Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

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1 Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti othmar.marti@uni-ulm.de Institut für Experimentelle Physik Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

2 Auskünfte aus erster Hand gibt nur die Natur selbst. Sie ist also zu befragen, will man nicht zeitlebends am Krückstock von Autoritäten humpelnd lernen. Roger Bacon, Mönch zu Oxford, 13. Jh. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

3 Klausur Die Klausur ndet am 26. Juli 2007 von 9:00-11:00 im Hörsaal H2 (eventuell auch H14) statt 1. Hilfsmittel: 6 Seiten (3 Blätter) A4 von eigener Hand beschrieben, Taschenrechner. Bemerkung: Diese Klausurnote kann zur Befreiung der Studiengebührenzahlung führen! 1 Klausur Grundlagen 1 wird am am Nachmittag geschrieben. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

4 2. Hauptsatz Zustandsdichte des idealen Gases Ideales Gas Wir betrachten N Moleküle eines monoatomaren Gases. Im allgemeinsten Fall setzt sich die Gesamtenergie aus der kinetischen Energie der Teilchen und der gegenseitigen Lageenergie (potentielle Energie) der Teilchen zusammen. E = E kin + E pot Die Anzahl Zustände zwischen E und E + δe sind Ω (E, E + δe) = 1 h 3N 0 E+δE E... d 3 r 1d 3 r 2... d 3 r N d 3 p 1... d 3 p N Dies sind 6N Integrale über den gesamten Phasenraum des Systems. Wir haben die Abkürzungen d 3 r i = dx i dy i dz i und d 3 p i = dp ix dp iy dp iz verwendet. Bei einem idealen Gas ohne gegenseitige Wechselwirkung ist E pot = 0. Deshalb ist das Integral über die Raumkoordinaten einfach das Volumen Othmar Marti zur (Universität N-tenUlm) Potenz. Schwingungen und Wärmelehre / 20

5 2. Hauptsatz Zustandsdichte des idealen Gases Ideales Gas E+δE... d 3 r 1... d 3 r N = N E+δE d 3 r i = V N E Die Integrale über die Impulse dürfen, bei einem idealen Gas, nur von der gesamten kinetischen Energie E kin abhängen. E χ (E kin ) = E+δE... d 3 p 1... d 3 p N Damit erhalten wir E Ω (E, E + δe) = ω(e)δe = h 3N 0 V N χ (E kin ) Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

6 2. Hauptsatz Zustandsdichte des idealen Gases Ideales Gas Aus der Mechanik ist bekannt, dass die gesamte kinetische Energie sich als Summe der kinetischen Energien der einzelnen Teilchen schreiben lässt: 2mE kin = N 3 i=1 α=1 Dies ist die Bestimmungsgleichung einer 3N-dimensionalen Kugel. Diese Kugel hat den Radius R(E kin ). Die Anzahl Zustände zwischen 0 und E hängt dann vom Radius R dieser Kugel ab und ist proportional zu φ (E) R f p 2 iα Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

7 2. Hauptsatz Zustandsdichte des idealen Gases Ideales Gas Da E p 2 ist, gilt auch φ (E) (2mE) f 2 In der Kugelschale zwischen E und E + δe liegen Ω (E, E + δe) E f 2 1 = E 3N 2 1 Zustände. Hier haben wir verwendet, dass die Anzahl Freiheitsgrade f = 3N ist. Damit ist die Anzahl Zustände im Energiebereich zwischen E und E + δe durch Ω (E) = BV N E 3N 2 gegeben. B ist dabei konstant und unabhängig von V und E. Das Resultat für Ω (E) ist abhängig von δe. Es wird sich jedoch zeigen, dass der Einuss von δe für messbare thermodynamische Grössen nicht relevant ist. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

8 2. Hauptsatz Zustandsdichte des idealen Gases Zustandsanzahl bei (ir-)reversiblen Prozessen Ω i = Ω f reversibler Prozess Ω i < Ω f irreversibler Prozess Tabelle: Unterscheidung von reversiblen und irreversiblen Prozessen Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

9 2. Hauptsatz Zustandsdichte des idealen Gases Zeitskalen τ t exp Das System ist im Gleichgewicht Statistik gilt τ t exp Das System kann durch gedachte Beschränkungen Statistik gilt im Gleichgewicht gehal- ten werden τ t exp Nichtgleichgewicht Schlamassel Tabelle: Gültigkeit der statistischen Beschreibung abhängig von der Zeitkonstante τ Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

10 Systeme im Kontakt Skizze zweier thermodynamischer Systeme A und A im Kontakt. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

