Geometrie 1. Roman Sommer. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

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1 Geometrie 1 Roman Sommer Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

2 Grundlagen Punkte, Vektoren Schreibweise: Skalar: Vektor: Komponente: Punkt: (spitzer) Winkel zw. zwei Vektoren: Betrag/Länge eines Vektors: Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 2

3 Datentypen Punkte, Vektoren Geraden/Linien/Segmente Polygone Algos im Wiki: vector<point> oder Point[] Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 3

4 Grundlagen: Vektorrechnung Skalarprodukt Projektion Operation auf 2 Vektoren, Ergebnis: Skalar Maß für Winkelbeziehung der Vektoren Spezialfall: SP = 0 <=> Winkel = 90 Aufwand (n Dimensionen): n Multiplikationen, n 1 Additionen Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 4

5 Grundlagen: Vektorrechnung Orthogonale Projektion Abbildung eines Vektors auf die zu einem anderen Vektor parallele Komponente Direkte Anwendung des Skalarprodukts Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 5

6 Grundlagen: Vektorrechnung Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Operation auf 2 Vektoren, Ergebnis: Vektor Erzeugt zu 2 Vektoren ein Rechtssystem mit 3 Dimensionen Verallgemeinerungen in höheren Dimensionen existieren Maß für die von den beiden Vektoren aufgespannte Fläche Aufwand (3D): 2*3 Multiplikationen, 3 Additionen Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 6

7 Grundlagen: Geraden (2D, 3D) Punkt Punkt Darstellung Parameterform (Punkt Richtung) Normalform (nur im 2D) wir verwenden die abgewandelte Normalform (2D): vgl. struct Line aus Wiki Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 7

8 Grundlagen: Ebenen (3D) Punkt Darstellung Parameterdarstellung (analog zur Geraden) Normalform: Hesse Normal Form: normierte Normalform Eigenschaften: Normalenvektor ist auf Länge 1 normiert Normalenvektor zeigt vom Ursprung aus zur Ebene hin einfache Abstandsberechnung durch Einsetzen! Empfehlung: (Hesse )Normalform Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 8

9 CCW CounterClockWise (I) Grundlage für Sortierung von Punkten im 2D Sind die Punkte gegen der Uhrzeigersinn angeordnet? Liegt ein Punkt links oder rechts von einer Linie? Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 9

10 CCW CounterClockWise (II) Lösungsansatz für viele geometrische Probleme z.b. Erzeuge Polygon ohne Überschneidung aus Punktmenge Idee: Sortiere Punkte nach aufsteigendem Winkel Algorithmus: Wähle Startpunkt Sortiere, so dass CCW Eigenschaft für alle Tripel der Form (P0, PN, PN+1) gilt qsort() Wenn ccw == 0, sortiere absteigend nach Entfernung Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 10

11 CCW Test (2D) Erinnerung: Vektorprodukt erzeugt Rechtssystem! Idee: erweitern der 2D Koordinaten um z Koordinate (mit z=0) Berechnen der Vektorprodukts Ergebnis: Vektor in positive z Richtung, wenn ccw Negative z Richtung, wenn cw Nullvektor, wenn kollinear wir brauchen also nur die (virtuelle) z Komponente berechnen: Netter Nebeneffekt: Der Betrag von c ist die doppelte Fläche des Dreiecks (P1, P2, P3) Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 11

12 Polygone Allgemeine Vielecke (hier: 2D) geordnete Menge von Punkten (Ecken, vertices) Bilden eines geometrischen Objekts durch zyklisches Verbinden der Punkte mit Kanten (edges, sides) Kategorisierung regelmäßig (alle Seiten, alle Winkel gleich) einfach (überschneidungsfrei) überschlagen (nicht überschneidungsfrei) konvex (alle Innenwinkel < 180 ) konkav (einfach, mind. ein Innenwinkel > 180 ) Mehr z.b. auf der englischen Wikipedia (Polygon) Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 12

13 Polygone Flächenberechnung Erinnerung: ccw Test hatte doppelte Dreiecksfläche als Ergebnis Funktion area(point p1, Point p2, Point p3) Berechnung der Fläche: Aufteilen des Polygons in Teildreiecke Gleichbleibender Startpunkt p1 Weitere Punkte der Reihe nach Aufsummieren der Flächen der Teildreiecke Funktioniert mit überschneidungsfreien Polygonen! Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 13

14 Polygone Flächenberechnung (Beispiel für nicht konvexes Polygon) Konkaves Polygon Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 14

15 Pick's Theorem Betrachtung: Polygon mit ganzzahligen Koordinaten Frage: Bezug zwischen Punkten in/an Polynom und seiner Fläche? Was nützt uns das? Die Fläche A ist bestimmbar R ist bestimmbar: Bestimmung der Anzahl von umschlossenen Punkten: Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 15

16 Punkt Linie/Segment Beziehungen Linie: Segment ccw = 0 (2D) Besser: Ist Geradengleichung erfüllt? (2D) Ist? (2D, 3D) Gleichungssystem lösen (2D, 3D) Liegt Punkt auf Linie (Gerade)? Liegt Punkt in Koordinatenbereich der Endpunkte? Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 16

17 Punkt Linie/Segment Beziehungen Lagebeziehungen Wichtige Frage: Wird Schnittpunkt benötigt? Wenn nein, wird Berechnung viel einfacher. Ansonsten: Gleichungssystem Punkt Objekt Punkt ist auf Objekt oder nicht Objekt implizit gegeben: Test meist durch Einsetzen möglich Polygon: Punkt in Polygon Test (folgt später) Gerade Gerade Schneiden sich oder sind parallel (2D) Parallel: Richtungs bzw. Normalvektoren sind parallel Schneiden sich, sind parallel oder windschief Parallel: Richtungsvektoren sind parallel Windschief:!parallel und dist > 0 Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 17

