 = K gewählt werden kann. Nach dieser Formel berechnet ein Taschenrechner/Computer die Quadratwurzel. Für die Funktion f(x) =x 2 2 mit dem Startwert x 0 = 2 und der Iterationsvorschrift x k+ = [ ] x k k =0,, 2,..., x k finden wir und x 2 = 2 [ x 3 = 2 [ x =.5, + 3 ] = = 7 2 = ] = = = , dabei ist die Berechnung im dritten Iterationsschritt bereits auf 6 Nachkommastellen genau! 6.4 Intervallschachtelung, Regula falsi, Sekantenmethode Das Newton-Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle ist nicht immer anwendbar (z.b., wenn f nicht differenzierbar ist. Wir betrachten daher noch einige weitere Methoden zur Berechnung der Nullstelle einer Funktion. Es sei im Folgenden f : R R eine nichtlineare, stetige Funktion. Intervallschachtelung Sei das Intervall I 0 = [a, b] bekanntmitf(a) f(b) < 0, das heißt in einem der beiden Endpunkte ist der Funktionswert negativ, im anderen positiv. Für stetiges f existiert damit eine Nullstelle von f in [a, b].

13 94 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Algorithmus: O.B.d.A. sei f(a) < 0, f(b) > 0. Man geht dann in der folgenden Weise vor: (i) Solange b a >toleranz. Berechne x = a +(b a) Berechne f(x). Falls f(x) < 0gilt,sosetzea := x. Falls f(x) > 0gilt,sosetzeb := x. (ii) Drucke a, b. Ist L 0 = b a, so ergibt sich nach k Iterationsschritten L k = b a 2 k, also x k x b a 2 k+, dabei bezeichnet x k jeweils den Mittelpunkt des Intervalls I k. Die Fehlerschranke nimmt mit dem Faktor 2 ab, die Konvergenzordnung ist. Methode der Regula falsi Voraussetzung: Das Startintervall [a, b] mitf(a) f(b) < 0 ist bekannt. Setze dann x 0 := a, x := b. Idee: Man bestimme den Wert x 2 als Nullstelle der Geraden g durch die Punkte (x 0,f(x 0 )) und (x,f(x )), das heißt, g besitzt die Gestalt Für g (x 2 ) = 0 folgt g (x) =f(x 0 )+(x x 0 ) f(x ) f(x 0 ) x x 0. f(x 0 )+(x 2 x 0 ) f(x ) f(x 0 ) =0 x x 0 x x 0 x 2 = x 0 f(x 0 ) f(x ) f(x 0 ) = x 0 f(x ) x f(x 0 ). f(x ) f(x 0 ) Es sei f(x 0 ) < 0, f(x ) > 0. Falls f(x 2 ) > 0gilt,sowähle I I := [x 2,x ]. Man kann so folgenden Algorithmus verwenden: Algorithmus: := [x 0,x 2 ], sonst wähle Bei gegebenen x 0 <x,y 0 = f(x 0 ),y = f(x )mity 0 y < 0 berechne man für k =, 2, 3,... x k+ := x k y k x k y k y k y k, y k+ := f(x k+ ). Falls dann y k+ = 0 (aufgrund von Rundungsfehlern in der Realität wohl besser y k+ < toleranz) gilt, dann stoppt der Algorithmus, x k+ ist dann die gesuchte Nullstelle.

14 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 95 f(x) x 0 x 2 x Geometrische Darstellung der Regula falsi Methode Ansonsten falls y k+ y k < 0 gilt, so setze x k := x k,y k := y k falls y k+ y k > 0 gilt, so vertausche die Punkte (x k+,y k+ ) und (x k,y k ) Um die Konvergenzordnung dieser Methode zu bestimmen, benötigen wir folgendes Lemma. Lemma 6.7: Seien x 0,x,x 2 R mit x 0 <x <x 2.Istf C 2 [x 0,x 2 ], so existiert eine Zwischenstelle ξ [x 0,x 2 ]mit f[x 0,x,x 2 ]= 2 f (ξ). Dabei ist f[x 0,x,x 2 ]:= f[x 0,x ] f[x,x 2 ] x 0 x 2 und f[x 0,x ]:= f(x 0) f(x ), f[x,x 2 ]=: f(x ) f(x 2 ), x 0 x x x 2 das heißt, wir erhalten explizit die dividierte Differenz zweiter Ordnung ( ) ( ) f(x0 ) f(x ) f(x ) f(x 2 ) x 0 x x x 2 f[x 0,x,x 2 ] = x 0 x 2 f(x 0 ) = (x 0 x )(x 0 x 2 ) + f(x ) (x x 0 )(x x 2 ) + f(x 2 ) (x 2 x 0 )(x 2 x ). Beweis: Für beliebiges a [x 0,x 2 ] gilt x f(x) =f(a)+ f (t) dt a }{{} f (t) f(x) p.i. x x = f(a)+f (t) (t x) f (t) (t x) dt t=a a x f(x) =f(a)+f (a) (x a)+ f (t) (x t) dt. a ( )

