Zentrum für Mathematik

Transkript

1 Fakultät: Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung: Mathematik, Professur für Didaktik der Mathematik Bilder und Perlen der Mathematik Tag der Mathematik 2017 Dr. rer. nat. Frank Morherr Marburg, Zentrum für Mathematik

2 Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt: Pythagoräische Zahlentripel

3 Schaufelradbeweise und Klappbeweise Methode 1 (ohne Rechnen) Methode 2 (Perigal) Methode 1 (mit Rechnen) Methode 3 (Klappbeweis)

4 Beweise des Satzes des Pythagoras Ähnlichkeitsbeweis: c F

5 Höhensatz und Kathetensatz in Bildern

6 Summen natürlicher Zahlen Figurierte Zahlen n-te k-eckszahl: 3-Eckszahlen (k=3):

7 4-Eckszahlen (Quadratzahlen) (k=4): Summen natürlicher Zahlen

8 Spirale mit Quadratzahlen

9 Summen natürlicher Zahlen 5-Eckszahlen (k=5): Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler ( Resultat aus der Funktionentheorie): Als formale Potenzreihe in q gilt: Die Koeffizienten auf der rechten Seite sind lediglich 0,1,-1

10 Summen natürlicher Zahlen Summe der ersten n natürlichen Zahlen (Dreieckszahlen) Summe der ersten n Quadratzahlen (quadratische Pyramidenzahlen)

11 Summen natürlicher Zahlen Summe der ersten n Kubikzahlen Anwendung: Integration über Riemannsche Summe Beispiel: Obersumme:

12 Geometrische Visualisierung der Division mit Rest und des ggt Kettenbruchentwicklung ist ablesbar: Zerlegung in Quadrate ist ablesbar:

13 Zahlen am Pascalschen Dreieck

14 Zahlen am Pascalschen Dreieck

15 Die Fibonacci-Zahlen Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (von 1180 in Pisa; bis 1241 in Pisa) war Rechenmeister in Pisa und gilt als der bedeutendste Mathematiker des Mittelalters. Die Fibonacci-Zahlen beschreiben die Populationsentwicklung der Kaninchen Start mit einem Elternpaar. Die nächste Generation besteht aus der Summe der beiden vorhergehenden. Bildungsgesetz:

16 Die Fibonacci-Zahlen Rekursionsformel Explizite Formel

17 Die explizite Formel Die Gestalt der expliziten Formel erstaunt, da die irrationale Zahl 5 auftaucht, die Fibonacci-Zahlen, aber aufgrund der Rekursion alle ganzzahlig sind. Die 5 kürzt sich immer günstig: (Gelegenheit für Schüler, binomische Formeln zu üben)

18 Methode von Binet Allgemeines Verfahren, welches prinzipiell bei allen mehrstufigen Rekursionen funktioniert, eng verwandt mit der Methode der erzeugenden Funktionen. Ein analoges Verfahren funktioniert bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.

19 Methode von Binet

20 Grenzen geometrischer Beweise Ein Beispiel sehen Sie hier: Weiße Fläche: 13*34=442 Kästchen Weiße Fläche: 21*21=441 Kästchen Die bunten Dreiecke sind in beiden Bildern jeweils gleich groß. Was ist hier los? Wo kommt das zusätzliche Quadrat her? Wieso gerade diese Zahlen?

21 Der Schein trügt scheinbare Hypotenuse hat in Wirklichkeit einen Knick dort versteckt sich der zusätzliche Kasten Der Knick fällt nicht auf, da Steigungen sich als Quotient von Fibonacci-Zahlen einem Grenzwert (Kehrwert des Goldenen Schnitts) annähern. Hier ein Beispiel in größerem Maßstab Weiße Fläche: 2*5=10 Kästchen Weiße Fläche: 3*3=9 Kästchen Allgemeine Formel, die dahinter steckt:

22 Beweis der Cassini-Identität

23 Anschauliche Beweise von Identitäten

24 Anwendung von Identitäten Cardanische Formel Die aus dem binomischen Satz stammende Identität Binomische Formel dient zum Lösen kubischer Gleichungen der Form Wähle Dann sind wegen Produkt und Summe von Bekannt, und aus der p-q-formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung folgen und somit Binomischer Satz zur Ableitung von f(x)= x³

