EINI LW/WiMa. Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Vorlesung 2 SWS WS 16/17

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1 EINI LW/WiMa Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Vorlesung 2 SWS WS 16/17 Dr. Lars Hildebrand Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund lars.hildebrand@tu-dortmund.de 1

2 Thema Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Konstruktion von Datentypen: Algorithmen: Arrays Sortieren Kapitel 5 Algorithmen und In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Unterlagen Gumm/Sommer, Kapitel 2.7 & 2.8 Echtle/Goedicke, Einführung in die Programmierung mit Java, dpunkt Verlag, Kapitel 4 Doberkat/Dißmann, Einführung in die objektorientierte Programmierung mit Java, Oldenbourg, Kapitel 3.4 & 4.1 2

3 Übersicht Begriffe Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Spezifikationen, Algorithmen, formale Sprachen, Grammatik Programmiersprachenkonzepte Grundlagen der Programmierung Algorithmen und Felder Sortieren Rekursive (Baum, binärer Baum, Heap) Heapsort Objektorientierung Einführung Vererbung Anwendung 3

4 Binärer Baum Definition: Binärer Baum 1. Der "leere" Baum ist ein binärer Baum mit der Knotenmenge. Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und 2. Seien B i binäre Bäume mit den Knotenmengen K i, i = 1,2. Dann ist auch B = (w, B 1, B 2 ) ein binärer Baum mit der Knotenmenge K = {w} * K 1 * K 2. ( * bezeichnet disjunkte Vereinigung.) In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive 3. Jeder binäre Baum B lässt sich durch endlich häufige Anwendung von 1.) oder 2.) erhalten. 4

5 Binärer Baum Sprech-/Darstellungsweisen (im Falle 2.)): Sei B = (w, B 1, B 2 ) binärer Baum Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und w heißt Wurzel, B 1 linker und B 2 rechter Unterbaum. w Wurzel B 1 B 2 In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive linker Unterbaum rechter Unterbaum 5

6 Binärer Baum Darstellung eines Beispiels nach Definition: B 1 = (k 1,, (k 2, (k 3,, ), )). Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und k 1 k 2 In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive k 3 6

7 Terminologie binärer Bäume Wurzel Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und innerer Knoten In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Blatt 7

8 Knotenmarkierter binärer Baum Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Definition: Sei M eine Menge. (B, km) ist ein knotenmarkierter binärer Baum (mit Markierungen aus M) : 1. B ist binärer Baum (mit Knotenmenge K = K(B)) 2. km: K --> M Abbildung. (Markierung/Beschriftung der Knoten k K mit Elementen m M) Jedem Knoten wird ein Element aus der Menge M zugeordnet. In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Alternative: Markierung von Kanten. 8

9 Knotenmarkierter binärer Baum Beispiel Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und M := Z, Z := Menge der ganzen Zahlen Damit existiert auf M eine Ordnung! "Übliche" Darstellung der Knotenbeschriftung km durch "Anschreiben" der Beschriftung an/in die Knoten. 24 k 2 In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren 16 k 1 18 k 3 Rekursive 9

10 Definition: Heap Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Ein Heap (Haufen) ist ein knotenmarkierter binärer Baum, für den gilt: Die Markierungsmenge ist geordnet. Der binäre Baum ist links-vollständig. Die Knotenmarkierung der Wurzel ist kleiner oder gleich der Markierung des linken resp. rechten Sohnes (, sofern vorhanden). Die Unterbäume der Wurzel sind Heaps. An der Wurzel steht das kleinste (eines der kleinsten) Element(e). In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive 10

11 Beispiel: Heap Eini LogWIng / WiMa Binärbaum Alle Ebene, bis auf letzte vollständig gefüllt Links-vollständig gefüllt Knotenmarkierung der Wurzel kleiner als die der Kinder Kapitel 5 Algorithmen und In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive 11

12 Abstrakte Datentypen Grobidee zum abstrakten Datentyp Heap Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Datenstruktur siehe Folien vorher Operationen Init Einfügen eines Elementes in einen Heap Entfernen eines der kleinsten Elemente/des kleinsten Elementes aus dem Heap und Hinterlassen eines Rest- Heaps Zudem: Heap ist leer?/ Heap ist voll? Drucken... 12

13 Implementierung über Feld Darstellung: Binärer Baum <--> Feld S[1] Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und S[2] S[3] S[4] S[5] S[6] S[7] S[8] S[9] S[10] S[11] S[12] S[13] S[] S[15] In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Array S[1] S[2] S[3] S[4] S[12] S[13] S[] S[15] 13

14 Implementierung über Feld Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Beziehung Baum-Feld-Darstellung: Der Inhalt des i-ten Knotens in der Baumdarstellung wird im i-ten Feldelement abgelegt. Das bedeutet: Baum ebenenweise von links nach rechts eintragen. Das Feldelement a[0] wird nicht verwendet! Beobachtung: Die Söhne des Knotens i in einem Heap haben die Knotennummern In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive 2i 2i + 1 Beweis : linker Sohn : rechter Sohn : Induktiv

