Algorithmische Geometrie: Voronoi Diagramme (Teil 2)

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1 Algorithmische Geometrie: Voronoi Diagramme (Teil 2) Nico Düvelmeyer WS 2009/2010,

2 Überblick 1 Definition und grundlegende Eigenschaften (Wied.) 2 Bestimmung des Voronoi Diagramms Gleitebenenverfahren mit Strandlinie Ereignispunkte Datenstrukturen für Fortune s Algorithmus Fortune s Algorithmus

4 Definition 8.1 (Wied.) Das Voronoi Diagramm Vor(P) von P = {p 1,..., p n } R 2 ist die Aufteilung der Ebene R 2 in n Bereiche B 1,..., B n und zugehörige Kanten, wobei B i := { q R 2 : dist(q, p i ) < dist(q, p j ) j i } =: V(p i ).

5 Offene Halbebene (Wied.) h(p, q) := { x : dist(x, p) < dist(x, q) } offene Halbebene Rand: Mittelsenkrechte von pq Seite: enthält p

6 Beobachtung 8.2 (Wied.) V(p i ) = h(p i, p j ) 1 j n,i j konvexes polygonales Gebiet gegebenenfalls unbeschränkt maximal n 1 Ecken und Kanten

7 Satz 8.3 (Wied.) Sei P eine Menge von n Punkten der Ebene. Sind alle Punkte in P kollinear, dann besteht Vor(P) aus n 1 parallelen Geraden. Andernfalls ist Vor(P) zusammenhängend, und alle Kanten sind Strecken oder Strahlen.

8 Satz 8.4 (Wied.) Sei n 3. Die Anzahl e von Ecken in Vor(P) einer Menge P von n Punkten der Ebene ist höchstens 2n 5, die Anzahl der Kanten k in Vor(P) ist höchstens 3n 6.

9 Notation C P (q) (Wied.) q R 2, P R 2. C P (q) := Kreis mit Mittelpunkt q maximaler Radius im Inneren keine Punkt aus P

10 Satz 8.5 (Wied.) Sei P eine Menge von Punkten der Ebene. Dann gelten folgende Aussagen. 1. Ein Punkt q ist Ecke von Vor(P) genau dann, wenn der Rand von C P (q) mindestens drei der Punkte von P enthält. 2. Die Mittelsenkrechte von p i und p j bestimmt genau dann eine Kante von Vor(P), wenn es einen Punkt q auf dieser Mittelsenkrechten gibt, so dass der Rand von C P (q) von den Punkten in P genau p i und p j enthält.

12 Bestimmung des Voronoi Diagramms: Fortune s Algorithmus Zeit in O(n log n) asymptotisch optimal

14 Angepasstes Gleitebenenverfahren Gleitgerade l von oben nach unten Struktur von Vor(P) oberhalb l hängt auch von Punkten in P unterhalb von P ab Was steht schon fest? speichern kombinatorische Struktur des Randes (anstatt l Vor(P))

15 Strandlinie des Gleitebenenverfahrens Welche Punkte von R 2 sind p i P näher als allen Punkten unterhalb von l? Punkte oberhalb Parabel β i Brennpunkt p i Leitgerade l

16 Erinnerung Parabel

17 Strandlinie des Gleitebenenverfahrens Vor(P) steht in β i fest Rand: Verkettung von Parabelstücken: Strandlinie Fehler im Skript: es können mehr als n Parabelstücke sein, da Parabeln mehrfach auftreten können

18 Beobachtung 8.6 Die Strandlinie ist x-monoton: jede vertikale Gerade schneidet die Strandlinie in genau einem Punkt.

19 Übergänge zwischen Parabelstücken der Strandlinie Punkte auf Kanten von Vor(P). Kanten damit vollständig!