11 Systeme im Kontakt Der Satz von der Energieerhaltung verlangt, dass E = E 0 E Ω 0 (E, E + δe): Anzahl Zustände des Gesamtsystems A 0 zwischen E und E + δe. Statistische Unabhängigkeit Die Wahrscheinlichkeit des Zustandes Ω 0 des Gesamtsystems ist p (E) = CΩ 0 (E) = Ω 0 (E) Ω 0, tot Dabei ist C eine noch unbekannte Konstante und Ω 0, tot die Gesamtzahl aller möglicher Zustände summiert über alle Energien. Ω 0 (E) = Ω (E) Ω (E 0 E) p (E) = CΩ (E) Ω (E 0 E) Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

12 Breite der Verteilungsfunktion Breite der Verteilungsfunktion Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

13 Breite der Verteilungsfunktion Für p(e) gilt: E Ẽ Begründung: Ω E f Ω E f Daraus folgt für den Logarithmus von p ln p f ln E + f ln (E 0 E) + const Dabei existieren die folgenden Grenzwerte E = 0 ln p = E = E 0 ln p = E = E 0 2 ln p = (f + f ) ln E const Maximum Das Maximum von p ist sehr viel schärfer als das Maximum von ln p. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

14 Breite der Verteilungsfunktion Wie gross ist Ẽ? Diese Grösse kann über die Ableitung berechnet werden. ln p E = 1 p p E = 0 Es gilt aber p (E) = CΩ (E) Ω ( E ) Damit und mit = E E E E = E erhalten wir 0 = ln p E = [ ln C + ln Ω (E) + ln Ω ( E )] E ln Ω (E) = ln Ω (E ) E E Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

15 Breite der Verteilungsfunktion Wir setzen und erhalten im Gleichgewicht β (Ẽ β = ln Ω E ) = β ( Ẽ ) mit Ẽ = E 0 Ẽ. Dieses β(e) ist eine Funktion von E und hat als Einheit [β] = 1 J. Andererseits wissen wir, dass auch die Temperatur eine Funktion der Energie, nämlich der inneren Energie U ist. Wir denieren: k T (U) = 1 β (U) Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

16 Breite der Verteilungsfunktion Dabei ist k die Boltzmannkonstante und T (U) die Temperatur. Mit der (zuerst rein formalen) Denition der Entropie bekommt man und damit 1 T S = k ln Ω = kβ = k ln Ω U 1 T = S U S heisst Entropie. Ihre Einheit ist [S] = [ J K ]. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

17 Breite der Verteilungsfunktion S = k ln Ω ist die statistische Denition der Entropie In unserer Herleitung hängt die Anzahl der Zustände Ω und die Entropie S immer noch von der konstanten Breite des Energieintervalls δe ab. Gleichung Gleichung (7) zeigt, dass β unabhängig von δe ist. Nehmen wir an, dass das Energieintervall von δe auf δ E wechselt. Da die Zustandsdichten gleich sind(ω(e) = ω (E)), gilt auch Ω (E) = Ω(E) δe δ E und damit S = k ln Ω = S + k ln ( ) δ E. Nun hat aber S/k die Grössenordnung f und ln ( δ E δe ) δe liegt irgend wo bei einem Wert kleiner 100, so dass in sehr guter Näherung gilt: S = S. Damit ist auch die Entropie unabhängig von der Wahl von δe. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

18 Breite der Verteilungsfunktion Der wahrscheinlichste Zustand unserer beiden thermodynamischen Systeme im Kontakt ist gegeben durch S + S = Maximum Diese Gleichung folgt aus der Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes nur zunehmen, nicht aber abnehmen darf. Weiter wissen wir von früher, dass die Temperaturen auch gleich sein müssen. T = T Aus der statistischen Physik kann man ableiten: Im Gleichgewicht zweier thermodynamischer Systeme sind ihre Temperaturen gleich und die gesamte Entropie S maximal. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

19 Spielkarten und Entropie 52 Karten gibt es Ω = 52! mögliche Anordnungen. Die Ausgangssituation hatte Ω = 1 möglichen Zustand. Nach dem Mischen der Karten hat die Entropie um ( ) p S = k ln 156 k = J K zugenommen. p 1 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20

20 Mischen zweier Substanzen Wir mischen den Inhalt einer Kiste mit weissen Sandkörnern mit dem Inhalt einer Kiste mit schwarzen Sandkörnern. Die Wahrscheinlichkeit vorher ist p 1 = 2 N = Nach dem Mischen ist die Wahrscheinlichkeit des Zustandes p 1. Die Entropie nimmt beim Mischen um ( ) ( ) p 1 S = k ln = k ln = k ln (2 n ) = kn ln k J K p 1 2 N Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 20