Kinetische Theorie. Übersicht: Voraussetzungen: Verteilungsfunktionen Grundgleichungen: Kollissionen

Transkript

1 Kinetische Theorie Übersicht: Verteilungsfunktionen Grundgleichungen: Boltzmann Vlasov Fokker-Planck Kollissionen neutral trifft neutral neutral trifft geladen geladen trifft geladen Voraussetzungen: keine thermische Bewegung der Teilchen wird berücksichtigt Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 1

2 Phasenraum und Verteilungsfunktion Punkt im Phasenraum: Geschwindigkeit im Phasenraum: Zusammenhang Phasenraumdichte Teilchenzahldichte im 3D makroskopische Größe als Mittelwert im Phasenraum Beispiel: Geschwindigkeit (bulk velocity): Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 2

3 Maxwell-Verteilung kinetische Energie in Volumenelement: zufällige kinetische Energie und Druck: Maxwell-Verteilung: thermische Geschwindigkeit: speed statt velocity: Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 3

4 Andere Verteilungsfunktionen Bi-Maxwell-Verteilung berücksichtigt unterschiedliche Geschwindigkeiten parallel und senkrecht zum Feld: Kappa-Verteilung: hochenergetisches Ende als Power-Law in E: Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 4

5 Verteilungsfunktion & Messgrößen differentielle Intensität: Zahl der Teilchen im Energieintervall von E bis E+ E, die im Zeitintervall t aus Richtung Ω in einem Raumwinkel Ω in einem Zeitintervall durch eine Einheitsfläche senkrecht zu Ω fallen: Omnidirektionale Intensität: Zusammenhang zwischen differentieller Intensität und Phasenraumdichte: Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 5

6 Grundgleichungen kinetische Theorie Bewegungsgleichung im Phasenraum beschreibt Entwicklung eines Teilchenensembles: Boltzmann-Gleichung: allgemeinste Form, liefert Maxwell-Verteilung Vlasov-Gleichung: Kräfte sind ausschließlich elektromagnetisch Fokker-Planck-Gleichung: zusätzlich Stöße zwischen den Teilchen Grundidee: Kontinuitätsgleichung im Phasenraum Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 6

7 Boltzmann-Gleichung Kontinuitätsgleichung im Phasenraum: Kraft unabhängig von Geschwindigkeit stoßfreie Boltzmannglg. oder in Kurzform: d.h. das Medium im Phasenraum verhält sich wie eine inkompressible Flüssigkeit. Zusätzlich Kollisionen: Reduzierte Boltzmann-Gleichung: Änderung in f auf Grund von Kollisionen sind klein: Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 7

8 Vlasov-Gleichung Lorentz-Kraft in die Boltzmann-Gleichung einsetzen: Problem: Boltzmann gilt für Kräfte, die von der Geschwindigkeit unabhängig sind; Lorentz enthält Geschwindigkeit explizit. aber: es wird der Gradient der Beschleunigung im Geschwindigkeitsraum betrachtet, d.h. a_x/ v_x=0 Jeans Theorem: Äquivalenz von kinetischer Theorie und Orbit- Theorie: Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 8

9 Fokker-Planck-Gleichung I Problem: Stöße sind kein deterministischer sondern ein stochastischer Prozeß. Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Änderung der Geschwindigkeit im Zeitintervall t multipliziert mit Phasenraumdichte f(t- t) ergibt Phasenraumdichte f(t) Beschränkung auf Kleinwinkelstreuungen Taylor-Entwicklung Normierung der Wahrscheinlichkeit (irgendeine Streuung findet immer statt) erlaubt Vereinfachung mit Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 9

10 Fokker-Planck-Gleichung II Kollissionsterm (s.o.) Beschleunigungsterm: durch Reibung werden die langsamen Teilchen auf Kosten der schnellen beschleunigt und umgekehrt Einsetzen in Fokker-Planck liefert oder Diffusion im Geschwindigkeitsraum: Aufweitung der Verteilung Entwicklung einer suprathermischen Teilchenpopulation monoenergetischer Beam entwickelt sich in eine isotrope Ringverteilung; um so langsamer, je kleiner die Zahl der Stöße mit großen Änderungen im Winkel!!! Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 10

11 Kollisionen erforderlich, um eine Maxwell-Verteilung herzustellen in der Fokker-Planck-Gleichung Auswirkungen individueller Stöße als klein angenommen im Plasma erfolgen Stöße zwischen zwei Neutralteilchen Neutralteilchen und geladenem Teilchen (identisch zu zwei Neutralteilchen) zwei geladenen Teilchen Konsequenz: Gyrationszentrum gelangt auf andere Feldlinie Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 11

12 Mittlere freie Weglänge (neutrals) Definition mittlere freie Weglänge λ aus Verteilung der Wege zwischen zwei auf einander folgenden Stößen Abschwächung eines Teilchenstrahls beim Durchgang durch Materie mit Teilchenzahldichte n und Streuquerschnitt σ Zeit zwischen zwei Stößen bzw. Stoßfrequenz: Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 12

13 Coulomb-Stöße Streuung einer Ladung im Coulomb-Feld Wirkungsquerschnitt für Streuung um mehr als 90 entsprechend einer Stoßfrequenz: Plasma: mit Debye-Länge λd (Abschirmung) ergibt sich als Verhältnis für Streuung um kleine und große Winkel der Coulomb-Logarithmus Λ: Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 13

14 Zusammenfassung Wechselwirkungen im Plasma sind (auch) statistischer Natur, daher Übergang auf Verteilungsfunktionen formale Grundlage: Phasenraumdichte, Liouville sches Theorem Entwicklung der Phasenraumdichte beschreibbar durch Boltzmanngleichung (allgemeinste Gleichung) Maxwell-Gleichung ableitbar Das Medium im Phasenraum verhält sich wie eine inkompressible Flüssigkeit Vlasov-Gleichung: elektromagnetische Kräfte Fokker-Planck-Gleichung: berücksichtigt Kollisionen Kollisionen: Beschreibung durch mittlere freie Weglänge im Plasma erfolgen bei den meisten Stößen nur Ablenkungen um kleine Winkel, Ursache ist die Abschirmung, charakterisiert durch die Debye-Länge Space Physics SS Kap. 5: Kinetische Theorie 14