Fraktale. Mathe Fans an die Uni. Sommersemester 2009

Transkript

1 Fraktale Mathe Fans an die Uni Ein Fraktal ist ein Muster, das einen hohen Grad Selbstähnlichkeit aufweist. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Fraktale können wunderschön sein. Sicher kennst du solche Bilder von verschiedenen Webseiten. Mittlerweile hat sich sogar eine eigene Kunstrichtung, die Fraktalkunst, entwickelt. Surfe einfach mal im Internet du wirst staunen! Ein paar Beispiele: Abb: Sierpinski-Dreieck Abb: Sierpinski-Pyramide Abb: Julia-Menge Doch Fraktale sind nicht nur wunderschön, sondern haben auch interessante mathematische Eigenschaften. Heute lernst du einige einfache Fraktale kenne, die alle nach dem schwedischen Mathematiker Niels Fabian Helge Hartmut von Koch (0 9) benannt sind. Die nach ihm benannte Koch- Kurve war eines der ersten Fraktale. Abb: Mandelbrot-Menge

2 Koch-Kurve und Schneeflockenkurve Koch-Kurve. Wie wird diese Kurve konstruiert? Erkläre und konstruiere eine Koch-Kurve! Beginne dabei mit einer 9 cm langen Strecke. Wie viele Schritte schaffst du?. Wie viele Ecken und wie viele Kanten hat die Koch-Kurve? Überlege dazu, wie viele Ecken und Kanten in jedem Schritt dazukommen und fülle die Tabellen aus: Schritt Anzahl der Ecken Anzahl der Kanten Länge einer Kante cm

3 . Versuche, die folgenden Erklärungen über Umfang und Flächeninhalt nachzuvollziehen und den Zusammenhang mit eigenen Worten zu erklären! a) Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Schritt Mal so lang wird. Nach dem n-ten Schritt ist die Kurvenlänge also auf das n -fache angewachsen. b) Die Fläche unterhalb der Kurve wird aber nicht unendlich groß. Wenn das Dreieck unterhalb der ersten Iteration den Flächeninhalt A hat, kommt bei der zweiten Iteration an jeder der Strecken ein Dreieck mit Flächeninhalt A hinzu, und bei der n-ten Iteration 9 kommt ein Flächeninhalt von n 9 n A hinzu. Der gesamte Flächeninhalt berechnet sich demnach als geometrische Reihe zu A 9 A 9 A 9 A...=A n=0 9 n = A 9 = 9 A Schneeflockenkurve Wenn du bei der Konstruktion der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck startest, dann erhältst du die Koch'sche Schneeflockenkurve. geometrische Reihe: q q q...= q wenn q

4 . Erkläre, wie die Konstruktion abläuft und konstruiere eine Schneeflocken-Kurve! Beginne dabei mit einem gleichseitigen Dreieck mit cm Seitenlänge. Wie viele Schritte schaffst du?. Wie viele Ecken und Kanten hat die Schneeflockenkurve? Überlege dazu, wie viele Ecken und Kanten in jedem Schritt dazukommen und fülle die Tabellen aus: Schritt Anzahl der Ecken Anzahl der Kanten Länge einer Kante 0 cm. Wie stark wächst der Umfang der Schneeflockenkurve? Fülle dazu die Tabelle aus und finde heraus: Wie viel mal so groß wird der Umfang in jedem Schritt? Schritt Umfang in cm 0 = Wird der Umfang unendlich groß? Begründe!. Überlege und begründe: Der Flächeninhalt der Schneeflockenkurve kann nicht unendlich groß werden.

5 Koch-Insel. Konstruiere ein Koch-Insel schrittweise. Geh dazu so vor, wie hier beschrieben. Wie viele Schritte schaffst du? Teile einen Kreis mit Radius r= cm in sechs gleiche Teile und zeichne zwei gleichseitige Dreiecke ein, die um 0 gegeneinander verdreht sind - es entsteht ein sechszackiger Stern. Iteration: Verfahre mit den sechs gleichseitigen Dreiecken (in den "Sternspitzen") ebenso. Verfahre mit den nun entstandenen Spitzen ebenso. usw.. Wie viele Ecken und Kanten kommen in jedem Konstruktionsschritt dazu?. Überlege und begründe, dass der Flächeninhalt der Koch-Insel endlich ist egal, wie viele Schritte du konstruierst.. Berechne (ausgehend von der Seitenlänge der ursprünglichen gleichseitigen Dreiecke), um wie viel der Umfang der Figur bei jedem Iterationsschritt wächst!. Überlege und begründe, dass der Umfang der Kochinsel unendlich groß wird!