21 Neue Parabelstücke (Bögen): Punkt-Ereignisse Punkt-Ereignis: l erreicht einen neuen Punkt aus P

22 Lemma 8.7 Neue Parabelstücke können in der Strandlinie nur durch Punkt-Ereignisse entstehen. Beweis. indirekter Beweis: Parabel β j bricht durch bisherige Strandlinie Fallunterscheidung: Auftreffen im Inneren eines Stücks? Fall 1: β j triff innerhalb β i durch Strandlinie β i und β j tangieren sich (beim Ereignis)... und haben selbe Leitgerade β i = β j, p i = p j, i = j Fall 2: β j zwischen zwei Parabeln

23 Beweis Lemma 8.7 (Fall 2) Strandlinie: β i, β j, β k, Übergangspunkt q p i, p j und p k liegen auf Kreislinie C um q l ist Tangente von C mit Berührungspunkt L Anstieg der Tangenten in q an β i, β j und β k wird streng kleiner, damit L, p i, p j, p k (Fehler im Skript), L im Uhrzeigersinn auf C l gleitet kleines Stück nach unten zu l Punkt q sei nahe q auf β i und β j in Strandlinie Kreis C mit Mittelpunkt q, Tangente l hat p i, p j im Rand p k im Inneren von C (Bogen von p i über L nach p j in C )

24 Folgerung von Lemma 8.7 Strandlinie kann höchstens 2n 1 Parabelbögen enthalten: 2 neue je Punkt-Ereignis

25 Verschwindene Bögen: Kreis-Ereignisse Kreis-Ereignisse: l erreicht den tiefsten Punkt des Kreises durch drei benachbarte Punkte aus P Mittelpunkt des Kreises: q q liegt auf Strandlinie q ist der zusammengeschrumpfte Parabelbogen q ist Knoten von Vor(P)

26 Lemma 8.8 Parabelstücke können aus der Strandlinie nur durch Kreis-Ereignisse verschwinden.

28 unvollständige Voronoi Diagramme (unvollständige) doppelt verkettete Kantenliste bisher: genau ein unbeschränkten Gebiet, keine unbeschränkten Kanten daher: doppelt verkettete Kantenliste vom Durchschnitt mit großen Rechteck

29 Struktur der Strandlinie T: balancierter binärer Suchbaum für Strandlinie Blätter von T: sortierte Parabelbögen (β i durch p i ) innere Knoten von T: Übergangspunkte benachbarter Parabelbögen; diese werden gespeichert Verknüpfung von T mit anderen Strukturen Blätter von T: (ggf.) Kreis-Ereignis, bei dem das zugehörige Parabelstück verschwinden wird, sonst nil innere Knoten von T: zugehörige Halbkanten

30 Ereigniswarteschlange Prioritäten-Warteschlange speichert bereits bekannte Ereignisse sortiert nach y-koordinaten Punkt-Ereignisse: Punkt aus P (bekannt im voraus) Kreis-Ereignisse: unterster Punkt des Kreises; das Blatt in T, dessen Bogen verschwindet Kreis-Ereignisse müssen berechnet werden Garantie: jederzeit jedes potentielle Kreis-Ereignis in Q drei aufeinanderfolgende Bögen in T auseinanderlaufende Kanten definieren keine potentiellen Kreis-Ereignisse möglicherweise Falscher Alarm durch neue Bögen daraufhin alle erscheinenden/verschwindenden Tripel in T kontrollieren

31 Lemma 8.9 Jede Voronoi-Ecke wird durch ein Kreis-Ereignis in Q erkannt. Beweis. zu jeder Voronoi-Ecke q gibt es drei Punkte aus P auf dem Rand von C P (q) wir wählen davon drei benachbarte aus drei zugehörige Parabelstücke benachbart (bevor Strandlinie q erreicht) Kreis-Ereignis für q ist in Q

32 nach dem letzten Ereignis Strandlinie noch da Übergangspunkte in T sind unbeschränkte Kanten von Vor(P)

34 Algorithmus 8.10 Eingabe: eine Menge P = {p 1,..., p n } von Punkten der Ebene Ausgabe: das Voronoi Diagramm Vor(P) innerhalb eines einschließenden Rechtecks als doppelt verkettete Kantenliste D 1: Funktion VORONOIDIAGRAMM(P) 2: Initialisiere die Ereigniswarteschlange Q mit allen Punkt-Ereignissen. Initialisiere eine leere Statusstruktur T und eine leere doppelt verkettete Kantenliste D. 3: Solange Q nicht leer ist, mache 4: Entferne das Ereignis mit größter y-koordinate aus Q. 5: Wenn dieses Eregnis ein Punkt-Ereignis zu p i P ist, dann 6: rufe BEHANDELPUNKTEREIGNIS(p i ), 7: sonst 8: rufe BEHANDELKREISEREIGNIS(γ) für das Blatt γ von T, das das verschwindende Parabelstück repräsentiert.

