Hallo Welt! für Fortgeschrittene. Geometrie I. Philipp Erhardt. 19. Juli Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

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1 Hallo Welt! für Fortgeschrittene Geometrie I Philipp Erhardt 19. Juli 2011 Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

2 Gliederung 1 Grundlagen 2 CCW 3 Punkt-in-Polygon 4 Pick s Theorem 5 Konvexe Hülle Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

3 Gliederung 4 Pick s Philipp Erhardt Theorem Geometrie I 19. Juli / 27 1 Grundlagen Begriffe Schnitt Lot Abstand Polygone 2 CCW 3 Punkt-in-Polygon

4 Grundlagen Punkte P: Koordinaten (x P, y P, z P ) Vektoren Schreibweise: AB := B A Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

5 Grundlagen Skalarprodukt A B = x A x B + y A y B + z A z B A B = A B cos(φ) A B = 0 A, B sind zueinander senkrecht Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

6 Grundlagen Kreuzprodukt 3D: A B = y A z B z A y B z A x B x A z B x A y B y A x B 2D: A B = x A y B y A x B = A B sin(φ) A B ist die Fläche des Parallelogramms, das von A und B aufgespannt wird. Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf A und B. Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

7 Geraden Gegeben: 2 Punkte (P 1, P 2 ) auf der gesuchten Geraden Geradengleichung Ax + By = C, A = y 2 y 1 B = x 1 x 2 C = A x 1 + B y 1 Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

8 Geraden Gegeben: 2 Geraden der Form Ax + By = C Schnittpunkt S zweier Geraden det = A 1 B 2 A 2 B 1 falls det = 0 sind die Geraden parallel x S = (B 2 C 1 B 1 C 2 )/det y S = (A 1 C 2 A 2 C 1 )/det Sonderfall: Strecken Schnittpunkt liegt auf der Strecke [PQ]: min(x P, x Q ) x S max(x P, x Q ) min(y P, y Q ) y S max(y P, y Q ) Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

9 Geraden Gegeben: Gerade G der Form Ax + By = C Punkt P Lotgerade zu G durch den Punkt P Bx + Ay = D D = B x P + A y P Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

10 Grundlagen Gegeben: Punkte (A, B) auf der Geraden Punkt C Abstand Punkt-Linie d = AB AC AB wegen Fläche = Grundlinie Höhe = AB d Kreuzprodukt! Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

11 Grundlagen Gegeben: Endpunkte (A, B) der Strecke Punkt C Abstand Punkt-Liniensegment AB BC > 0 d = BC BA AC > 0 d = AC sonst siehe vorherige Folie Skalarprodukt! Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

12 Polygone Definition Ein Polygon (P 0, P 1,..., P N 1 ) ist die Figur, die durch zyklisches Verbinden ihrer Eckpunkte entsteht. Besondere Typen: regelmäßig (alle Seiten und Winkel gleich) überschlagen (Kanten überschneiden sich) einfach (keine Kanten überschneiden sich) konvex (alle Innenwinkel kleiner als 180 ) konkav (mindestens ein Innenwinkel größer als 180 )... Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

13 Polygone Erinnerung: Kreuzprodukt A B = A B sin(φ) Die Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird Fläche eines einfachen Polygons area := 0 FOR i = 1 TO N - 2 area += (P[i] - P[0]) x (P[i + 1] - P[0]) RETURN area / 2 Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

14 Polygone Fläche nach obiger Formel ist gerichtet area < 0: Punkte sind im Uhrzeigersinn area > 0: Punkte sind gegen den Uhrzeigersinn area = 0: Punkte sind kollinear P 1 P 3 P 2 P 0 Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

15 Gliederung 1 Grundlagen 2 CCW 3 Punkt-in-Polygon 4 Pick s Theorem 5 Konvexe Hülle Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

16 CCW CCW (Counterclockwise) ccw(p 0, P 1, P 2 ) sei der Sonderfall N = 3 der Flächenberechnung. Viele Probleme lassen sich auf diese Operation zurückführen. Bedeutung von ccw(p 0, P 1, P 2 ) > 0: P 1 P die Punkte liegen gegen den 2 P 0 Uhrzeigersinn P 2 liegt links von der Gerade (P 0, P 1 ) Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

17 Gliederung 1 Grundlagen 2 CCW 3 Punkt-in-Polygon allgemein konvexe Polygone 4 Pick s Theorem 5 Konvexe Hülle Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

18 Punkt-in-Polygon Problem: Liegt der Punkt Q im Polygon? Wähle P so, dass er außerhalb des Polygons liegt Betrachte [PQ] Bei jedem Schnitt mit dem Polygon wechselt der Punkt die Seite Anzahl der Wechsel gerade Q liegt außerhalb Anzahl der Wechsel ungerade Q liegt innerhalb Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