15 Implementierung über Feld Ebene 0 S[1] Eini LogWIng / WiMa Ebene 1 S[2] S[3] Kapitel 5 Algorithmen und Ebene 2 S[4] S[5] S[6] S[7] Ebene 3 S[8] S[9] S[10] S[11] S[12] S[13] S[] S[15] In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Array S[1] S[2] S[3] S[4] S[12] S[13] S[] S[15] In Tiefe i befinden sich die Schlüssel S[2 i 2 i+1-1] 15

16 Implementierung über Feld Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und linker Sohn von S[i] S[2i] rechter Sohn von S[i] S[2i+1] Vater von S[i] S[ i/2 ] Ebene 0 Ebene 1 S[3] Ebene 2 S[6] S[7] Ebene 3 S[8] S[9] S[10] S[11] S[12] S[13] S[] S[15] In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Array S[3] S[12] S[13] S[] S[15] Rekursive 16

17 Heap-Eigenschaft Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Die Heapeigenschaft wird über die Inhalte definiert Ein Feld a mit n ganzen Zahlen realisiert einen Heap, falls a[i/2] a[i] für alle i= 2,..., n gilt. Der Wert des Vaters ist höchstens so groß, wie der der Söhne Dabei ist "/" als ganzzahlige Division zu verstehen. z.b. 5/2 = 2 Verzicht auf Floor( )-Funktion in der Notation In einem (Minimum-)Heap, realisiert durch das Feld a, steht das kleinste Element immer in a[1]. In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Analog wird der Maximum-Heap definiert 17

18 Beobachtungen Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Ein Feld S[1... n] ist ein Heap ab l, wenn der Teilbaum mit Wurzel l ein Heap ist. Jedes Feld ist ein Heap ab n/2 + 1, denn alle Einträge mit Indices ab n/2 + 1 haben keine Kinder, d.h. der Teilbaum besteht nur aus einer Wurzel Ist S[1... n] ein Heap ab l, so ist S ebenfalls ein Heap ab 2l und 2l + 1. S[1] S[2] S[3] S[4] S[5] S[6] S[7] In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive S[8] S[9] S[10] S[11] S[12] S[13] S[] S[15] S[1] S[2] S[3] S[4] S[12] S[13] S[] S[15] 18

19 Operation Einfügen: Algorithmus Eingabe: Heap a mit n Elementen, neues Element x Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Ergebnis: Heap a mit n+1 Elementen, x seiner Größe gemäß eingefügt Vorgehensweise: Schaffe neuen Knoten n+1, setze a[n+1] = x Füge also neuen Knoten mit Beschriftung x in den Heap (evtl.noch an falscher Stelle) ein Sortiere an richtige Stelle ein In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive 19

20 Operation Einfügen: Algorithmus "An richtige Stelle einsortieren" - Idee: Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und einsortieren(k) : k bezeichnet Knotennummer ist k=1, so ist nichts zu tun, ist k>1, so geschieht folgendes: falls a[k/2] > a[k], vertausche a[k/2] mit a[k], rufe einsortieren(k/2) auf Verletzung der Heap- Eigenschaft einsortieren ist somit eine rekursive Funktion In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive

21 Beispiel Ausgangssituation

22 Beispiel Einfügen der Zahl 11 in den Heap

23 Beispiel Linksvollständigkeit bietet nur eine Position

24 Beispiel Binärer Baum? Ja. Test auf Heap-Eigenschaften

26 Beispiel Vater größer als Sohn Positionen vertauschen

27 Beispiel Knoten mit Inhalt 18 an der richtigen Position

28 Beispiel Knoten mit Inhalt 11 an der richtigen Position? Rekursiver Aufruf!

30 Beispiel Vater größer als Sohn Positionen vertauschen

31 Beispiel Knoten mit Inhalt 12 an der richtigen Position

32 Beispiel Knoten mit Inhalt 11 an der richtigen Position? Rekursiver Aufruf!

34 Beispiel Binärer Baum? Ja. Heap? Ja

35 Beispiel Fertig! Neuer Heap mit eingefügtem Inhalt

36 Beispiel mit Array Ausgangssituation

37 Beispiel mit Array Einfügen der Zahl 11 in den Heap

38 Beispiel mit Array Linksvollständigkeit bietet nur eine Position

39 Beispiel mit Array Binärer Baum? Ja. Test auf Heap-Eigenschaften

41 Beispiel mit Array Vater größer als Sohn Positionen vertauschen

42 Beispiel mit Array Knoten mit Inhalt 18 an der richtigen Position

43 Beispiel mit Array Knoten mit Inhalt 11 an der richtigen Position? Rekursiver Aufruf!

45 Beispiel mit Array Vater größer als Sohn Positionen vertauschen

46 Beispiel mit Array Knoten mit Inhalt 12 an der richtigen Position

47 Beispiel mit Array Knoten mit Inhalt 11 an der richtigen Position? Rekursiver Aufruf!

49 Beispiel mit Array Binärer Baum? Ja. Heap? Ja

50 Beispiel mit Array Fertig! Neuer Heap mit eingefügtem Inhalt

51 Code: Einsortieren In das Feld heapfeld wird richtig einsortiert gemäß: Eini LogWIng / WiMa void einsortieren(int knotennr) { if (knotennr > 1) { int vaternr = knotennr/2; Kapitel 5 Algorithmen und In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive } } if (heapfeld[knotennr] < heapfeld[vaternr]) { tausche(knotennr, vaternr); einsortieren(vaternr); } 51