35 Algorithmus 8.10 (Fort.) 9: Die verbleibenden inneren Knoten von T entsprechen den unbeschränkten Kanten in Vor(P). Bestimme ein umbeschriebenes Rechteck, das alle Voronoi-Ecken in seinem Inneren enthält, und verbinde die unbeschränkten Kanten entsprechend mit den Rechtecksseiten. 10: Bestimme alle Flächeneinträge und fehlende Verknüpfungen bei einem Durchlauf durch alle Halbkanten von D.

36 Algorithmus 8.10 (Fort.) 11: Funktion BEHANDELPUNKTEREIGNIS(p i ) 12: Wenn T leer ist, dann 13: ersetze T durch ein Blatt, welches p i speichert, und verlasse diese Funktion. 14: Suche in T den Bogen α, der vertikal direkt über p i liegt. 15: Wenn das Blatt von α in T auf ein Kreis-Ereignis verweist, dann 16: wird dieser falsche Alarm aus Q gelöscht. 17: Ersetze das Blatt von α durch einen Teilbaum mit drei Blättern. Das mittlere Blatt speichert den neuen Punkt p i, und die beiden anderen Blätter speichern den Punkt p j, der bisher in α war. Speichere die Paare (p j, p i ) und (p i, p j ) für die neuen Übergangspunkte in den neuen inneren Knoten. Balanciere gegebenenfalls T neu aus.

37 Algorithmus 8.10 (Fort.) 18: Erzeuge neue Halbkanten-Einträge in D, die V(p i ) von V(p j ) trennen und durch die beiden neuen Übergangspunkte durchlaufen werden. 19: Kontrolliere für das Tripel aufeinanderfolgender Bögen in T, das mit dem p i -Bogen beginnt, ob die Übergangspunkte zusammenlaufen. Füge in diesem Falle ein neues Kreis-Ereignis in Q ein und verknüpfe dieses wechselseitig mit dem Blatt von T. Mache das selbe für das Tripel, bei dem der dritte Bogen zu β i gehört.

38 Algorithmus 8.10 (Fort.) 20: Funktion BEHANDELKREISEREIGNIS(γ) 21: Lösche das Blatt γ aus T, welches den verschwindenden Bogen α repräsentiert. Aktualisiere dabei alle betroffenen Paare in den inneren Knoten von T. Balanciere gegebenenfalls T neu aus. Lösche alle Kreis-Ereignisse, die α betreffen, aus Q. Dafür werden die Verweise des Vorgängers und des Nachfolgers von γ in T benutzt. 22: Füge den Kreismittelpunkt als neue Ecke in D ein. Füge zwei neue Halbkanten in D ein, und verknüpfe diese entsprechend. Verknüpfe die drei neuen Einträge mit den Halbkanten, die in diesem Punkt enden. 23: Kontrolliere für das neue Tripel aufeinanderfolgender Bögen in T mit dem vormals linken Nachbarn von γ in der Mitte, ob die Übergangspunkte zusammenlaufen. Füge in diesem Falle ein neues Kreis-Ereignis in Q ein und verknüpfe dieses wechselseitig mit dem Blatt von T. Mache das selbe für das Tripel mit dem vormals rechten Nachbarn von γ in der Mitte.

39 Lemma 8.11 Der Algorithmus 8.10 benötigt Zeit in O(n log n) und Speicherplatz in O(n). Beweis. Größe von Q in O(n 3 ), von T in O(n) Operationen auf D in konstanter Zeit durchführbar Zeitaufwand pro Ereignis damit in O(log n) n Punkt-Ereignisse alle behandelten Kreis-Ereignisse sind Voronoi-Ecken maximal 2n 5 behandelten Kreis-Ereignisse Falscher Alarm: bei behandelten Ereignissen mitgerechnet

40 Entartungen Entartete Fälle können von Algorithmus 8.10 auch behandelt werden. Die Reihenfolge von Ereignissen mit gleichen y-koordinaten kann beliebig gewählt werden. Dabei können in D Kanten mit Länge 0 auftreten. Diese können in einem Nachbearbeitungsschritt entfernt werden.

41 Satz 8.12 Das Voronoi Diagramm einer Menge von n Punkten der Ebene kann durch ein Gleitebenenverfahren in Zeit in O(n log n) und Speicherplatz in O(n) berechnet werden.