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26 Bilder zum goldenen Schnitt Goldenes Rechteck Fibonacci-Rechtecke und goldene Spirale Goldenes Rechteck: Front des UN-Hauptgebäudes 3 goldene Rechtecke im Ikosaeder Fünfeck falten Kettenbruchentwicklung von Φ

27 Der goldene Schnitt in der Kunst

28 Der goldene Schnitt in der Architektur Rathaus in Leipzig Petersbasilika, Rom(Vorläufer des Petersdoms) Le Corbusier: Unité

29 Das Geheimnis der Din-Formate Die Standardgrößen für Papierformate in Deutschland sind die vom Deutschen Institut für Normung (DIN) erstmals am 18. August 1922 in der DIN-Norm DIN 476 festgelegten Formate. Das Verhältnis zwischen Breite und Höhe ist bei allen Formaten gleich. Um diesen Wert und die Hintergründe geht es auf Arbeitsblatt 1. Entwickelt wurde der Standard vom deutschen Ingenieur Walter Porstmann. Der Entwurf gleicht den in Vergessenheit geratenen Entwürfen aus der Zeit der Französischen Revolution.

30 Fragen rund ums Din-Format Welche Maße hat das üblicherweise zu Schreiben verwendete DinA4? Warum sind die Maße so krumm und keine glatten Zahlen? Was bedeutet Din? Was bedeutet A? Was bedeutet die Zahl? Wie gelange ich von einem Din-Format zum nächsten? Wie groß ist das konstante Seitenverhältnis der Din-Formate? Was ist der Vorteil eines konstanten Seitenverhältnisses? Wie verhalten sich die Flächen verschiedener Din-Formate zueinander? Wie sind die Maße aller anderen Din-Formate? Wie groß ist die Fläche von DinA0? Was hat diese Fläche mit der französischen Revolution und mit dem Erdumfang, bzw. Abstand Pol- Äquator zu tun? Welche Fläche ergibt sich, wenn man die Fläche alle Din-Formate aufsummieren würde?

31 Einige wenige mathematische Antworten

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34 DinA-Maße

35 Die geometrische Summenformel und die geometrische Reihe

36 Formaler Beweis: Die geometrische Summenformel

37 Übergang zur geometrischen Reihe

38 Anschaulicher Beweis der Formel der geometrischen Reihe

39 Geometrische Reihe in Bildern

40 Fraktale Gebilde und Selbstähnlichkeit Siehe auch: Frank Morherr: Folgen und Fraktale: Mathematik in der Natur als Grundlage zum Verständnis des Grenzwertprozesses in der E-Phase der gymnasialen Oberstufe, Oberursel 2013 Fraktale Gebilde besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige Dimension sondern eine gebrochene daher der Name und weisen zudem einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit auf. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren. Bekannte Beispiele: Apfelmännchen, Kochsche Schneeflocke

41 Newtonverfahren für eine Funktion : Ziel ist das iterative Berechnen einer Nullstelle von f, sofern eine solche vorliegt. Idee: Fraktale durch Iteration von Funktionen Beispiel komplexes Newtonverfahren Analoges Verhalten tritt auf für komplexe Funktionen Hier liegt dieselbe Iterationsformel zugrunde und auch hier ist es erst mal unklar, mit welchem Startwert man bei welcher Nullstelle landet. Betrachten wir z.b. die Funktion Die Funktion hat drei komplexe Nullstellen: Iterationsformel ist: Problem: Nicht klar, mit welchem Startwert man bei welcher Nullstelle landet oder ob Verfahren divergiert Zeichnet man diese in die komplexe Zahlenebene ein und färbt Sie in den Farben rot, grün und blau. Außerdem färbt, man jeden Startpunkt in der Farbe der Nullstelle, bei der das Verfahren endet. Das Ergebnis ist typisch und das folgende fraktale Gebilde:

