Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

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1 Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti othmar.marti@uni-ulm.de Institut für Experimentelle Physik Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

2 Mittlere freie Weglänge Mittlere freie Weglänge, weitere Betrachtung Für statistisch unabhängige Teichen mit den Geschwindigkeiten v 1 und v 2 ist v 1 v 2 = 0 Dann ist (v ) 2 = (v 1 v 2) 2 = v v v 1 v 2 = v v 2 2 Da wir identische Teilchen betrachten folgt (v ) 2 = 2v 2 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

3 Mittlere freie Weglänge Mittlere freie Weglänge, weitere Betrachtung Die Stosszahl pro Zeit ζ (auch Stossrate genannt) im Schwerpunktsystem ist ζ = (v ) 2 nσ = 2 v 2 nσ Diese Stossrate ändert sich nicht, wenn wir zum Laborsystem übergehen, da bei der Galilei-Transformation die Zeit invariant ist. ζ = ζ Die mittlere freie Weglänge l im Laborsystem ist dann durch das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeit v 2 zur Stossrate ζ l = v 2 ζ = 1 2 nσ Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

4 Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

5 Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Die gesamte zurückgelegte Strecke r setzt sich aus den k Einzelstrecken s i zusammen. k r(t) = Wir verwenden die Verteilungsfunktion für Stösse und erhalten i=1 s i s 2 k, N = 0 z 2 dn(z) dn(z) 0 = z 2 σ N 0 0 e nσ z σ N 0 0 e nσ z = 2N0 n 2 σ 2 N 0 = 2 n 2 σ 2 In drei Dimensionen sind die mittleren Verschiebungsquadrate in die x-, die y- und die z-richtung gleich. Damit bekommt man x 2 N = y 2 N = z 2 N = 1 3 r 2 N = 2 3 v N tl Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

6 Brownsche Bewegung Gleichungen x 2 N = 2 3 v N tl = 2D t = kt t 3π η r Diese Beziehung ist bekannt als Formel von (Albert) Einstein und (Marian von) Smoluchowski Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

7 Brownsche Bewegung Gleichungen x 2 (t) n = x 2 (t) + y 2 (t) n = r 2 (t) n = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) n = r 2 (t) n = kt t 3π η r 2kT t 3π η r kt t π η r eine Dimension zwei Dimensionen drei Dimensionen Die Brownsche Bewegung von Teilchen ist auch bekannt unter dem Namen thermisches Rauschen. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

8 Brownsche Bewegung Höhenverteilung der Teilchendichte im homogenen Gravitationsfeld bei isothermer Atmosphäre Die Teilchendichte ist entsprechend mit der Höhe Boltzmann-verteilt. n = n 0 e Mgh N A kt = n 0 e mgh kt Dabei ist m die Masse eines einzelnen Teilchens. Mit dem Potential ϕ(z) ausgedrückt ist n (h) n (0) = mϕ(h) e kt Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

9 Teilchenströme bei Betrachtung von Teilchenströmen N l von links nach rechts und N r rechts nach links. von Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

10 Wir betrachten einen Teilchenstrom aus dem Volumen links von der Fläche A nach rechts. Im ganzen Gebiet, sowohl links wie rechts von A, soll die Teilchendichte n eine Funktion von z sein. Die Abhängigkeit von den anderen Koordinaten können wir vernachlässigen, wenn A genügend klein ist. In der Nähe von z, an den Stellen z l können wir die Teilchenzahldichte n(z l) abschätzen, indem wir die Steigung dn(z) an der Stelle z zur Schätzung verwenden. n(z l) = n(z) + dn(z) z ( l) = n(z) dn(z) Analog kann der Wert der gemittelten Geschwindigkeit v(z) N an den Stellen z l bestimmt werden. v(z l) N = v(z) N d v(z) N l z z l Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

11 Teilchenströme Die Teilchen sollen jedes eine individuelle Geschwindigkeit v i haben. Wenn wir zum Mittel über alle Geschwindigkeitsbeträge wechseln, wird nur ein Teil der Teilchen sich durch die Fläche A bewegen. Wenn wir die Fläche A als eine Seite eines Würfels betrachten, in dem sich die Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen bewegen, dann wird 1/6 aller Teilchen die Fläche A durchstossen. Der Teilchenuss durch A in der Zeit dt ist dann dn l = A n (z l) v (z l) dt 6 dn r = A n (z + l) v (z + l) dt 6 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

