7. Systeme mit drei (und mehr) Spezies: chaotische Systeme

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1 7. Systeme mit drei (und mehr) Spezies: chaotische Systeme Dies kann z.b. Ein System mit mehreren verschiedenen Räubern sein, die die selben Beutetiere jagen. Auch ein nicht autonomes System mit zwei Spezies fällt in diese Klasse von Problemen. Durch die Wechselwirkungen kann es neue Arten von dynamischem Verhalten (Attraktoren) geben, die sich qualitativ von den bereits diskutierten unterscheiden HIV M. A. Nowak und R. M. May: Virus Dynamics, Oxford University Press 2000 Das einfachste Modell, das hier diskutiert wird, ist allerdings (zu) stark vereinfacht. x(t): v(t): y(t): gesunde (T4-)Immunzellen freie Viren befallene (T4-)Immunzellen 139

2 Die starke Vereinfachung besteht in der Berücksichtigung nur einer Sorte von Immunzellen. Die Immunzellen werden nicht durch die Anwesenheit freier Viren (v(t)) zu verstärkter Produktion angeregt. Allerdings sollen im Modell Immunzellen mit einer konstanten Rate ständig produziert werden. Stark vereinfachter Prozess der HIV-Erkrankung: x: Vermehrung Platzen Sterben Infektion y: v HI-Viren sammeln sich vor dem Verlassen der Immunzelle an der Membran HI-Virus, das sich aus einer Immunzelle herauslöst 140

3 In den befallenen Immunzellen vermehrt sich das Virus, bis es die Zelle zum Platzen (Lysieren) bringt. Von den freigesetzten Viren werden einige durch das Immunsystem zerstört. Der Rest der Viren befällt die gesunden Immunzellen. d x d t = d x xv d y d t = xv a y d v d t = k y u v Für gesunde Menschen ist v = 0, so dass die Anzahl der Immunzellen x fix = λ/d beträgt. λ entspricht der Rate, mit der neue Zellen gebildet werden, d der natürlichen Todesrate der Zellen. Die Größe a beschreibt den natürlichen Tod plus das Platzen der Zellen (a > d). Die Parameter k und u entsprechen der Bildung (Freisetzung) neuer Viren und deren Tod durch Immunzellen und andere Einflüsse. 141

4 Die Werte dieser Größen könnte man rein prinzipiell aus medizinischen Daten über den Krankheitsverlauf gewinnen. Aufgrund der zu starken Vereinfachung des Modells ist dies aber nicht sinnvoll. Fixpunkte: 1. x fix = d, v fix = y fix = 0 (gesunder Mensch) 2. x fix = au k, y fix = k d au v fix = au k d au a k = k u y fix (krank) 142

5 Stabilitätsanalyse (ohne Beweis) Def.: basic reproduktive ratio R o 1 v fix ~ y fix 0 R o = k d au R o 1 v fix ~ y fix 0 Falls R o > 1, ist der Fixpunkt für krank ein stabiler Fixpunkt und der andere (gesund) ein instabiler Fixpunkt. Für R o < 1 kehrt sich die Stabilität um (gesund ist ein stabiler Zustand). Das Modell beschreibt nur: akute Phase (Ausbreitung, erste Symptome bis maximal 3 Monate chronische Phase (bis maximal 10 Jahre) 143

6 Spätere AIDS-Phase: Es existiert kein Fixpunkt mehr. Die Anzahl der befallenen Immunzellen (y) und Viren (v) wächst weiter an. Die Zahl gesunder Immunzellen (x) sinkt, da der Körper irgendwann keine neuen mehr produzieren kann. Damit ändern sich die entsprechenden Differenzialgleichungen, so dass unser Modell keine Gültigkeit mehr besitzt. Ein wesentliches Ergebnis des Modells ist, dass der Wert von R o über die Krankheit entscheidet. R o = k d au Man sollte also nicht direkt in die Zahlenwerte (x,y,v) eingreifen, sondern versuchen, die Parameter der Dynamik zu beeinflussen. 144

