Übungen zur Theoretischen Physik F SS 12

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Theoretischen Physik F SS Prof. Dr. Jörg Schmalian Blatt 8: Lösungen Dr. Igor Gornyi Besprechung Landauscher Diamagnetismus: Die grundlegende Idee dieser Aufgabe ist es den Diamagnetismus, der mit der Kreis- Bahnbewegung der Elektronen einhergeht zu beschreiben. Zu diesem Zweck betrachten wir den Hamilton-Operator eines freien Teilchens im Magnetfeld. a Die Schrödinger-Gleichung zur Beschreibung eines solchen Teilchens ist gegeben durch: [ ˆp x + eh ] m c y + ˆp y + ˆp z ψ = Eψ. b Der Hamilton-Operator in Landau-Eichung ist eine Komposition der Operatoren ˆp x, ˆp y, ŷ, ˆp z. Mit den Eigenzuständen zu den Impulsen p x und p z reduziert sich die Dimensionalität des Problems und wir erhalten: χ + m [ E p z m m ωhy y ] χ =. c Hierbei benutzten wir bereits die Definition der Eigenfrequenz: und der des Zentrums der Schwingung: ω H = e H mc y = c p x eh. Wir erkennen das es sich hierbei um den quantenmechanischen harmonischen Oszillator handelst und erhalten daher die Energieniveaus: E p z m = E = ω H n +. d Damit erhalten wir auch die Landau-Niveaus: E n,pz = ω H n + + p z m. e Die Entartung: die Landau-Niveaus sind unabhängig von p x! Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind in x-richtung ebene Wellen. Damit erhalten wir im endlichen System Quantisierungsbedingungen:

2 für die Impulse p x = π L x k mit k Z, und wegen ihrer Definition sind damit auch die Schwingungszentren quantisiert: y = c π k. eh L x In y-richtung formt das System einen harmonischen Oszillator der um die Schwingungszentren y oszilliert und impliziert damit für ein endliches System, dass y [, L y ]: der Mittelpunkt y muss innerhalb von der Fläche L x L y liegen: y L y. Deswegen, die p x -Werte gehören zu einem begrenzten Interval p x = eh c L y. Die Zahl der möglichen Werte im Interval p x ist Damit ergibt sich die Entartung N px = L x π p x. aus: N = e HS π c, S = L xl y, k N = e HL xl y π c was der intuitiven Idee entspricht, dass mit größerer Querschnittsfläche auch die Anzahl an Landau-Niveaus anwächst. Des weiteren steigt die Anzahl an Zuständen mit dem Magnetfeld H da sich die effektive Fläche π c/ e H für ein Landau- Niveau reduziert. f Da die Landau-Niveaus nicht miteinander wechselwirken ist das großkanonische Potential gegeben durch: Ω = T λ ln + e βµ E λ wobei über die Zustände λ = p z, n summiert wird. Inklusive der Entartung der Landau-Niveaus ergibt sich: n s N L z dp z π λ hierbei ist der Faktor n s = eine mögliche Spinentartung falls es zu keiner Zeeman- Aufspaltung kommt. Damit erhalten wir V = SL z = L x L y L z : Ω = T n sehv π c n= n [ dp z ln + exp β µ p z m n + ] ω H.

3 g Mit der Definition für µ B folgt: ω H = e H mc = µ BH/. Umschreiben des großkanonischen Potentials in die gewünschte Form Ω = n s µ B H impliziert die Funktion f[µ n + µ B H], n= fµ = T mv π 3 µ B = e mc, [ ] dp z ln + exp β µ p z. m Intermezzo: Die Euler-McLaurin-Formel Wir betrachten eine glatte langsam variierende Funktion f. Im Folgenden wollen wir die explizite Integration der Funktion über das Intervall [, ] approximieren. Dazu führen wir eine partielle Integration durch, bei der als Stammfunktion von die Funktion x + c verwendet wird. fxdx = [x + cfx] x + cf xdx Ist die Funktion sehr langsam variierend, ist es sinnvoll die Konstante c so zu wählen, dass x + cdx = gilt. Denn f x sollte nahezu Konstant sein. Für c = / ist dann eine gute Approximation gefunden. Falls erst f x diese Bedingung erfüllt, kann die ursprüngliche Idee der partiellen Integration erneut angewandt werden: [ x x + cf xdx = x ] x + c f x x + c f xdx. Die Konstante c lässt sich zu / bestimmen. Mit Außnahme der Funktion x / sind alle weiteren so definierten Funktionen symmetrisch um x = /. Außerdem sind sie Vielfache der Bernoulli-Polynome, was für all jene interessant ist die eine geschlossene exakte Form suchen. Unser ursprüngliches Integral lässt sich also wie folgt abschätzen: fxdx [f + f] [f f ]. Betrachten wir nun eine größeres Intervall m N so folgt: a+m a fxdx m fa + n n= [fa + fa + m] [f a + m f a]. Da die oben bestimmten Konstanten sich nicht durch Translation des Intervalls ändern.