52 Entfernen des kleinsten Elements Grundlegender Schritt für das Sortieren Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Idee einer Hau-Ruck-Lösung: Entfernen des kleinsten Elements Baue einen neuen Heap ohne das erste Element auf z.b. durch sukzessives Einfügen der Elemente in einen neuen Heap Nachteil Berücksichtigt nicht, dass vor dem Entfernen des kleinsten Elements ein Heap vorliegt In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Idee einer effizienteren Lösung siehe Diagramm auf der folgenden Folie 52

53 Erzeugung eines Heap Eini LogWIng / WiMa Wie behält man in diesem Fall einen Heap? Beobachtung Jedes Blatt erfüllt die Heapbedingung Allgemeinere Situation: Kapitel 5 Algorithmen und Wurzel erfüllt die Heap-Bedingung In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Unterbäume sollen die Heap-Bedingung erfüllen 53

54 Entfernen des kleinsten Elements Grundlegender Schritt für das Sortieren Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Idee einer Hau-Ruck-Lösung: Entfernen des kleinsten Elements Baue einen neuen Heap ohne das erste Element auf z.b. durch sukzessives Einfügen der Elemente in einen neuen Heap Nachteil Berücksichtigt nicht, dass vor dem Entfernen des kleinsten Elements ein Heap vorliegt In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Idee einer effizienteren Lösung Verwende genau diese Information über die Unterbäume 54

55 Beispiel Entfernen der Wurzel (kleinstes Element)

56 Beispiel Füllen der Wurzel mit dem letzten Element

57 Beispiel Knoten mit Index 13 wird nicht mehr benötigt

58 Beispiel Binärer Baum? Ja. Heap?

59 Beispiel Knoten mit Index 2 ist der kleinere Sohn. Vater ist größer

60 Beispiel Tausche Vater (Index 1) mit kleinerem Sohn (Index 2)

61 Beispiel Knoten mit Index 1, Inhalt 6 am richtigen Platz

62 Beispiel Rekursiver Aufruf mit geändertem Sohn

73 Beispiel Der hat keine Nachfolger. Fertig

74 Code: Heapify 01 void heapify(int k) { 02 int lsnr = 2*k; // Nummer des linken Sohns 03 int rsnr = 2*k + 1; // Nummer des rechten Sohns 04 int selsohn; // Nummer des selektierten Sohns if (lsnr <= anzahlknoten && rsnr > anzahlknoten) { // es gibt 07 if (heapfeld[lsnr] < heapfeld[k] { // keinen 08 tausche(k, lsnr); // rechten 09 } // Sohn 10 } 11 else if (rsnr <= anzahlknoten) { 12 sel Sohn =(heapfeld[lsnr]<heapfeld [rsnr]? lsnr : rsnr ); 13 // Wähle den Sohn mit der kleineren Markierung aus. // Bei Gleichheit wähle den rechten Sohn if (heapfeld[selsohn] < heapfeld[k]) { // Heap 17 tausche (k, selsohn); // Bedingung 18 heapify(selsohn); // verletzt. 19 } } 21 } 74

75 Anwendung 1: Heapsort Aufgabe: Benutze Heap zum (effizienten) Sortieren. Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Heapsort arbeitet in zwei Phasen: Aufbau eines Heaps aus einem Feld Schrittweiser Abbau des Heaps Auslesen des Wurzelelementes und Entfernen desselben Legen des "letzten" Elementes in die Wurzel Rekonstruktion der Heap-Bedingung für diese restlichen Elemente. In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive 75

76 Anwendung 1: Heapsort Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive Warum? Laufzeitenvergleich (mittlere Laufzeit) zu sortierende naives Sortierverfahren Heapsort Elemente * * * * Vergleiche pro Sekunde: 27 h vs. 16 sek 76

77 Eini LogWIng / WiMa Kapitel 5 Algorithmen und Zusammenfassung Arrays Datenstruktur zur Abbildung gleichartiger Daten Deklaration Dimensionierung und Zuordnung von Speicher zur Laufzeit Zuweisung: ganzes Array, Werte einzelner Elemente Algorithmen auf Arrays: Beispiel Sortieren naives Verfahren: Minimum bestimmen, entfernen, Restmenge sortieren Heapsort: ähnlich, nur mit Binärbaum über Indexstruktur In diesem Kapitel: Prolog Arrays Sortieren Rekursive 77

78 Übersicht Frohe Weihnachten & guten Rutsch! Nächste Termine Nächste Vorlesung WiMa , 08:15 Nächste Vorlesung LogWIng , 08:15 Nächsten Übungen/Praktika ab