7 In unserem zu stark vereinfachten Modell (das aus diesem Grund nicht wirklich für Therapien genutzt werden sollte) ergibt sich: x fix = au k Die Anzahl gesunder Immunzellen hängt weder von der Neubildungsrate (λ) noch von der natürlichen Todesrate (d) der Zellen ab (im Unterschied zum gesunden Fall). Damit wäre nach diesem Modell eine Therapie, die λ erhöht und d senkt, kontraproduktiv, da x fix unverändert bleibt, aber R o wachsen würde. Am sinnvollsten erscheint die direkte Bekämpfung der Viren (u wächst), so dass auch R o sinkt. 145

8 7.2. Lorenz-Modell Edward Lorenz hat 1963 ein vereinfachtes Modell für Wettersimulationen vorgestellt. Zwischen zwei Platten mit geringem Abstand befinde sich eine viskose inkompressible Flüssigkeit. Kleine Temperaturdifferenzen zwischen der Oberund Unterseite der Schicht können noch durch Wärmeleitung ausgeglichen werden. Bei Überschreiten einer kritischen Temperaturdifferenz setzt eine Flüssigkeitsbewegung ein und es kommt zur Ausbildung von Konvektionsrollen, durch die ein effizienterer Wärmetransport realisiert wird. Dabei steigen von unten erwärmte Flüssigkeitselemente auf Grund ihrer geringeren Dichte auf und kältere sinken ab. geboren 23. Mai 1917 in West Haven, Connecticut d x dt = y x d y d t = r x y x z d z d t = x y b z (Typische Werte: σ = 10, b = 8/3) 146

9 Eine numerische Lösung ergibt: r 24,7 Fixpunkt 99,5 r 100,8 145 r 166 ungefähr r 214 -> Grenzzyklen ( XXX-jähriger Kalender ) x y z r=100 Für andere Werte von r -> chaotisches Verhalten z.b. r = 28 ergibt den Lorenzattraktor 147

10 Deterministisches Chaos ist ein irregulär erscheinendes chaotisches Verhalten, welches jedoch den Regeln einer deterministischen Dynamik folgt. Es wird nicht durch zufällige äußere Umstände, wie beispielsweise dem Rauschen, verursacht. Die Lösungen sind bei gegebenen Anfangsbedingungen eindeutig determiniert. Allerdings reichen kleinste Änderungen der Anfangsbedingungen, um völlig verschiedene Lösungen zu erhalten (Schmetterlingseffekt). Ein Seltsamer Attraktor ist eine geometrisches Objekt im Phasenraum, dass den Endzustand eines dynamischen Prozesses beschreibt, dessen Dimension nicht ganzzahlig ist. Es handelt sich um ein Fraktal, das nicht in geschlossener Form geometrisch beschrieben werden kann. Gallerie seltsamer Attraktoren: 148

11 7.3 Chaotische Systeme Folgende notwendige Bedingungen für deterministisches Chaos sind bekannt: nichtlineare Gleichungen mindestens 3 verschiedene Spezies (oder time lag, diskontinuierliche Vermehrung, nicht autonome 2-Speziessysteme) Hinreichende Bedingungen für das Auftreten von Chaos sind unbekannt. Es gibt viele weitere Beispiele für Chaos: Wetter Doppelpendel, magnetische Pendel bei denen eine Eisenkugel über mehreren Magneten pendelt. Systeme mit stoßenden Kugeln und/oder Reflektion an gekrümmten Flächen (Gerät zur Ziehung der Lottozahlen, der Flipper und Billard) Dreikörperproblem Herzrhythmus Turbulenz (z.b. Bénard-Konvektion) Bäcker-Transformation: Ort einer Rosine im Kuchenteig beim abwechselnden Auswalzen und Falten des Teigs Börsenkurse. 149 The dance of chaos:

