2 Die mikrokanonische Gesamtheit

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1 2 Die mikrokanonische Gesamtheit Für ein isoliertes makroskopisches System mit der Gesamtenergie E können wir die Werte von makroskopischen Observablen in einem Gleichgewichtsszustand nach unserer Grundannahme als Erwartungswerte bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes μ E darstellen. Dieses sogenannte mikrokanonische Maß auf der Energiefläche E lautet gemäß den Ausführungen auf S. 7 dμ E 1 ωpeq d E, (2.1) mit d E δph Eqd, (2.2) ωpeq d E. (2.3) E Die Normierungskonstante ωpeq ist also das Volumen der Energiefläche bezüglich des Maßes d E, welches durch das Liouville sche Maß d auf E induziert wird. (Die präzise Definition von d E wurde in der Definition 1.1 gegeben.) Natürlich gilt auch ωpeq dφpeq de, (2.4) wobei ΦpEq d θpe Hqd (2.5) HăE das Phasenvolumen von tx P : Hpxq ďeu ist. Für ein makroskopisches System wird die Gesamtenergie nur bis auf einen makroskopisch unbedeutenden Fehler Δ (mit Δ{E! 1) bekannt sein. Das Phasenvolumen Φ Δ peq der Energieschale tx P :E Δ ď Hpxq ďeu ist dann in genügender Näherung gleich ωpeqδ. Oft bezeichnet man das Wahrscheinlichkeitsmaß 1 dμ m-kan Φ Δ peq δδ ph Eq d, (2.6) wobei δ Δ die charakteristische Funktion des Intervalls p Δ, 0q ist, als mikrokanonische Gesamtheit und (2.1) als super-mikrokanonisches Maß. Wir werden später Gründe dafür angeben, dass die Entropie des Systems durch SpEq k ln Φ Δ peq (2.7) gegeben ist (k : oltzmann-konstante). Die Entropie hängt für makroskopische Systeme nur sehr schwach von Δ ab. Tatsächlich gilt für große Teilchenzahlen N SpEq k ln ΦpEq`Opln Nq (2.8) Springer-Verlag erlin Heidelberg 2017 N. Straumann, Statistische Mechanik, DOI / _2

2 2 Die mikrokanonische Gesamtheit 13 (siehe Aufgabe I.2). Deshalb können wir auch den Ausdruck k ln ΦpEq für die Entropie verwenden. Gleichung (2.7) ist der präzise Ausdruck des oltzmann schen Prinzips im Rahmen der klassischen statistischen Mechanik. (Der Terminus geht auf Einstein zurück.) Äquipartitionstheorem Für den mikrokanonischen Erwartungswert einer Observablen f gilt allgemein 1 xfy Φ Δ fδ Δ ph Eq d «Δ peq Φ Δ fd E peq E 1 «fdμ E fd. (2.9) ωpeq E E Speziell für fpxq x i erhalten wir mit dem Gauß schen Satz x j x i d x i ph Eqd x j x j rx i ph Eqs d δ ij ph Eq d. x j loooooooooooomoooooooooooon 0 (Oberflächenintegral über E q Deshalb gilt F 1 x i δ ij x j ωpeq pe Hq d. E Die Ableitung des Integrals ist gleich θpe HqpE Hq d δpe E loooooooooomoooooooooon HqpE Hq d ` 0 θpe Hq d ΦpEq. Das Resultat F j 1 d x i δ ij ln φpeq (2.10) x j de nennt man das Äquipartitionstheorem für die mikrokanonische Gesamtheit. eispiel 2.1 (Das klassische ideale Gas) Dafür ist ΦpEq d 3N p d 3N q, ř p 2 i 2m ďe Λ N

3 14 I Grundlagen der klassischen statistischen Mechanik wenn die N Teilchen in einem Kasten Λ mit dem Volumen V Λ eingesperrt sind. Es gilt ΦpE,V q V N d 3 p V N Vol 3N p? ı 2mEq, ř p 2 i 2m ďe wobei n prq den all im R n mit dem Radius R bezeichnet. Dafür gilt (siehe Straumann, 1988) Vol r n prqs R n π n{2 ` n 2 ` 1. Also ist ΦpE,V q V N p2πmeq 3N{2 ` 3N 2 ` 1, oder mit der Stirling schen Formel (siehe Aufgabe I.4) n! «` n n, e 3N{2 ˆ4πemE ΦpE,V q«v N 2N 3N{2 ˆ4πm 3N V N v N 3 ε 2 e3n{2 ˆ v : V N,ε: E. (2.11) N Aus (2.10) erhalten wir damit für den Erwartungswert von p j 2p2 j p j 2m (p j: eine Komponente von einem Impuls aus tp i u) p 2 F j 2 m 3 ε. Falls wir aus der kinetischen Gastheorie ε 3 2kT übernehmen, so ergibt sich aus (2.10) ln ΦpE,Nq E 1 kt. (2.12) Diese Formel werden wir in Kapitel 3 allgemeiner begründen. (Siehe auch Aufgabe I.2.)

4 2 Die mikrokanonische Gesamtheit 15 Adiabatische Invarianz des Phasenvolumens Die Hamilton-Funktion hänge von einer Anzahl von äußeren Parametern a (Volumen etc.) ab. Wir berechnen die Variation des Phasenvolumens ΦpE,aq, welches natürlich ebenfalls von a abhängt. Für beliebige Variationen δe und δa gilt d.h. δφ Φ Φ δe ` E a δa ωpe,aqδe ` δa θpe Hpaqq d a ωpeqδe δa a d E, E δφ ωpeq δe F j δa. (2.13) a ei adiabatischen Änderungen eines isolierten Systems ändert F sich die Energie nur über Änderungen der äußeren Parameter, es ist also δa gleich δe. Somit a bleibt Φ bei adiabatischer Änderung invariant.

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