15 96 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Setzt man jetzt ω 0 = (x 0 x )(x 0 x 2 ), ω = (x x 0 )(x x 2 ), ω 2 = so erhält man für die dividierte Differenz zweiter Ordnung (x 2 x 0 )(x 2 x ), f[x 0,x,x 2 ] = f(x 0 ) ω 0 + f(x ) ω + f(x 2 ) ω 2 ( ) 2 x k [ = f(a)+f (a) (x k a)+ f (t) (x k t) dt ] ω k. k=0 Unter Verwendung der Tatsache, dass ω 0 + ω + ω 2 = (x 0 x )(x 0 x 2 ) + (x x 0 )(x x 2 ) + (x 2 x 0 )(x 2 x ) = (x x 2 ) (x 0 x 2 )+(x 0 x ) (x 0 x )(x 0 x 2 )(x x 2 ) = 0 sowie ω 0 x 0 + ω x + ω 2 x 2 = x 0(x x 2 )+x (x 2 x 0 )+x 2 (x 0 x ) (x 0 x )(x 0 x 2 )(x x 2 ) = x 0x x 0 x 2 + x x 2 x x 0 + x 2 x 0 x 2 x (x 0 x )(x 0 x 2 )(x x 2 ) = 0 a gilt, ergibt sich 2 [ f(a)+(xk a) f (a) ] ω k =0, das heißt, es folgt k=0 f[x 0,x,x 2 ]= 2 x k ω k f (t) (x k t) dt. k=0 Wählt man jetzt a = x,dannerhält man mit x 0 x f (t) x 0 t x 2 (x 0 x )(x 0 x 2 ) dt + f x 2 t (t) (x 2 x 0 )(x 2 x ) dt = x K(t) = a t x 0 (x 0 x )(x 0 x 2 ) 0 für x 0 t x, x 2 t (x 2 x 0 )(x 2 x ) 0 für x <t x 2. x 2 x 0 f (t) K(t) dt Die Funktion K(t)heißtKern, in diesem Fall ist der Kern positiv, dies wird in der folgenden Skizze deutlich: Wegen ( ) x 2 min f (x) K(t) dt x [x 0,x 2] x 0 x 2 x 0 ( f (t) K(t) dt max f (x) x [x 0,x 2] ) x 2 x 0 K(t) dt

16 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 97 x 2 x 0 K(t) x 0 x x 2 Kern K(t). folgt dann aus der Stetigkeit von f f[x 0,x,x 2 ]=f (ξ) x 2 K(t) dt mit einer Zwischenstelle ξ [x 0,x 2 ]. Satz 6.8: x 0 }{{} = 2, vgl.skizze Sei f C 2 [a, b], x 0 = a, x = b und f(x 0 ) f(x ) < 0. Sei weiterhin f (x) 0,f (x) 0 für alle x [a, b]. Die Konvergenzordnung der Methode der Regula falsi ist dann lokal mindestens Eins. Bemerkung: Die Bedingung f (x) 0in[a, b] sichert die Monotonie von f. Insbesondere ist dann x eine einfache Nullstelle von f. Falls f (x ) 0 und f (x ) 0, dann existiert immer ein Intervall [ã, b] U ε (x )mitf (x) 0,f (x) 0für alle x [ã, b], da f und f stetig sind. Beweis: Es gilt x k+ = x k f(x k ) x k f(x k ) f(x k ) f(x k ) = x k+ x = (x k x ) f(x k ) (x k x ) f(x k ) f(x k ) f(x k ) = (x k+ x ) (f(x k ) f(x k )) = (x k x ) f(x k ) (x k x ) f(x k ) x k x k x k x k f(x k ) f(x ) f(x )=0 = x k x f(x ) f(x k ) x x k x k x k (x x k ) (x x k ). = (x k+ x ) f(x k) f(x k ) x k x k = f[x k,x,x k ] (x x k ) (x x k ). Nach dem Mittelwertsatz und Lemma 6.7 gilt weiter (x k+ x ) f (η) = 2 f (ξ) (x x k ) (x x k )