12 Schmetterlingseffekt Der Schmetterlingsjäger von Carl Spitzweg Bei Kenntnis der Lösung einer DGL und den Anfangsbedingungen bei t=0 können wir eindeutige Vorhersagen zu einem späteren Zeitpunkt t machen. t t=0 r t=0 r t t 0 e t Für chaotische Systeme ist der Schmetterlingseffekt typisch: Wenn sich zwei Anfangswerte nur um einen kleinen Wert ε unterscheiden, so können die entsprechenden Punkte sehr schnell mit der Zeit auseinander laufen. In dynamischen Systemen, bei denen man die zeitliche Entwicklung durch Bewegung im Phasenraum darstellt, kann man sich bei jedem Zeitschritt eine Abbildung aller Punkte des Phasenraumes auf andere Punkte vorstellen. Der Ljapunow-Exponent λ beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich zwei Punkte im Phasenraum eines dynamischen Systems voneinander entfernen oder annähern. 150

13 Arnolds Katze (nach V.I. Arnold russischer Mathematiker) Die Bildtransformation der nxn Matrix entspricht der Operation: T x y = 2 x y x y modulusn Bildquelle: 151

14 Fraktale Fraktal ist ein von Benoît Mandelbrot geprägter Begriff (lat. fractus: gebrochen, von frangere: brechen, in Stücke zerbrechen), der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Benoît B. Mandelbrot 20. November 1924 in Warschau 152

15 Selbstähnlichkeit Selbstähnlichkeit ist die Eigenschaft von Objekten in verschiedenen Maßstäben, dieselben oder ähnliche Strukturen wie im Anfangszustand zu zeigen. Selbstähnlichkeit findet sich auch in der Natur. Dabei ist jedoch die Anzahl der Stufen von selbstähnlichen Strukturen begrenzt und beträgt oft nur 3-5. Typische Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei Farnen. Weit verbreitet sind Strukturen ohne strenge sondern mit statistischer Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise Bäume, Blutkreislauf, Lunge, Gehirn, Flusssysteme, Wolken und Küstenlinien. Java-Applets: Pythagorasbaum: 153

16 Fraktale Dimensionen (Hausdorff-Dimension) Besteht ein Objekt aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien seiner selbst mit gleichem Verkleinerungsfaktor für alle Kopien, so kann man die Ähnlichkeitsdimension d einführen: Linie: Fläche: d = ln Objektvervielfachung ln Verkleinerungsfaktor d = ln 2 ln 2 = 1 Felix Hausdorff 8. November 1868 Breslau 26. Januar 1942 in Bonn d = ln 9 ln 3 = 2 ln 3 ln 3 = 2 154

17 Koch-Kurve Niels Fabian Helge Hartmut von Koch 25. Januar 1870 Stockholm 11. März 1924 Stockholm Die Ausgangsstrecke wird gedrittelt und das Mittelstück durch zwei Strecken mit einem Winkel von 60 ersetzt. Alle 4 Strecken haben 1/3 der Länge der Ausgangsstrecke. Die Prozedur wird für alle Strecken immer wieder durchgeführt. d = ln 4 ln Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng selbstähnlich, bei beliebiger Vergrößerung erscheinen immer wieder die gleichen Strukturen. 155

18 Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Iterationsschritt um den Faktor 4/3 länger wird. Nach dem n-ten Iterationsschritt ist die Kurvenlänge auf das (4/3)n-fache angewachsen. Wenn das Dreieck unterhalb der ersten Iteration den Flächeninhalt 1 hat, kommt bei der zweiten Iteration an jeder der 4 Strecken ein Dreieck mit Flächeninhalt von 1/9 hinzu. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich aus der geometrische Reihe 4 n = 9 n=0 9 5 Trotz ihrer unendlichen Länge schließt die Koch-Kurve nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein. 156