Observable und Zustände in klassischer Mechanik

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1 Observable und Zustände in klassischer Mechanik Einleitung: Algebraische Aspekte, Zustände, Observable Algebraische Aspekte der Hamiltonschen Mechanik Die Quantenmechanik (/-theorie) ist vor allem algebraisch aufgebaut. Deshalb ist es von Interesse die klassische Mechanik auf eine Art und Weise zu formulieren, die genauso algebraische Eigenschaften in den Vordergrund stellt. Im Zuge dessen können auch in der klassischen Mechanik die Begriffe "Zustand" und "Observable" mathematisch beschrieben werden und später Vergleiche zur Quantenmechanik gezogen werden. Zustände und Observable Meist wird ein Zustand eines Punktteilchens im dreidimensionalen Raum als ein Punkt im Phasenraum 1 beschrieben (d.h. durch das Paar von Impuls und Ort). Der Zustand von Punktteilchen ist dementsprechend ein Punkt im Phasenraum. Diese Definition wird im Rahmen der algebraischen Betrachtung verallgemeinert. Zustände, die wie zuvor beschrieben durch bestimmt werden können nennt man reine Zustände. Analog zur ersten "Definition" des Zustandes kann man eine Observable als mathematische Größe bezeichnen, die jedem Zustand eine Zahl zuordnet, die mit dem experimentellen Messresultat dieser Observablen identisch ist. Die reinen Zustände (eines Teilchens oder Systems) in der klassischen Mechanik sind eindeutig durch Orts- und Impulskoordinaten determiniert 2 und somit sind Observablen Funktionen der Orts- und Impulskoordinaten. Damit sind sie aber auch Funktionen auf dem Phasenraum. Die möglichen Messwerte einer Observablen entsprechen dann der Zielmenge (=Wertevorrat) der Funktion, die dieser Observable zugeordnet ist. Funktionenklassen Um Mathematik betreiben zu können, und damit auch axiomatische Definitionen aufzustellen, muss spezifiziert werden aus welcher Klasse von Funktionen die Funktionen, die die Observablen beschreiben, stammen. Welche Klasse dabei gewählt wird hängt von der jeweiligen Problemstellung ab und ist nicht vorgeschrieben 3. Üblicherweise wird eine der folgenden Funktionenklassen gewählt 4 : i) polynomiale Funktionen, ii) analytische Funktionen, iii) glatte Funktionen, eventuell mit kompaktem Träger, iv) stetige Funktionen, eventuell mit kompaktem Träger, v) integrierbare Funktionen (wie beispielsweise ), wobei jeweils die Anzahl der Freiheitsgrade angibt. Desweiteren lassen sich auch Bedingungen an das Wachstumsverhalten der Funktionen im Unendlichen stellen. 1 auch Zustandsraum; Die Menge aller möglichen Zustände, die ein dynamisches (=deterministisches) System einnehmen kann. Also der Raum, der durch die Variablen des Systems aufgespannt wird. In der klassischen Physik meist Ort und Impuls. 2 Im Gegensatz zu gemischten Zuständen, die bei statistischer Mechanik, bei der Systeme beschrieben werden von denen nur mangelhafte Kenntnis vorliegt, Verwendung finden. 3 Zum Beispiel ist es ausreichend die Funktionen auf die Klasse der stetigen Funktionen einzuschränken, wenn man "nur" bestimmte Werte und somit einzelne Zustände des Systems angeben möchte. Will man aber (physikalisch sinnvoller Weise) auch das Verhalten des Systems, also die Änderung der Observablen, betrachten, so empfiehlt es sich die Klasse weiter einzuschränken. Nämlich auf die glatten Funktionen. 4 "iii)" in der Aufzählung markiert, weil diese Klasse weiter verwendet wird 1