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43 Benoit Mandelbrot und das Apfelmännchen Programm für die Schule, selbst ausprobieren: Fractalizer

44 Bilder ebener Fraktale Sierpinski-Dreieck: Apfelmännchen für n=4 und der Funktion mittels Fractalizer. Natürliche Erzeugung mittels Reaktions-Diffusions-Systemen:

45 Sierpinski-Dreieck und Pascalsches Dreieck Koeffizienten modulo 4:

46 Chaosspiel oder der verliebte Frosch Man stelle sie vor, in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sitze jeweils eine Froschdame. In der Mitte sitzt ein Frosch mit Farbe an den Füßen, der sich nicht entscheiden kann, zu welcher Dame er möchte. Mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 springt er den halben Weg auf eine bestimmte Dame zu. Dann hat er vergessen, wo er eigentlich hinwollte und springt wieder mit eine Wahrscheinlichkeit 1/3 den halben Weg auf eine bestimmte Dame zu. Jedes mal lässt er einen Farbklecks zurück. Videos bei Youtube: Sierpinski Dream Playing the Chaos Game (Sierpinski Triangle) ZELDA SYMBOL : created by a chaos-game

47 Fraktale im Raum Romanasco: Mengerschwamm: 3D-Drucker

48 Empfindlich gegenüber Anfangsbedingungen: Tod des Laplaceschen Dämons Ein kleiner Magnet hängt an einem Faden mit sechs gleichartigen, regelmäßig angeordneten Magneten. In der Ruhelage befindet er sich etwas oberhalb der Anordnung. Die Pole der sechs Magnete ziehen den darüber schwebenden Magnete an. Der Magnet wird zu unterschiedlichen Startpunkten ausgelenkt und losgelassen. Der Magnet vollführt eine Bewegung, die ihn schließlich bei einem der sechs anderen Magneten zur Ruhe kommen lässt. Auch bei genauster Kontrolle des Startpunktes lässt sich bei weiter Auslenkung nicht vorhersagen, bei welchem Magnet er stehenbleibt. Rechts sind die Startpunkte mit der Farbe des Magneten gekennzeichnet, an dem die Bewegung ändert. Es entsteht ein Fraktal. Schmetterlingseffekt

49 Selbstähnlichkeit in der Natur Natürliche Beispiele Selbstähnlichkeit bedeutet, dass ein Objekt auf Bäume/Äste/Blätter unterschiedlichen Skalen im wesentlichen gleich bzw. Küstenlinien ähnlich aussieht. Es besitzt eine Skaleninvarianz: Blitze Blutkreislauf/Kapillaren Flusssysteme/Flussdelta Risse Gemüsesorten wie Blumenkohl, Romanesco Farne Lungenbläschen/Bronchien Bäume Schmelzender Schnee auf Teer in unterschiedlicher Vergrößerung:

50 Küstenlinien Blitze Blutkreislauf/Kapillaren Flusssystem Flussdelta Risse Blumenkohl Romanesco Farne

51 Während in der Natur die Anzahl der Stufen von selbstähnlichen Strukturen begrenzt und oft nur drei bis fünf beträgt, kann man in der Mathematik ideale selbstähnliche Strukturen konstruieren, die egal, wie weit man reinzoomt, immer ähnlich aussehen. Mathematische Beispiele: Cantorsches Diskontinuum Sierpinski-Dreieck Mengerschwamm Mandelbrotmenge (Apfelmänchen) Pythagorasbaum Kochsche Schneeflocke Das Faszinierende bei Fraktalen ist, dass aus einfachen Konstruktionsvorschriften, die immer wieder angewendet werden, komplexe Strukturen entstehen. Dies ist auch ein Grund, wieso ihr Auftreten in der Natur so häufig ist. Minimale auf der DNA gespeicherte Informationen werden als Bauplan für komplexe Systeme immer wieder abgerufen.

52 Baumfraktale: Der Goldene Schnitt und Fraktale Ziel: Bestimme den Verkleinerungsfaktor f so, dass sich die Äste berühre, d.h. keinen Zwischenraum offenlassen, sich aber auch nicht überlappen. Alternativ: Pythagoras-Baum