4 h Zuerst werden wir uns die Euler-McLaurin-Formel für unsere Bedürfnisse anpassen. F n= n + dxf x dxf x + F dxf x + F F 4 8 = wobei wir folgende Abschätzungen verwendet haben: dxf x + 4 F F x F + xf F / F + F /, F / F. Verwenden wir nun diesen Ausdruck für das großkanonische Potential, so erhalten wir: Ω = n µ B H = n s dxfµ µ B Hx + n sµ B H 4 µ dxfx n sµ B H n fµ µ BHn fµ µ. Das erste Glied ist unabhängig vom Magnetfeld. Deswegen erhalten wir: Ω = n Ω µ n s µ BH Ω µ. i Die magnetische Suszeptibilität ist gegeben durch: χ = χ dia = Ω H = n sµ B Ω 6 µ < n= Das System ist also diamagnetisch wenn keine Zeeman-Aufspaltung eintritt. Wird jedoch die Zeeman-Aufspaltung berücksichtigt erhalten wir einen zusätzlichen Beitrag der Pauli-Suszeptibilität. Wir erhalten in führender Ordnung in H: Ω = [Ω µ + µ B H + Ω µ µ B H] µ BH Ω µ + µ B H + Ω µ µ B H µ µ Ω µ + µ BH Ω µ 6 µ BH Ω µ Bemerken Sie, dass N = Ω. µ T,V

5 Es folgt: χ dia = 3 χ P, wobei χ P = µ B N µ T,V die Pauli-Suszeptibilität ist. Der Anteil der Pauli-Suszeptibilität zusammen mit dem ursprünglichen Landauschen Diamagnetismus verrechnen sich zu: χ = Ω H = χ P + χ dia = 3 χ P = µ B Ω 3 µ > Was ein paramagnetisches Verhalten des Gases bedeutet.. Anharmonischer Oszillator: Im Wesentlichen wird in dieser Aufgabe gezeigt, dass Korrekturen zur harmonischen Oszillator-Näherung der Form αˆx 3 in der Lage sind, dass Phänomen der thermische Ausdehnung zu beschreiben. a Im ungestörten System gilt: und damit auch: Z = n= Ĥ = ˆp m + mω ˆx = ω â â +,, E n = ω n +, Z = e β ω / e = β ω sinh ω β und F = kt lnz = ω + kt ln e β ω. Intermezzo: Störungstheorie für thermodynamische Observablen Die Zustandssumme ist gegeben durch: Z = n e βĥ+ ˆV n. n= Wir können die Exponentialfunktion als Zeitentwicklungsoperator in imaginärer Zeit auffassen. Damit lässt sich die Zustandssumme in das Äquivalent des Wechselwirkungsbilds transformieren: Z = n= nβ e βĥ T τ e β dτv Iτ nβ mit V I τ = e τĥ V e τĥ.