2 Bei Wahl der Klasse sollte darauf geachtet werden, dass sie nicht zu klein ist, damit wichtige Observablen (wie zum Beispiel die Hamilton-Funktion) in der Funktionenklasse enthalten sind 5. Wertebereiche Neben der Wahl der Funktionenklasse muss auch der Wertevorrat der Funktion spezifiziert werden: i) reellwertige Funktionen, ii) komplexwertige Funktionen, iii) vektorwertige Funktionen mit Werten in einem (reellen oder komplexen) Vektorraum Vektorwertige Funktionen können durch Betrachtung der Komponenten auf einen der ersten beiden Fälle zurückgeführt werden. Die Wahl der reellwertigen Funktionen ist naheliegend, da die experimentellen Messergebnisse meist reelle Zahlen sind. Es gibt allerdings keinen Grund komplexwertige Funktionen auszuschließen. Im Hinblick auf die Quantenmechanik bieten sie mit der komplexen Konjugation sogar noch eine entscheidende zusätzliche Struktur. Deshalb werden komplexwertige Funktionen als Observablen verwendet. Im experimentellen Sinn observabel sind aber nur die reellwertigen Funktionen,. Diese Überlegungen führen zur Definition der klassischen Observablenalgebra. Klassische Observablenalgebra Die Observablenalgebra eines klassischen mechanischen Systems mit Freiheitsgraden ist die *-Algebra der komplexwertigen glatten Funktionen auf dem Phasenraum 6. Observable sind die Elemente aus mit Einschub [1]: Definition: Algebra (über einem Körper) Einschub [2]: Definition: *-Algebra Das assoziative Produkt von ist einfach das punktweise Produkt von Funktionen und damit insbesondere auch kommutativ. Analog ist die Addition die punktweise Addition von Funktionen und die Konjugation " " ist die punktweise komplexe Konjugation der Funktionen. Somit ist auf kanonische Weise eine *-Algebra. Erwartungswerte und Varianz einer Observablen in einem reinen Zustand. Die Erwartungswerte einer Observablen sind dann einfach durch die Auswertung von in einem reinen Zustand bei gegeben. Definitionsgemäß ist die Varianz womit in einem reinen Zustand (insbesondere für alle ) gilt, dass die Varianz (und damit auch die Standardabweichung 7 ) verschwindet. 5 Aus diesem Grund wurden hier auch die glatten und nicht die stetigen Funktionen gewählt. Der allgemeinste Fall wäre die Klasse der stetigen Funktionen. Diese ist aber "zu groß" um physikalisch sinnvoll zu sein (siehe 3 ). 6 Man könnte die Definition auch analog mit einer anderen geeigneten Klasse von Funktionen aufstellen. 7 Standardabweichung ; Die Standardabweichung ist ein Maß für die Schwankung der experimentellen Messergebnisse um den Erwartungswert. 2

3 In der klassischen Mechanik erhält man in einem reinen Zustand somit immer "scharfe Messwerte" für alle Observablen, ganz im Gegensatz zur Quantenmechanik. Statistische Mechanik, gemischte Zustände, Dichtefunktionen/Wahrscheinlichkeitsmaße Bei der statistischen Mechanik geht man dazu über Systeme zu beschreiben, deren Kenntnis nur noch mangelhaft vorliegt. Um in dieser Weise Systeme beschreiben zu können muss man dazu übergehen das Befinden des Systems in einem bestimmten Zustand mit einer Wahrscheinlichkeit anzugeben. Der Zustand in dem sich das System befindet ist also nicht mehr eindeutig bestimmt, sondern es liegen sogenannte gemischte Zustände vor. Diese werden durch Wahrscheinlichkeitsmaße 8 bzw. Dichtefunktionen 9 auf beschrieben 10. Dies führt zu einer neuen, allgemeineren Definition des Zustandsbegriffes: Der klassische Zustand eines mechanischen Systems ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Phasenraum. Wie es sein muss enthält die neue Definition die alte als Spezialfall: Mit dem (als Wahrscheinlichkeitsmaß) zu reinen Zuständen gehörenden Dirac-Maß frühere Definition ergibt sich genau die Dies führt auch auf eine neue Definition von Erwartungswerten und Standardabweichung von Observablen: Erwartungswerte & Standardabweichung einer Observablen in einem (beliebigen) Zustand Unter der Annahme, dass sich ein System in einem zum Wahrscheinlichkeitsmaß gehörenden Zustand befindet ist der Erwartungswert einer Observablen definiert durch Die Standardabweichung einer Observablen im Zustand ist definiert durch also analog zur Varianz oben. Jetzt gilt aber für alle genau dann, wenn ein reiner Zustand ist (was wieder dem Beinhalten der alten Theorie entspricht). Im Allgemeinen gilt. 8 siehe Einschub [3] 9 auch Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion; Integration der Dichtefunktion über ein Intervall ergibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable zu der diese Dichtefunktion gehört einen Wert zwischen und annimmt. 10 siehe Beispiel [1] 11 Sei ein messbarer Raum, eine messbare Teilmenge von und beliebig. Dann ist die Abbildung das Dirac-Maß ; für das Lebesgue-Integral gilt in diesem Fall: 12 Sei eine beliebige Observable. Die Wahrscheinlichkeit, dass ist dann gegeben durch, wobei das Urbild des Intervalls darstellt. Mit ergibt sich die frühere Definition des (reinen) Zustandes: 3

