NEXTLEVEL I, Analysis I

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1 NEXTLEVEL I, Analysis I Hanna Peywand Kiani Wintersemester 9/ Die ins Netz gestellten Kopien der Folien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig. Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt! Übungsaufgaben: Alle Infos, Alles an Material zu Analysis (alte Klausuren, Sprechstunden etc.) unter Kiani: Tel kiani at math.uni-hamburg.de Sprechstunden: Raum 274, SBS95 (Lindwurm)

2 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung Banachscher Fixpunktsatz, Fixpunktverfahren, Newtonverfahren Definition 8.: Sei f : [a,b] R. Jede Lösung ˆx der Fixpunktgleichung heißt Fixpunkt von f. x = f(x) Nullstellenproblem Fixpunktaufgabe Skizze: g(x) = = f(x) := g(x)+x = x Satz 8.) Banachscher Fixpunktsatz in R Sei f : [a,b] [a,b] R Es gelte (f sei selbstabbildend auf [a,b]) f(x) f(y) L x y x,y [a,b] mit einer Kontraktionszahl L <. [a,b]) (f sei kontrahierend auf Dann hat f in [a,b] genau einen Fixpunkt ˆx und die Iteration x n+ := f(x n ) konvergiert ausgehend von jedem Startwert x [a,b] gegen diesen eindeutigen Fixpunkt. Es gelten die Fehlerabschätzungen: x n ˆx Ln L x x x n ˆx L L x n x n a priori Abschätzung a posteriori Abschätzung Beweis: x n+ x n = f(x n ) f(x n ) L x n x n x n+ x n L x n x n L 2 x n x n 2 L n x x

3 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 79 x n x m = x n x n+ +x n+ x n+2 +x n+2 x m +x m x m x n x n+ + x n+ x n x m x m L n x x +L n+ x x + +L m x x L n (+L +L 2 + +L m n ) x x = L n Lm n L x x L n L x x Wegen lim n L n = erhältman einecauchyfolge in R alsokonvergenz ˆx ist ein Fixpunkt von f denn lim x n = ˆx n f(ˆx) ˆx = f(ˆx) x n +x n ˆx f(ˆx) x n + x n ˆx = f(ˆx) f(x n ) + x n ˆx L ˆx x n + x n ˆx ˆx ist eindeutig denn gäbe es einen zweiten Fixpunkt x, so hätte man x ˆx = f( x) f(ˆx) L x ˆx < x ˆx also einen Widerspruch! Fehlerabschätzung: Oben gezeigt für m > n gilt: x n x m Ln L x x Für m folgt die a priori Abschätzung Für n = erhält man x n ˆx Ln L x x x ˆx L L x x x war beliebig aus [a,b] und x = f(x ). Es gilt also Für beliebiges x [a,b] f(x) ˆx L f(x) x L speziell für x = x n erhält man die aposteriori Abschätzung x n ˆx L L x n x n

4 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 8 BEISPIELE: x=cos(x), x =.5, x*= x=cos(x*x), x =.5, 93 Schritte, x* = Fixpunktverfahren x=cos(x*x), x =.95.2 g(x) =arccos(x),x =

5 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung x=exp(x)/2 9 x=.2*exp(x) x= Überprüfung der Selbstabbildungseigenschaft: Sei f : [a,b] R differenzierbar. Bestimme f (x)..fall) f (x) x [a,b] f ist monoton. Es genügt f(a),f(b) [a,b]. 2.Fall) f (x) = für ein(ige) x [a,b] f hat möglicherweise Extrema in [a,b]. Bestimme diese Extrema x,, x k Es genügt f(x ),, f(x k ), f(a), f(b) [a,b]. Überprüfung der Kontraktion: f : [a,b] [a,b] stetig diffb. Mittelwertsatz: es gibt α zwischen x und x 2 mit f(x ) f(x 2 ) x x 2 = f (α) = f(x ) f(x 2 ) = f (α) x x 2 max{ f (x) : x [a,b]} x x 2 x,x 2 [a,b] Bei einer auf (a,b) stetig differenzierbaren Funktion kann also L := max{ f (x) : x [a,b]} gewählt werden.

6 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 82 Ist also f selbstabbildend auf einem Intervall [a,b] und gilt zusätzlich max{ f (x) : x [a,b]} L < so hat f genau einen Fixpunkt in [a,b] und das Fixpunktverfahren x n+ := f(x n ) konvergiert ausgehend von jedem Startpunkt x [a,b] gegen diesen eindeutigen Fixpunkt. Beispiele : s. unten

7 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 83 Newton Verfahren Zu lösen f(x) = Idee : berechne ausghend von einem Startwert x die Nullstelle der Linearisierung t(x) = f(x ) f (x )(x x ) Ergebnis : x := x f(x ) f (x ) Falls Näherung gut genug ist : Stop, sonst wiederhole mit x statt x usw. Man erhält x n+ := x n f(x n) f (x n ) Satz: Konvergenz des Newton Verfahrens Sei f : I :=]x a,x +a[ R dreimal stetig differenzierbar auf I, mit folgenden Eigenschaften f (x) x I, f(x)f (x) (f (x)) 2 f(x ) f (x ) L < x I, ( L) a. Dann hat f genau eine Nullstelle ˆx in I. Die Newtonfolge (x n ) n N konvergiert quadratisch gegen diese Nullstelle. Es gilt und x n+ ˆx K x n ˆx 2 x I x n ˆx f(x n) M < M < min{ f (x) : x I} BEWEIS: Banachscher Fixpunktsatz für g(x) = x f(x) f (x) Wann nicht durchführbar?

