Übersicht. Rückblick: klassische Mechanik

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1 61 Übersicht 1) Makroskopische k (phänomenologische) h Thermodynamik Terminologie Hauptsätze der Thermodynamik Kreisprozesse Maxwell Viereck response Funktionen Phasenübergänge 2) Statistische i Mechanik Rückblick: klassische Mechanik Ensembles Zählung von Zuständen Beispiele (ideales Gas, ideale Quantensysteme, Photonengas, Phononen, Elektronengas, BEC, )

2 62 2. Statistische Physik Mikroskopische Erklärung der phänomenologischen Mikroskopische Erklärung der phänomenologischen Thermodynamik

3 63 Hamiltonfunktion Rückblick: klassische Mechanik Energie M: Zahl der Freiheitsgrade Darstellung der Energie als Funktion von verallgemeinerten Ot Orts und Impulskoordinaten Dynamik des Systems beschrieben durch Hamiltonsche Gleichungen

4 Phasenraum Die Koordinaten q 1, q 2,..., q M, p 1, p 2,..., p M spannen einen 2Mdimensionalen Phasenraum ( Raum) auf. Das System mit M Freiheitsgraden wird durch einen Punkt dargestellt. 64 Punkt im Phasenraum: (0) p (t) Hamiltonsche Bewegungsgleichungen: Zeitablauf der Trajektorie q Für N Teilchen im 3 (M = 3N; Dim = 6N=2M)

5 alternative Beschreibung: 65 6N dimensionaler Phasenraum ( Raum) 6 dimensionaler Phasenraum ( Raum) Statt einer Trajektorie im 6N dimensionalen Raum N Trajektorien (Schwarm von Phasenpunkten) im Raum Beispiel: nichtwechselwirkende Teilchen in2d vorher nachher Schnitt durch den Raum

6 Beispiel: 4 harmonische Oszillatoren in 1D 66 eine Trajektorie im Raum ODER 4 Trajektorien im Raum wichtiger Fall: keine Wechselwirkung der Teilchen untereinander Teilchen bewegen sich unabhängig ggvoneinander Hamiltonfunktion zerfällt in N unabhängige (gleiche) Teile

7 67 Kunstgriff der statistischen statistischen Mechanik Theorie der Ensembles : Große Zahl A identischer Hamiltonscher Systeme zu gleichen makroskopischen Variablen (z.b.: E, V, N) aber zufällig verteilten mikroskopischen Variablen, Zufällige Verteilung der Anfangsbedingungen Beobachtung des gleichen Systems zu unterschiedlichen h Zi Zeiten Grundannahme der statistischen Physik:

8 Phasenraumdichte im Γ Raum: Dichte von Systempunkten im Phasenraum: p q p 68 Anzahl der Punkte des Ensembles im kleinen Volumenelement : q Grenzübergang : Phasenraumdichte Normiert: Wahrscheinlichkeitsdichte, dass System im Zustand ist

9 Liouvillesches Theorem: Volumen im Phasenraum 69 Änderungentlang entlang des Phasenraumflusses Poisson Klammer Keine Quellen und Senken für Ensemblepunkte, keine Schnittpunkte von Phasenraumtrajektorien Kontinuitätsgleichung

10 70 Liouvillesches ill Theorem Phasenraum fluss V t V 0 Erhaltung des Phasenraumvolumens Zentrale Aufgabe der statistischen Mechanik: Bestimmung von ρ

11 Boltzmanns Hypothese der gleichen a priori Wahrscheinlichkeit: das mikrokanonische Ensemble isoliertes System: System ist gegen die Umgebung abgeschirmt vorgegebene Makroparameter: E, V, N Mikrokanonisches (MK) Ensemble 71 Boltzmanns Grundannahme (Ergodenhypothese): Beispiel: 3D Hyperfläche Bei Zeitentwicklung eines großen Systems (N ~ ) kommen alle Trajektorien im Phasenraum im Laufe der Zeit jedem Punkt mit gleicher Energie beliebig nahe, d.h. die Punkte liegen auf der Hyperraumfläche im Phasenraum mit H = E dicht (Dimension der Hyperraumfläche 6N 1).

12 Mit anderen Worten: alle Mikrozustände gleicher Energie sind gleich wahrscheinlich 72 stationär! Bestimmung von Observablen: bl Zeitmittelwert einer Observable const. Ensemblemittelwert einer Observable Aus Ergodenhypothese folgt:

13 73 Die Richtigkeit dieser Annahmen kann nur in speziellen Fällen bewiesen und nur durch Vergleich der Ergebnisse mit Messwerten nachträglich gerechtfertigt werden. Folgerung: im Gleichgewicht ändern sich Messgrößen nicht Beispiele für nicht ergodische Systeme: jedes System, in dem es neben der Energie noch weitere Erhaltungsgrößen der Bewegung gibt