12 Teilchenströme Diese beiden Ausdrücke können mit Hilfe der Taylorentwicklung umgeschrieben werden: [ dn l = A n (z) dn(z) ] [ ] 6 l d v (z) v (z) l dt [ = A d v (z) n (z) v (z) n (z) l v (z) dn(z) 6 [ dn r = A n (z) + dn(z) ] [ ] 6 l d v (z) v (z) + l dt [ = A d v (z) n (z) v (z) + n (z) l + v (z) dn(z) 6 l + dn(z) l + dn(z) d v (z) d v (z) l 2 l 2 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

13 Teilchenströme Der Netto-Teilchenstrom durch A in der Zeit dt ist [ dn l dn r = A d v (z) 2n (z) l + 2 v (z) dn(z) 6 [ = A d v (z) n (z) + v (z) dn(z) 3 ] l dt ] l dt Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

14 1. Ficksches Gesetz In einer Dimension: dn(z) = dn l dn r = A dn(z) v (z) l dt = D A dn(z) dt 3 Die Grösse D heisst skoezient. Die Einheit von D ist [D] = m2 s In drei Dimensionen dm dt n A = D A grad ρ wobei n A der Normalenvektor auf die kleine Fläche A ist. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

15 und Massentrasport Das 1. Ficksche Gesetz wird oft auch mit der Teilchenstromdichte j formuliert. Mit den Beziehungen n = ρ M j n = dm dt 1 A M n A wobei M die Teilchenmasse ist. Das erste Ficksche Gesetz lautet dann j n = D grad n ( Aus der Massenerhaltung ṁ = dm div dt A) n oder der Erhaltung der Teilchenzahl ṅ = div j n folgt das zweite Ficksche Gesetz ṅ = D n Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

16 im Gravitationsfeld Teilchenströme j sink und j Di hervorgerufen durch die Gravitationskraft und die Wenn ein Teilchen, das einer Kraft F ausgesetzt ist, sich durch ein Medium mit Streuzentren bewegt, verliert es immer wieder Impuls an die Streuzentren. Seine Geschwindigkeit wird zuerst wachsen und mit der Zeit einen konstanten Wert annehmen, der proportional zu F ist. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

17 im Gravitationsfeld v = µ F Die Proportionalitätskonstante µ heisst Beweglichkeit. Ihre Einheit ist [µ] = m s N = s kg Die Geschwindigkeit der sinkenden Teilchen ist v = µmg Daraus resultiert mit der Teilchendichte n die Teilchenstromdichte j sink = nv = µ mg n(z) Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

18 im Gravitationsfeld Der sstrom ist nach dem 1. Fickschen Gesetz durch j Di = 1 dn A dt = D dn (z) gegeben. Im Gleichgewicht müssen sich die beiden Ströme gerade kompensieren j sink + j Di Die Lösung dieser Dierentialgleichung ist dn (z) = 0 = µ mg n (z) D µ mg h/d n (z) = n (0) e Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

19 im Gravitationsfeld Diese Gleichung, hergeleitet aus der Betrachtung der und die isotherme barometrische Höhenformel und die daraus abgeleitete Boltzmannverteilung beschreiben die gleiche Situation. Deshalb müssen die Exponenten gleich sein. µ mgh D = mgh kt Daraus folgt die Einsteinbeziehung D = µ kt Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

20 Wärmekraftmaschinen Otto-Motor Arbeitszyklus eines Ottomotors. a: ansaugen,b adiabatisch verdichten, c: Verbrennung, d: Expansion (Arbeitstakt), e Önen des Auslassventils (isochor) und f Ausstoss der Verbrennungsgase. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

21 Wärmekraftmaschinen Wäremtransport in Wärmekraftmaschinen Wärmestrom vom Wärmebad (Wärmereservoir) bei T 2 zum Wärmebad bei T 3, wobei die mechanische Arbeit W abgegeben wird. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23

22 Wärmekraftmaschinen Wirkungsgrade Motortyp Kompres- κ Wirkungsgrad κ Wirkungssionsverhältnis bei grad K f = 5 f = 6 Otto-Motor Diesel-Motor Tabelle: Kompressionsverhältnis und Wirkungsgrade Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23 bei

23 Wärmekraftmaschinen Carnot-Maschine 8000 Carnot Maschine Isotherme T 2 = 500 K 5000 p/pa 4000 Isotherme T 1 = 400 K Adiabaten V/m 3 Arbeitsdiagramm der Carnot-Maschine Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 23