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1 Fakultät für Physik der LMU München Prof. Ilka Brunner Michael Kay Vorlesung T4, WS11/12 Klausur am 18. Februar 2012 Name: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahlen: Hinweise Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden. Bitte verwenden Sie den freien Platz sowie die Rückseiten der Blätter für Ihre Antworten. Sollte dieser Platz nicht ausreichen, legen Sie weitere Blätter bei. Kennzeichnen Sie jedes einzelne Blatt mit Namen, Matrikelnummer und der Nummer der Aufgabe. Verwenden Sie für jede Aufgabe ein separates Blatt.

2 1. Kurzfragen (30 Punkte) a) Gegeben sei ein System mit der freien Energie F = AT 4 V, wobei A eine dimensionsbehaftete Konstante ist. Bestimmen Sie folgende Größen als Funktion von (T, V ) (i) Entropie S (ii) Druck p (iii) Energie U (iv) Wärmekapazität C V. b) Betrachten Sie die Thermodynamik eines Gummifadens. Von welchen beiden Zustandsvariablen hängt die freie Energie als thermodynamisches Potential ab? Geben Sie die Maxwell-Relation, die hieraus folgt, an. c) Die Hamiltonfunktion des Ising Modells für N Spins auf einem Gitter ist gegeben durch H = J ij σ i σ j h N σ i. Hierbei ist J eine Konstante und h ein äusseres Magnetfeld. (i) Welches Vorzeichen hat J im Fall eines Ferromagneten? (ii) Zeigen Sie, dass die Hamiltonfunktion in der Molekularfeldnäherung durch folgenden Ausdruck gegeben ist: i=1 H mf = 1 2 qnm2 (Jqm + h) i σ i. Erläutern Sie, welche Näherung gemacht wurde, und geben Sie die Bedeutung von q und m an. d) Betrachten Sie ein van der Waals Gas. Die Zustandsgleichung ist gegeben durch (p + N 2 a)(v Nb) = NkT V 2 (i) Skizzieren Sie die Isothermen des van der Waals Gases in einem p-v -Diagramm. (ii) In welchem Bereich ist das Verhalten der Isothermen unphysikalisch? (iii) Wie kann man das Verhalten korrigieren?

3 (iv) Welche physikalischen Eigenschaften werden beim van der Waals Gas im Gegensatz zum idealen Gas mitberücksichtigt? e) Betrachten Sie eine mikrokanonische Gesamtheit. Die Energieeigenwerte E n des Hamiltonoperators seien n-fach entartet. Geben Sie die Entropie S(E n ) an. f) Wir betrachten den klassischen Grenzfall idealer Quantengase. Die erste Quantenkorrektur zum idealen Gasgesetz lautet pv kt = 1 ± λ 3 (2s + 1)2 5/2 v (i) Für welche Teilchen geht der Korrekturterm mit positivem, für welche mit negativem Vorzeichen ein? (ii) Begründen Sie, warum der Korrekturterm im klassischen Limes klein ist. g) 2 Niveau-System: Betrachten Sie eine kanonische Gesamtheit von N Teilchen, die sich jeweils im Grundzustand der Energie 0 oder in einem angeregten Zustand der Energie befinden können. Geben Sie die Zustandssumme an.

4 2. Ideale Mischung und chemisches Gleichgewicht (16 Punkte) a) Betrachten Sie eine ideale Mischung von Gasen aus zwei Komponenten 1 und 2, d.h. es gelte U = U 1 + U 2 sowie Zeigen Sie S(U, V, N 1, N 2 ) = S 1 (U 1, V, N 1 ) + S 2 (U 2, V, N 2 ) (i) Für die Temperaturen gilt T = T 1 = T 2. (ii) Die Partialdrücke der Komponenten addieren sich zum Gesamtdruck p. (iii) Nehmen Sie an, dass das ideale Gasgesetz in guter Näherung das Verhalten der Gase beschreibt. Zeigen Sie, dass für das chemische Potential der i-ten Kompenente (i = 1, 2) in der Mischung gilt µ i (T, p, c 1, c 2 ) = µ 0 i (T, p) + kt ln c i. Hierbei ist c i die Konzentration c i = N i /N, und µ 0 i das chemische Potential der reinen Komponente. b) Betrachten Sie die folgende chemische Reaktion (bei konstantem Druck und konstanter Temperatur) 2H 2 + O 2 2H 2 O Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht die chemischen Potentiale folgende Gleichung erfüllen: c) Zeigen Sie für die Reaktion in b) 2µ H2 µ O2 + 2µ H2 O = 0 c 2 H 2 O c 2 H 2 c O2 = K(T, p), wobei K(T, p) nicht von den Konzentrationen abhängt.

5 3. Fermi-Gas (16 Punkte) Betrachten Sie ein ideales Fermi Gas. Die Energieniveaus für ein einzelnes Teilchen seien E 0 E 1 E 2 E l.... a) Bestimmen Sie die grosskanonische Zustandssumme. b) Betrachten Sie nun ein Fermigas in einem Behälter der Kantenlänge L, im Limes grosser L. Nehmen Sie die folgende Energie-Impuls Beziehung (in 3 Dimensionen) an E p = a p s und betrachten Sie den absoluten Nullpunkt. Zeigen Sie, dass E N wobei E F die Fermi-Energie ist. = 3 + s 3 E F, c) Nennen Sie zwei physikalische Beispiele von Werten für a und s.

6 4. Entropie (13 Punkte) a) Betrachten Sie N mögliche Versuchsergebnisse, die mit Wahrscheinlichkeit p i, i = 1,..., N, eintreten. (i) Geben Sie die Definition der Shannon-Entropie S an. (ii) In welcher Verteilung ist S maximal, in welcher Verteilung ist S minimal? Welchen Wert nimmt S in diesen Verteilungen an? (iii) Nehmen Sie nun an, dass der Mittelwert einer Observable bekannt ist, also N p i E i = E. i=1 Extremieren Sie die Entropie unter dieser Nebenbedingung und zeigen Sie dass p i = 1 Z e βe i, wobei β ein Lagrange-Multiplikator ist. Was ist Z? d) Gegeben sei eine kanonische Gesamtheit mit 2 Zuständen der Energie E 1 und E 2. Bestimmen Sie die Entropie.

7 5. Harmonischer Oszillator (14 Punkte) Betrachten Sie ein klassisches System von N unterscheidbaren ein-dimensionalen harmonischen Oszillatoren. Die Hamiltonfunktion ist H({q i, p i }) = N i=1 ( p 2 i 2m mω2 q 2 i a) Bestimmen Sie die kanonische Zustandssumme. Ergebnis: Z = AT N, wobei A eine dimensionsbehaftete Konstante ist, und T die Temperatur. b) Bestimmen Sie die freie Energie. c) Bestimmen Sie die Zustandsgleichung sowie die mittlere Energie. d) Geben Sie die Geschwindigkeitsverteilung für ein herausgegriffenes Teilchen an. ).

8 6. Relativistische Energie-Impuls-Beziehung (14 Punkte) Gegeben sei ein klassisches, nicht-wechselwirkendes Gas aus N masselosen Teilchen (in 3 Dimensionen) mit einer relativistischen Energie-Impuls Beziehung H = N c p i, i=1 c ist die Lichtgeschwindigkeit. a) Bestimmen Sie die Zustandssumme. b) Bestimmen Sie die mittlere Energie. c) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus Teil b) durch Anwendung des Äquipartitionstheorems. d) Wie lautet die mittlere Energie für N relativistische Teilchen in einem d-dimensionalen Raum?