17 98 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN mit η, ξ (x k,x k ). Damit folgt durch Umformen x k+ x x k x = 2 f (ξ) f (η) x x k. Aufgrund der Stetigkeit von f und f im Intervall [a, b] existiert eine Konstante M>0mit f (ξ) f (η) <M ξ,η [x k,x k ], das heißt, es folgt x k+ x x k x 2 M x x k. Wegen lim x k = x ergibt sich lineare Konvergenz. k Sekantenmethode Die Sekantenmethode ist eine Modifikation der Methode der Regula falsi. Gegeben seien hier zwei Näherungswerte x 0,x, die die Nullstelle nicht unbedingt einschließen müssen. Idee: Man berechne den Schnittpunkt der Sekante (der Geraden durch die Punkte (x 0,f(x 0 )) und (x,f(x ))) mit der x-achse und erhält so x 2. Im Gegensatz zur Methode der Regula falsi wird jetzt die Iteration ohne Umbenennen der Punkte fortgesetzt, das heißt, man führt den nächsten Iterationsschritt mit den Punkten x und x 2 durch. Es werden immer die letzten beiden Punkte zur Berechnung der neuen Sekante herangezogen. Man erhält zur f(t) x 0 x 3 x 2 x Geometrische Darstellung der Sekantenmethode Berechnung des nächsten Punktes die Iterationsvorschrift ( ) x k x k x k+ = x k f(x k ) = x k f(x k ) x k f(x k ), f(x k ) f(x k ) f(x k ) f(x k ) das heißt formal dieselbe Vorschrift wie bei der Methode der Regula falsi. Voraussetzung ist allerdings, dass f(x 0 ) f(x ) gilt, da sonst der Nenner des auftretenden Bruches nicht definiert ist.

18 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN 99 Satz 6.9: Sei f C 2 [a, b], x 0,x [a, b] und sei x k [a, b] für k =2, 3,... Außerdem gelte f(a) f(b) < 0. Ist weiterhin f (x) 0,f (x) 0für alle x [a, b], dann ist die lokale Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens > (superlineare Konvergenz). Beweis: Aus der Iterationsvorschrift ( ) x k x k x k+ = x k f(x k ) f(x k ) f(x k ) folgt wie im Beweis von Satz 6.8, dass (x k+ x ) f(x k) f(x k ) = ±f[x k,x,x k ] (x x k ) (x x k ) x k x k gilt, dabei ist zu beachten, dass (anders als im Beweis zu Satz 6.8) nicht unbedingt x k < x <x k gilt (deshalb entsteht auf der rechten Seite unter Umständen ein anderes Vorzeichen als im letzten Beweis). Mit dem Mittelwertsatz und Lemma 6.7 erhält man eine Darstellung der Form (x k+ x ) f (η k )=± 2 f (ξ k ) (x x k ) (x x k ) ( ) mit η k,ξ k I k =[min{x k,x,x k }, max{x k,x,x k }]. Sei nun M k := 2 f (ξ k ) f (η k ) <M:= 2 max f (ξ) η,ξ [a,b] f (η) <. Zunächst sehen wir ein, dass x k lokal linear gegen x konvergiert, denn aus ( ) folgt Zur Abkürzung sei jetzt x k+ x x k x M x k x. d k := x k x, k =0,, 2,... Dann ergibt sich aus ( ) d k+ = M k d k d k. Es ist nun zu zeigen, dass für k d k+ c d (+ 5)/2 k (k 0) mit einer Konstante 0 <c< gilt. Mit dem Ansatz d k = γ k d s k erhalten wir aus d k+ = M k d k d k γ k+ d s k = M k d k d k γ k+ d s k = M k d k γ k+ (γ k d s k ) s = M k d k (γ k+ γ s k ) d s2 s k = M k. Für s = 2 ( 5+)folgts 2 s = 0 und daher γ k+ γ s k = M k <M,

19 00 Kapitel 6: NICHTLINEARE GLEICHUNGEN d.h., die Folge γ k ist beschränkt. (Da (d k ) k=0 eine Nullfolge ist, ist für größere s die Beschränktheit der Folge (γ k ) k=0 nicht mehr gesichert.) Also ist d k+ lim k d s k = lim k γ k+ c<. Bemerkung: ) Die Bedingung x k [a, b] für k =2, 3,... in Satz 6.9 ist erfüllt, falls ein d<soexistiert, dass x 0 x M d< und x x M d< mit M = f (ξ) max 2 η,ξ [a,b] f (η) gilt, denn aus (vgl. Beweis zu Satz 6.9) folgt x k+ x M x k x x k x M x k+ x M 2 x k x x k x M x 2 x d 2, M x 3 x d 3, u.s.w.