Graphalgorithmen II. Sebastian Ehrenfels Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
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1 Graphalgorithmen II Sebastian Ehrenfels Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
2 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
3 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
4 Union-Find-Struktur Union-Find Struktur zur Verwaltung von riesigen Objektmengen Nötige Operationen: Initialisator Union Find Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
5 Union-Find Init Behelf: Baumstruktur Die Objekte werden durchnummeriert. Jedes Objekt bekommt sich selbst als Wurzel Find Bei beiden Elementen den Baum bis zur Wurzel hochlaufen. Wenn die Wurzel die gleiche ist besteht eine verbindung. Laufzeit N Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
6 Union-Find Union Die Wurzel des einen Baums wird unter die Wurzel des anderen gehängt Laufzeit N (Wurzel muss erst gefunden werden) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
7 Sind I und E in der gleiche Gruppe? Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
8 A D I und E sind nicht in der gleichen Gruppe Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
9 union(h, N) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
10 Union-Find Problem Laufzeit N bei 10 9 Objekten und Verknüpfungen? Lösung: Optimierungen Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
11 Union-Find Pfadkompression Bei jedem Union() wird der kleinere an den grösseren Baum gehängt Der Baum kann nicht tiefer als log(n) werden. Laufzeit log(n) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
12 Union-Find Pfadkompression Bei jedem Find() alle abgelaufenen Knoten direkt an die Wurzel hängen. (macht nur zukünftige Find() schneller) Sehr flacher Baum. Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
13 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
14 Fibonacci-Heap Fibonacci-Heap Ein Fibonacci-Heap besteht aus einer Liste von min-heaps Ein Zeiger zeigt auf den Heap an dessen spitze das kleinste Element steht Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
15 Fibonacci-Heap (Operationen) Insert Das neue Element wird als neue Wurzel in die Heap-Liste eingefügt Amortisierte Laufzeit: O(1) Merge Die Zwei Listen weden Konkateniert und von den zwei Minimumpointern der kleinere genommen Amortisierte Laufzeit: O(1) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
16 Fibonacci-Heap (extractmin) extractmin Der kleineste Knoten wird gelöscht Die nun losen Kinder werden als neue Heaps in die Liste eingefügt Damit das neue Minimum suchen nicht O(N) dauert wird der Heap erst aufgeräumt: Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
17 Fibonacci-Heap (extractmin) Aufräumen jeder Heap wird in ein log(n) langes Array gehasht nach Grad der Wurzel bei Kollision wird der grössere unter den kleineren Wurzelknoten gehängt der Grad erhöt sich um 1 und es wird neu gehasht maximal log(n) viele Heaps neues Minimum suchen in log(n) Amortisierte Laufzeit: O(log(N)) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
18 Fibonacci-Heap (decreasekey) decreasekey Der Neue Wert für den Knoten wird gesezt Wenn der neue Wert kleiner als der des Vaters: ist in neuen Heap schieben und Vater markieren Wenn der Vater bereits Markiert ist, diesen auch in einen neuen Heap schieben und den Vater markieren. So lange rekursiv wiederholen, bis der Vater nicht Markiert oder eine Wurzel ist Amortisierte Laufzeit: O(1) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
19 Fibonacci-Heap (remove) Remove Das zu entfernende Objekt wird auf -INFINITY reduziert, so das es das kleinste ist. extractmin aufrufen Amortisierte Laufzeit: O(log(N)) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
20 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
21 Dijkstra Erweiterungen Aufgabe: Suche den Ausgang aus einem Irrgarten der Fallen enthält, die Türen öffnen oder schliessen. Problem: Kann der Dijkstra-Algorithmus diese Aufgabe lösen? Tafel Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
22 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