18 Punkt Linie/Segment Beziehungen Abstandsberechnung (I) (2D, 3D) Punkt Gerade 2D: Punkt in HNF der Geraden einsetzen 3D: Punkt Segment (2D, 3D): Lotfußpunkt lp berechnen Liegt lp auf Segment? Ja d = dist(p, lp) Nein d = min(dist(p, p1), dist(p, p2)) Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 18

19 Punkt Linie/Segment Beziehungen Abstandsberechnung (II) (3D) Wie schon im 2D: Braucht man die Schnittpunkte, kommt man um das Aufstellen eines Gleichungssystems kaum herum Punkt Ebene Setze Ortsvektor in HNF ein Ergebis: Abstand Gerade Ebene Parallel: setze einen Punkt in HNF ein Parallelitätstest: Gerade Gerade Erstelle Hilfsebene, die eine Gerade enthält und parallel zur anderen ist (HNF) Gerade Ebene Einen Punkt aus paralleler Gerade einsetzen Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 19

20 Punkt in Polygon Betrachtung: Punkt und Polygon Frage: Befindet sich der Punkt innerhalb des Polygons? Idee: Zähle Schnitte einer Halbgeraden mit Polygonkanten Problem: Sonderfälle: Schnittpunkt ist Eckpunkt CCW Halbgerade überdeckt Kante CCW == 0 Solange fortsetzen, bis ccw oder cw Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 20

21 Punkt in Polygon (konkav) Halbgerade? Wähle einen Punkt mit größeren Koordinatenwerten, als entsprechende Maxima des Polynoms Algorithmus Für alle Kanten des Polynoms Beschränke Sicht auf Koordinatenbereich der Halbgerade Prüfe ob Schnittpunkt existiert, Wenn ja, erhöhe Zähler (alternativ: invertiere bool) Behandle Sonderfälle (letzte Folie) Betrachte Anzahl der Schnitte Gerade: außerhalb Ungerade: innerhalb Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 21

22 Punkt in Polygon (konvex) konvexe Polynomen: Wegfall vieler Sonderfälle Dank binärer Suche: Bestimmung in O(log n) Idee: Aufteilung des Polygons in Sektoren Binäre Suche per ccw Test Ausführung: Sonderfälle: Punkt liegt auf erster oder letzter Kante Punkt liegt in keinem der Sektoren Binäre Suche nach dem Sektor, der P enthält (Grenzen: l, r) ccw Test, ob P in Dreieck (p1, r, l) liegt ( links von r >l ) ccw(r, l, p) > 0? Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 22

23 Konvexe Hüllen Konvexe Hülle: kleinstes konvexes Polygon, das alle vorgegebenen Punkte enthält Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 23

24 Konvexe Hüllen Gift Wrapping (naiv) Vorbereitung: Finde Extrempunkt Wie bei kreuzungsfreiem Polynom Sortiere Punkte mit aufsteigendem Winkel Ausführung: Für jeden Punkt Finde unter verbleibenden nach Punkt mit größtem Winkel und füge ihn ein (O(n)) O(n²) Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 24

25 Konvexe Hüllen Graham's Scan Vorbereitung: Finde Extrempunkt O(n) Sortiere Punkte mit aufsteigendem Winkel O(n log n) Ausführung: Für jeden Punkt: Prüfe ccw Eigenschaft vom letzten Punkt aus (O(1)) cw: entferne letzten Punkt und prüfe nochmal ccw: nimm neuen Punkt hinzu Worst case: jeder Punkt wird einmal hinzugefügt und einmal entfernt O(n log n) Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 25

26 Zusammenfassung Vektorrechnung Einfache geometrische Objekte Linien, Segmente Ebenen Polygone Lagebeziehungen Punkt Linie (2D, 3D) Punkt Ebene, Gerade Ebene, Gerade Gerade (3D) Punkt Polygon Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 26

27 Danke, das war's! Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 27

28 Quellen Topcoder 505&start=0&mc= &start=0&mc=4 Wikipedia Satz von Pick: Polygon: Graham Scan: HalloWelt Wiki Geometrie Templates HalloWelt Folien: GE (Philipp Erhardt) Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 28

29 Datentypen Grundlagen Punkte, Vektoren Grundlagen: Vektorrechnung Grundlagen: Vektorrechnung Grundlagen: Vektorrechnung Grundlagen: Geraden (2D, 3D) Grundlagen: Geraden (2D, 3D) Beispiele Grundlagen: Ebenen (3D) CCW CounterClockWise CCW Test (2D) Polygone Polygone Flächenberechnung Polygone Flächenberechnung (Beispiel für nicht konvexes Polygon) Punkt Linie/Segment Beziehungen Punkt Linie/Segment Beziehungen Lagebeziehungen Punkt Linie/Segment Beziehungen Abstandsberechnung (I) (2D, 3D) Punkt Linie/Segment Beziehungen Abstandsberechnung (II) (3D) Pick's Theorem Punkt in Polygon Punkt in Polygon (konvex) Punkt in Polygon (konkav) Konvexe Hüllen Konvexe Hüllen Gift Wrapping (naiv) Konvexe Hüllen Graham's Scan Scrap Quellen Hallo Welt für Fortgeschritten Geometrie 1 Roman Sommer Folie 29

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