19 Punkt-in-Polygon Sonderfälle Bei konkaven Polygonen treten unschöne Situationen auf: eine Kante des Polygons liegt in [PQ] [PQ] schneidet einen Eckpunkt des Polygons Für konvexe Polygone geht es deutlich einfacher und schneller Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

20 Punkt-in-Polygon Idee für konvexe Polygone Die Liste der Punkte liegt per se nach dem Winkel sortiert vor. Suche (binär) die Strecke [P 0 P i ], für die der Punkt Q gerade rechts oder darauf liegt: CCW (P 0, P m, Q) > 0: für P i gilt: i > m Sonst: i m Prüfe, ob Q im Dreieck (P 0, P i 1, P i ) liegt (CCW) Aufwand Dank binärer Suche: O(logN) Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

21 Gliederung 1 Grundlagen 2 CCW 3 Punkt-in-Polygon 4 Pick s Theorem 5 Konvexe Hülle Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

22 Pick s Theorem Gegeben: Polygon, dessen Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben Satz von Pick Der Flächeninhalt des Polygons ist A = I + R 2 1 I : Anzahl der Gitterpunkte im Inneren des Polygons R: Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

23 Pick s Theorem Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand R := 0 FOR EACH Edge e R += gcd( e.dx, e.dy ) RETURN R Die Fläche ist bekannt (Algorithmus siehe oben) mit dem Satz von Pick lässt sich die Anzahl der inneren Punkte bestimmen Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

24 Gliederung 1 Grundlagen 2 CCW 3 Punkt-in-Polygon 4 Pick s Theorem 5 Konvexe Hülle Jarvis march Graham Scan Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

25 Konvexe Hülle Definition Die konvexe Hülle ist die kleinste konvexe Menge, die alle gegebenen Punkte enthält. Algorithmen Jarvis march (Gift wrapping) Graham scan Größen: N: Anzahl der Punkte H: Anzahl der Punkte auf der konvexen Hülle Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

26 Jarvis march Algorithmus Startpunkt: Punkt mit kleinstem y-wert (liegt garantiert auf der konvexen Hülle) Bezogen auf die Horizontale durch den aktuellen Punkt: Suche den Punkt mit dem kleinsten Winkel und füge ihn zum Ergebnispolygon hinzu Wiederhole, bis wieder der Startpunkt erreicht ist Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

27 Jarvis march Aufwand Startpunkt suchen: O(N) Nachfolgersuche: O(N) für jeden Punkt auf der Hülle Gesamt: O(N) + O(NH) = O(NH) Verbesserungsansatz: Punkte nur einmal am Anfang nach dem Winkel sortieren Graham Scan Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

28 Graham Scan Algorithmus Startpunkt: Punkt mit kleinstem y-wert Sortiere Punkte nach dem Winkel zur Horizontalen durch den Startpunkt Entferne Punkte, falls sie den gleichen Winkel, aber einen kleineren Abstand haben Sukzessive die Punkte durchgehen: Bildet die neue Kante einen Winkel > 180 (CCW): verwerfe den letzten Punkt Sonst gehört der Punkt zur konvexen Hülle Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

29 Graham Scan P 2 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3 P 1 P 0 P 0 P 0 P 3 P 1 P 3 P 1 P 2 P 4 P 0 P 4 P 0 Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

30 Graham Scan Aufwand Startpunkt suchen: O(N) Punkte nach dem Winkel sortieren: O(NlogN) Nachfolgersuche: O(1) für jeden Punkt in der Liste Gesamt: O(N) + O(NlogN) + O(N 1) = O(NlogN) Weitere Verbesserungen: Zahl der zu durchsuchenden Knoten minimieren Anzahl der arithmetischen Operationen minimieren (z.b. theta-funktion statt atan2 mit gleichem Verhalten, nur die Ordnung, nicht der tatsächliche Winkel, ist interessant) Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

31 Zusammenfassung 1 Grundlegendes elementare Beziehungen Punkt-Gerade, Gerade-Gerade CCW: Auf welcher Seite einer Gerade liegt der Punkt? 2 Polygone Fläche Punkt-in-Polygon: konkav und konvex 3 Algorithmen Satz von Pick: wie viele Gitterpunkte liegen im Polygon? Konvexe Hülle Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27

32 Quellen Geometrie-Templates aus Hallo Welt -Folien (2006, 2008, 2009) Wikipedia (Satz von Pick, Gift wrapping algorithm, Graham scan) Philipp Erhardt Geometrie I 19. Juli / 27