23 Kürzeste Wege: Bellman-Ford Problem: Negative Kantengewichte Dijksta reicht nicht mehr aus Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
24 Kürzeste Wege: Bellman-Ford Berechnung Init: Startknoten hat Dist = 0 restliche Knoten Dist = INF N 1 mal für jede Kante Strecke berechnen und Vorgänger eintragen ein letztes mal für jede Kante Strecke berechnen falls Änderungen auftreten gibt es einen Negativzyklus Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
25 Kürzeste Wege: Bellman-Ford Ergebnisfindung Die Weite zu jedem Zielpunkt kann dort abgelesen werden Der Pfad Kann vom Zielpunkt über die Vorgänger verfolgt werden. Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
26 Kürzeste Wege: Bellman-Ford Pro Negative Kantengewichte Erkennen von Negativzyklen Alle möglichen Zielknoten Contra Laufzeit O(V E) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
27 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
28 Kürzeste Wege: Floyd-Warshall Ablauf setze die Strecke von jedem Knoten zu jedem ausser sich selbst auf INF setze die bekannten Strecken ein f o r k from 1 to V f o r i from 1 to V f o r j from 1 to V i f d i s t [ i ] [ k ] + d i s t [ k ] [ j ] < d i s t [ i ] [ j ] then d i s t [ i ] [ j ] = d i s t [ i ] [ k ] + d i s t [ k ] [ j ] Laufzeit: O(V 3 ) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
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31 Kürzeste Wege: Floyd-Warshall Negativzyklen Bei Beginn sind alle Pfade von einem Knoten zu sich selbst 0 Wenn nach dem Ausführen des Algorithmus ein Knoten zu sich selbst negativen Abstand hat, tritt ein Negativzyklus auf (funktioniert im ungerichteten Graphen nicht) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
32 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
33 Minimale Arboreszens Definition Finde einen Spannbaum im gerichteten Graphen mit gegebener Wurzel und minimaler Kantengewichtssumme Chu-Liu/Edmonds Algorithmus: Verwerfe alle eingehenden Kanten zur Wurzel. Wähle für jeden Knoten die eingehende Kante mit geringstem Gewicht. Falls keine Zyklen entstanden sind ist der Spannbaum minimal. Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
34 Minimale Arboreszens Zyklen entfernen: Fasse den ganzen Zyklus als virtuellen Knoten zusammen. Passe die Gewichte aller eingehender Kanten nach folgender Formel an: c(o, V ) = c(o, in) (c(f, in) min in {c(f, in)}) wobei: V = Virtueller Knoten, o = Knoten von dem die Kante eingeht, in = ein echter Knoten aus V, f = Knoten aus V von dem aus die Kante die nach in gewählt wurde ausgeht Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
35 Minimale Arboreszens Zyklen entfernen: Wähle fuer jeden virtuellen Knoten die eingehende Kante mit geringstem Gewicht. Ersetze dabei die gewählte Kante für den echten Knoten an die die Kante geht. Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
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38 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
39 Euler-Pfad Definition Ein Euler-Pfad ist ein Pfad, der jede Kante im Graph genau einmal benutzt. Der Graph muss zusammenhängend sein. Eingangskantenzahl == Ausgangskantenzahl (ausser Start- und Endknoten des Pfades) Ungerichtet: einfacher: Jeder Knoten muss geraden grad haben (ausser Start- und Endknoten) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
40 Euler-Zyklus Definition Wie Euler-Pfad nur Zyklisch Der Graph muss zusammenhängend sein. Eingangskantenzahl == Ausgangskantenzahl Ungerichtet: einfacher: Jeder Knoten muss geraden grad haben AKA: Start/Endausnahmen fallen weg. Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
41 Inhalt 1 Datenstrukturen Union-Find Fibonacci-Heap 2 Kürzeste wege Dijkstra Erweiterungen Bellman-Ford Floyd-Warshall 3 Minimale Arboreszens 4 Euler-Pfad/Zyklus 5 Hamilton-Kreis Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
42 Hamilton-Kreis Definition Ein Zyklischer Pfad in einem Graphen, der jeden Knoten genau einmal besucht. Problem! NP-Vollstaendig Ähnliches Problem: Travelling Salesman (Minimaler Hamilton-Kreis) Sebastian Ehrenfels Graphalgorithmen II / 44
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