6 Für kleine Störungen ergibt sich damit in erster Ordnung in ˆV : Z = n= n e βĥ = Z β dτv I τ n n Z n= β dτe τe n V e τe n n = Z β ˆV. Die freie Energie in dieser Ordnung Störungstheorie ist also F = F + ˆV. Für thermische Mittelwerte von Observablen ergibt sich: Â = n Z β ˆV e βĥ n= = Â n e βĥ Z n= β dτv I τ Â n β dτv I τ β ˆV Â n. Einfluss der Störung: die freie Energie in. Ordnung ergibt sich durch: F = TrŴ ˆV = Z n= e βen n ˆV n / Indem wir ˆx durch â, â ausdrücken via ˆx = mω â + â folgt für ˆx 3 ˆV : 3/ ˆx 3 â = 3 + â â + â ââ + ââ + â 3 + â â + ââ â + â â. mω Die Wirkung der â, â ist bekannt: â n = n n, â n = n + n +. Wird der Ausdruck für ˆx 3 in n ˆV n = α n ˆx 3 n eingesetzt, so ergeben sich eine Reihe von Termen, aber in keinem dieser Terme wird der Ausgangszustand n wieder hergestellt und wir erhalten: n ˆx 3 n = ˆV = F =. Man muss also mindestens bis zur. Ordnung gehen, um eine nicht triviale Korrektur zu F zu bekommen. b Wir bestimmen im weiteren die mittlere Ausdehnung x des Systems. Im ungestörten System gilt: ˆx = TrŴˆx = Z n= / mω n â + â n } {{ } = =

7 Der harmonische Oszillator hat im Mittel keine Auslenkung aus der Ruhelage. In harmonischer Näherung kann daher keine thermische Ausdehnung beschrieben werden. Korrekturen zum ungestörten System Die Korrektur zum ungestörten System ist in führender Ordnung beschrieben durch: β ˆx = TrŴˆx = dτ Z n= n e βĥ [ e τĥ ˆV e τĥ ˆV }{{} ] ˆx n. = Durch einschieben einer ˆ vor dem ˆx und dem Anwenden der e Ĥ Zustände erhalten wir: auf die n - ˆx = Z β n= m= dτ e τe n E m n ˆV m m ˆx n. Integrieren liefert: ˆx = Z n,m= e βe m n E n E ˆV m m ˆx n. m Das Umbenennen der Variablen n m im. Term e βem noch Re n ˆV m m ˆx n benötigt wird: führt dazu, dass nur ˆx = Z n,m= [ m E n E ˆV n n ˆx m + n ˆV m m ˆx n ] m }{{} = m ˆV n n ˆx m Wir vereinfachen im Weiteren die Summen mit Hilfe des Matrixelements n ˆx m. / n â+â / n ˆx m = mω m = mω n m m + n m + m + Damit wird die Summe über n ausgeführt und es bleibt: ˆx = [ /mω e βe m m m Z E m= m E ˆV m m ] e βe m+ + m + m E m+ E ˆV m + + komplex konj. m m= In der ersten Zeile ersetzen wir die Summationsvariable durch m = m, m =,,,... und nennen diese dann wieder m, um die beiden Summen in gleiche Form zu bringen. Außerdem kann E m+ = E m + ω verwendet werden, was es uns erlaubt ˆx = mω +komp.konj. / α ω Z m= [ e βe m+ m + m ˆx 3 m + m + ˆx 3 m e ] β ω

8 zu schreiben. Von den Termen in ˆx 3 tragen nur wenige zum Matrixelement 3/ m + ˆx 3 m = m + â â + â ââ + ââ m mω }{{} 3 m + m + m + m + bei. Damit ergibt sich für die Korrektur zur Auslenkung: α sinhβ ω / ˆx = mω ω Z m + e β ωm+. m= Diese Summe kann über den Ableitungstrick ausgeführt werden: mit x β ω gilt: m + e β ω m+ m= = n= n e β ω n = x Berücksichtigen wir noch Z = Z n= Das Ergebnis lautet schlussendlich: e x n n= ex/ erhalten wir: ex = = ex + e x x e x e x. 3 n e x n = ex/ + e x e x = coshx/ 4 sinh x/ = cothx/ sinhx/. α ˆx = ˆx = 6 coth ω mω ω kt. Wenn man das anharmonische Potential mω x +αx 3 für α < aufträgt, wird klar, daß sich der Nullpunkt der Schwingung nach rechts positive x verlagern sollte. In der Tat ist in diesem Fall ˆx >. Man beachte: Obige Rechnung gilt nur, solange ˆx erfüllt ist. Interpretiert man obiges Ergebnis als thermische Ausdehnung eines Kristalls, so sehen wir: ˆx α allein die Anharmonizität generiert eine Abweichung aus der Ruhelage. Bei kleinen Temperaturen ist ˆx T die thermische Ausdehnung verschwindet für T.