Vorlesung 14. Lorenz-Attraktor: erstes Beispiel vom dynamischen Chaos. Wintersemester 2018/ M. Zaks

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1 Vorlesung 14. Lorenz-Attraktor: erstes Beispiel vom dynamischen Chaos Wintersemester 2018/ M. Zaks

2 hintergrund Kontext: Wettervorhersage. Entstehung von Luftbewegungen infolge der thermischen Konvektion, angetrieben von der Sonneneinstrahlung in die Erdatmosphäre. (die aufgewärmten Elemente dehnen sich aus, werden leichter als die Umgebung, und in einem Schwerekraftfeld bewegen sie sich nach oben, wo sie sich abkühlen und wieder abtauchen.) Atmosphäre wird als eine ebene Schicht betrachtet (h R Erde ). Die einsetzende konvektive Strömung besteht aus zweidimensionalen rotierenden Rollen. Typische Geschwindigkeiten sind viel kleiner als Schallgeschwindigkeit Inkompressibilität. WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

3 Problemstellung: zweidimensionale thermische Konvektion in einer ebenen Schicht aus einer inkompressiblen Flüssigkeit ( Rayleigh-Bénard Konvektion ) hintergrund Variablen (Felder): Geschwindigkeit v(x, z, t), Temperatur T (x, z, t), Druck p(x, z, t). Bewegungsgleichungen: Navier-Stokes Boussinesq v t + (v )v = p ρ + ν v + g (1 β(t T 0)) T + (v )T = χ T, divv = 0 t ρ: Dichte, ν: kinemat. Viskosität, χ: Temperaturleitfähigkeit, g: Schwerkraftbeschleunigung, β: Koeff. therm. Ausdehnung, h: Höhe der flüssigen Schicht Untere Platte: Temperatur T 1 ; obere Platte: Temperatur T 2. T 1 > T 2 WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

4 Dimensionslose Kriterien: Ra gβ(t 1 T 2 )h 3 χν σ ν χ Prandtl-Zahl, Rayleigh-Zahl. Inkompressibilität Stromfunktion Ψ(x, z, t): Fourier-Zerlegung: Ψ(x, z, t) = v x = Ψ z, m,n= T (x, z, t) = T 1 + (T 2 T 1 ) z h v z = Ψ x ( ( amx ψ mn (t) exp 2πi h + m,n= + nz ) ) 2h ( ( amx θ mn (t) exp 2πi h ( a: Wellenzahl von Konvektionsrollen in x-richtung.) hintergrund + nz ) ) 2h WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

5 Lorenz-Gleichungen E. Lorenz: Reduktion auf drei Variablen: x(t) ψ 11 (t): Amplitude der ersten Fourier-Mode von der Stromfunktion (Geschwindigkeitsfeld); y(t) θ 11 (t), z(t) θ 02 (t): Amplituden der zwei Fourier-Moden des Temperaturfeldes. ẋ = σ (y x) ẏ = r x y x z ż = x y b z, Parameter: σ Prandtl-Zahl von der Flüssigkeit, r normierte Rayleigh-Zahl: r Ra Ra 0, Ra 0 = π4 (1 + a 2 ) 3 a 2, b geometrischer Parameter; b = a 2. WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

6 Lorenz-Gleichungen Eigenschaften von Lorenz-Gleichungen ẋ = σ (y x) ẏ = r x y x z ż = x y b z, div (f ) = σ 1 b = const < 0 Phasenvolumen jeder Menge von Anfangsbedingungen schrumpft exponentiell im Laufe der Zeit. Dissipativität (Anwesenheit von einem absorbierenden Gebiet im Phasenraum). Symmetrie bezüglich der Transformation {x x, y y }. WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

7 Attraktoren von Lorenz-Gleichungen ẋ = σ (y x) ẏ = r x y x z ż = x y b z, Lorenz-Gleichungen Bei r < 1: Gleichgewicht x=y=z=0 ist global asymptotisch stabil. Bei r = 1: superkritische Heugabel-Bifurkation. Bei 1 < r < r AH : die Attraktoren sind zwei Gleichgewichte mit x = y = ± b(r 1), z = r 1. Bei r = r AH = σ σ + b + 3 : subkritische Andronov-Hopf σ b 1 Bifurkation. Bei r > r AH :?? WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

8 Numerische Integration bei σ = 10, b = 8/3, r = 28. Lorenz-Gleichungen x t z t WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

9 Lorenz-Gleichungen Projektionen vom Phasenportrait bei σ = 10, b = 8/3, r = 28. y x z x WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

10 Lage vom Attraktor im 3D-Raum Lorenz-Gleichungen 40 z x y Auf den ersten Blick besteht der Attraktor aus den zwei flachen Flügel. Die Trajektorie ist aber in keiner zwei-dimensionalen Fläche eingebettet!. Der Attraktor ähnelt in jedem Schnitt einer Cantor-Menge. Das ist Beispiel von einem seltsamen Attraktor (strange attractor). Numerische Schätzung der fraktalen Dimension: D WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

11 Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen Lorenz-Attraktor Bei Änderung von x(0) um δ x = 10 2 : WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

12 Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen Lorenz-Attraktor Bei Änderung von x(0) um δ x = 10 4 : WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

13 Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen Lorenz-Attraktor Bei Änderung von x(0) um δ x = 10 6 : WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

14 Lorenz-Attraktor Benachbarte Trajektorien laufen auseinander: jede einzelne Trajektorie auf dem Attraktor ist instabil aber deren Gesamtheit wirkt anziehend maximaler Abstand zwischen den Bahnen wird begrenzt durch die endliche Größe vom Attraktor. Im Laufe der Zeit kommen die chaotischen Orbits immer wieder beliebig nah zueinander und entfernen sich erneut. (Stabilität nach Poisson) WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

15 periodizität im chaos Im chaotischen Attraktor sind unendlich viele instabile periodische Orbits eingebettet: embedded unstable periodic orbits UPOs WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

16 periodizität im chaos Im chaotischen Attraktor sind unendlich viele instabile periodische Orbits eingebettet: embedded unstable periodic orbits UPOs WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14

17 sprachgeschichte Edward Lorenz: Deterministic non-periodic flow, David Ruelle, Floris Takens: strange attractors, 1971: anziehende Mengen im Phasenraum, die keine Mannigfaltigkeiten sind. James Yorke: chaos, Period three implies chaos : unendlich viele periodische Lösungen. Lorenz-Attraktor ist seltsam und chaotisch: seltsam (strange) bezieht sich auf seine Geometrie, chaotisch charakterisiert die zeitliche Dynamik. Mary Cartwright, John Littlewood: On nonlinear differential equation of the 2nd order: ÿ + k(1 y 2 )ẏ + y = bλk cos(λt + α), k large ( Journ. London Math.Soc ). WS 2018/19 Nichtlineare Dynamik, Vorlesung 14, / 14