8 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 84 BEISPIEL ) Gesucht : Nullstelle von f(x) := x cos(x). f(x) = g(x) := cos(x) = x. Fixpunktverfahren cos(x) = Lösung aus [,] [ π 3, π 3 ] cos(x) > x [ π 3, π 3 ] = Lösung aus I := [,]. Selbstabbildung : g(x) = cos(x) [,] x [,] Kontraktion : g (x) = sin(x) sin( π 3 ) = 3 L x [,] Zum Beispiel: 2 <.8 2 =.9 := x = = x = cos() = = x 2 = cos() cos( π 3 ) = 2 ] = x 3 cos( 2 ) cos(π 6 ) = Newton Verfahren f(x) = x cos(x), f (x) = +sin(x) x n+ := x n f(x) f (x) = x n x n cos(x n ) +sin(x n ) x :=. BEISPIEL 2) Gegeben sei die Funktion f : R R f(x) = x ex 5 a) Untersuchen Sie das Verhalten von f im Unendlichen. b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f. Bestimmen Sie die Extrema von f. c) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von f.

9 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 85 d) Geben Sie geeignete Fixpunktiterationen (d.h. geeignete Iterationsfunktionen, geeignete Startintervalle und die zugehörigen Startwerte) zur Bestimmung der Nullstellen von f an. Überprüfen Sie jeweils die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes. e) Schätzen Sie apriori ab, wie viele Schritte maximal benötigt werden, um die jeweilige Nullstelle bis auf einen absoluten Fehler von maximal 2 zu bestimmen. f) Führen Sie die Iterationen mit den apriori geschätzen Zahlen von Schritten durch und machen Sie eine a posteriori Abschätzung. Lösung: e x a) Mit l Hospital schliesst man lim x 5x = lim e x x 5 ex lim f(x) = lim x( x x 5x ) = = und damit b) Monotonie/Extrema ex lim f(x) = lim (x x x 5 ) = f (x) = ex 5 = x = ln(5). f (x) = ex 5 < x ist strenges lokales Maximum. Hiermit folgt, dass f in I := (,x ) streng monoton wächst und in I 2 := (x, ) streng monoton fällt. c) Anzahl der Nullstellen von f: Zunächst folgt aus f(x) = x ex 5 = unmittelbar x >. Da f nur eine Nullstelle hat, kann f höchstens zwei Nullstellen haben (Rolle). Wegen lim x ± f(x) = und f(x ) = ln(5) > hat f genau eine Nullstelle in I und genau eine Nullstelle in I 2.

10 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 86 d) Fixpunktiterationen: In I : ***************** f(x) = x = φ(x) = ex 5 Wir wissen, dass die Lösung positiv und kleiner als ln(5) =,... ist. Daher liegt der Versuch nahe als Iterationsintervall [a, b] das Intervall [,] zu testen. Die Iterationsfunktion φ ist offensichtlich streng monoton steigend. Es gilt: φ(a) = φ() = /5 > und φ() = e/5 <. Also bildet φ das Intervall [,] auf sich ab. Es gilt φ (x) = ex e/5 < 3/5 =: L. φ ist also auf [,] kontrahierend mit der Kontraktionszahl L:= 5.6. DieIterationkannmitjedemStartwertaus[,]z.Bsp.mit x =.2 gestartet werden. In I 2 : Es gilt f(3) = 3 e3 e3 < denn 5 5 > 2,53 = > 3. Andererseits ist (s.o.) f(ln(5)) >. In der Hoffnung ein angenehmes Iterationsintervall zu erhalten, testet man z.bsp.: f(2) = 2 e2 5 > = > Die gesuchte Nullstelle liegt also im Intervall I := [2,3]. Hier gilt allerdings φ (x) = ex 5 > e2 >. Es muß also eine andere 5 Iterationsfunktion her. f(x) = = x = ex 5 = x = ln(5x) = ln(5)+ln(x) := g(x)

11 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 87 Wir prüfen nun die Vorraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes für g und I. Es gilt g (x) = x 2 =: L x I = [2,3] Die Funktion g ist also kontrahierend auf I mit der Kontarktionszahl L =.5. Außerdem ist g (x) = x > x I = [2,3] Die Funktion g ist also streng monoton steigend auf I. Es ist g(2) = ln() > 2 denn > e 2 und g(3) = ln(5) < 3 denn 5 < e 3. Die Funktion g bildet also I in I ab. DieIterationkannmitjedemStartwertaus[2,3]z.Bsp.mit x = 2.5 gestartet werden. e) Apriori Abschätzung: absoluter Fehler von maximal 2 Für die erste Iteration gilt x n x < Ln L x x = Ln L φ(x ) x = (.6)n Um die Fehlerschranke einzuhalten, genügt es dafür zu sorgen, dass (.6) n <. (.6)n < gilt. Logarithmieren führt zur hinreichenden Bedingung n ln(.6) < ln( ) n > ln(.6) n=5 sollte also genügen. Für die zweite Iteration gilt x n x < L n = L x x = L n L g(x ) x = (.5)n

12 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 88 Um die Fehlerschranke einzuhalten, genügt es dafür zu sorgen, dass (.5) n <. (.5)n < gilt. Logarithmieren führt zur hinreichenden Bedingung n ln(.5) < ln( ) n > ln(.5) = n=4 sollte also genügen. f) Iterationen und a posteriori Abschätzung. Für die erste Iteration erhält man x =.2 deltax =.443 x =.2443 deltax =. x 2 =.2553 deltax =.28 x 3 =.2582 deltax =.7 x 4 =.2589 deltax =.2 x 5 =.259 A-posteriori Abschätzung: x 5 x L L x 5 x 4 = 3.2 =.3 2 Für die zweite Iteration erhält man x = 2.5 deltax =.257 x = deltax =.3 x 2 = deltax =.4 x 3 = 2.54 deltax =.6 x 4 = A-posteriori Abschätzung: x 4 x L L x 4 x 3 =.5.6 =.6.5

13 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 89 BEISPIEL 3) Gegeben sei f : R R, f(x) = 4 x3 + 8 x2 x a) Zeigen Sie, dass die Funktion f genau eine reelle Nullstelle x besitzt. b) Geben Sie eine Fixpunktiteration mit geeignetem Startintervall zur Berechnung einer Näherung für x an. Zeigen Sie, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes auf dem von Ihnen angegebenem Intervall erfüllt sind. c) Berechnen Sie x mit einem gesicherten relativen Fehler von 3. Lösung: a) Die Funktion f (x) hat keine Nullstellen in R, denn f (x) = = 3 4 x2 + 4 x = = x 2 3 x+ 4 3 = = ( x 6 = ( x ) 2 = ( Multiplikation mit 3 ) ) = Damit hat f (Satz von Rolle) höchstens eine reelle Nullstelle. Da lim f(x) = und lim f(x) = gelten, hat f genau eine x x Nullstelle in R. b) Mit g(x) := 4 x3 + 8 x2 + 5 gilt f(x) = g(x) = x. 8 Im folgenden suchen wir ein geeignetes Startintervall für die Iteration x n+ := g(x n ) mit einem geeigneten Startwert x. Zunächst tasten wir uns an das Intervall heran, indem wir einen Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion f suchen. Es ist f() = 5 8 und f() = 2. Die Nullstelle von f (und damit der Fixpunkt von g) liegt also im Intervall I := [,]. Wir versuchen unser Glück mit diesem Intervall. Das heißt, wir überprüfen zunächst die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes.

14 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 9 (i) Selbstabbildung: Zunächst ist g() = 5 8 und g() = 2. Das ist zwar schön, reicht aber nur, wenn die Funktion monoton ist. Wir prüfen also das Monotonie Verhalten von g. g (x) = 3 4 x2 + ( 4 x = 3 4 x x ). 3 Eine Nullstelle der Ableitung liegt also innerhalb des Intervalls (,). Hier kann ein Minimum oder ein Maximum der Funktion vorliegen. Man rechnet nach g( 3 ) = = =.6296 Wegen 2 < g( 3 ) und 5 8 < g( 3 ) liegt hier ein Maximum vor. Weitere Minima oder Maxima können im Intervall (,) nicht existieren.nachdenobigenuntersuchungenfolgtaus g(), g(), g( 3 ) [,], dass g das Intervall [,] in sich abbildet. (ii) Kontraktion: Auf unserem Intervall gilt sicher ( g (x) = 3 4 x x ) x 3. Die Funktion x 3 fällt auf dem betrachteten Intervall monoton von /3 auf und steigt anschließend monoton von auf 2/3. Der maximale Wert ist also 2/3. Insgesamt haben wir damit: g (x) 3 4 x = 2 =: L g istalsokontrahierendauf I = [,] mitderkontraktionszahl L := 2. Wir können die Iteration z.b. mit x = 2 starten c) x =.5 x =.625 x 2 = x 3 =.644 x 4 = x 5 =

15 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung 9 Eine a posteriori Abschätzung ergibt: x 5 x L L x 5 x 4. Als untere Schranke für x kann also x 5 L L x 5 x 4 eingesetzt werden. In unserem Fall erhält man wegen L = /2 als untere Schranke x 4. Dies ist im Allgemeinen NICHT der Fall!!! Für den relativen Fehler gilt hier x 5 x x L L x 5 x 4 x x 5 x 4 x 5 L L x 5 x 4 = <

16 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung

17 Next Level, H. P. Kiani, WiSe 29/2, 7. Vorlesung x=cos(x) x= iterzahl=24 x(24)= Newton x cos(x) x= x3=