4 Desweiteren stellt man fest, dass die Zuordnung linear ist. Außerdem gilt Zustandsbegriffes:. Diese Tatsachen führen wiederum auf eine Verallgemeinerung des Zustände als normierte, positiv lineare Funktionale Einschub [4]: Definition: normiertes, positiv lineares Funktional Ein Zustand ist ein normiertes, positiv lineares Funktional auf der Algebra klassischen Mechanik die *-Algebra ). Die Zahl (im Fall der heißt Erwartungswert von im Zustand. Die Standardabweichung einer Observablen im Zustand ist definiert (analog wie zuvor) als Die Varianz ist hier genauso definiert wie zuvor. Wiederrum gilt für alle genau dann, wenn ein reiner Zustand ist und im Allgemeinen. Dieser neue Zustandsbegriff legt alle Mess-Wahrscheinlichkeitsverteilungen fest; er legt also fest, wie sich das System in Experimenten verhält. Begründung dafür ist der Rieszsche Darstellungssatz: Rieszscher Darstellungssatz: Jedes positive und normierte lineare Funktional ist von der Form wobei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Phasenraum ist. Somit determiniert ein Zustand das Wahrscheinlichkeitsmaß für die Observablen und und damit auch für alle Funktionen in Impuls und Ort über Conclusio Somit kann festgehalten werden, dass ein klassisches, mechanisches System durch eine *-Algebra 13 (nämlich die der glatten Funktionen ) charakterisiert wird. Zustände dieses Systems sind dann normierte, positiv lineare Funktionale auf dieser *-Algebra. 13 Eigentlich sogar, durch die "größere" C*-Algebra der stetigen Funktionen. Wie zuvor beschrieben ist die Einschränkung auf die *-Algebra der glatten Funktionen, aber sinnvoll, da sonst nicht gewährleistet ist, dass die Zeitevolution (=Zeitentwicklung) der Systeme (bzw. der zugehörigen Observablen) beschrieben werden kann. (Sind die Funktionen (=Observablen) stetig, aber nicht differenzierbar, so können auch keine zeitlichen Änderungen angegeben werden.) 4

5 Einschübe [1] Definition: Algebra (über einem Körper ; daher auch K-Algebra genannt) Eine Algebra ist ein Vektorraum (über ) mit einer (zusätzlichen) Abbildung, die man Multiplikation nennt und folgende Eigenschaften erfüllen muss: i) ii) iii) iv) ein Einselement für die Multiplikation, d.h. für alle und alle (Note: Die hier Definierte Multiplikation ist nicht ident mit jener Multiplikation im Körper, obwohl sie ebenso symbolisiert wird ) Ein Beispiel wäre der Vektorraum der komplexen -Matrizen,. Mit der Matrixmultiplikation wird dieser zu einer Algebra. [2] Definition: *-Algebra Eine *-Algebra ist eine Algebra zusammen mit einer Abbildung, die man Konjugation nennt und folgende Eigenschaften erfüllen muss: i) ii) iii) iv) für alle und alle. Das Element nennt man die Adjungierte zu. Beispiel: Die Algebra bildet mit der Definition der Konjugation eine *-Algebra. Ein Element einer *-Algebra heißt normal, falls ; hermitesch, falls ; unitär falls und positiv, falls für ein. Element ist die Inverse von, falls (Notation: ). [3] Definition: Wahrscheinlichkeitsmaß Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion, die jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit (= eine Zahl zw. 0 und 1) zuordnet und folgende Eigenschaften hat: i) ii) Normierung:, wobei die Ergebnismenge (also die Menge aller möglichen Ergebnisse) ist iii) -Additivität: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, das eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen ist, ist gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einander ausschließenden Ereignisse. Für jede Folge von Ereignissen für die gilt gilt: iv) (folgt eigentlich aus "iii)") (Note: Von einem Maß spricht man wenn obige Eigenschaften, bis auf die Normierung erfüllt sind.) 5

6 [4] Definition: normiertes, positiv lineares Funktional Sei eine *-Algebra über. Ein lineares Funktional (also eine Funktion vom Vektorraum bzw. hier von der Algebra in den Körper) heißt positiv, falls für alle. Ein positives Funktional ist normiert, wenn gilt wobei das Einselement der Algebra ist. 6

7 q Lukas Ifsits - a Observable und Zustände in klassischer Mechanik Beispiele [1] Wahrscheinlichkeitsmaß Sei ein Punktteilchen gegeben, dessen tatsächlicher Zustand unbekannt ist. Wir haben aber gegeben, dass sich der Zustand des Teilchens irgendwo im Phasenraum-Volumen befindet. Diesen Wissenstand kann man über ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das definiert ist als (wobei die charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion 14 ist) beschreiben. In diesem Beispiel ergibt sich somit Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Zustand des Teilchens im Phasenraum-Volumen aufhält, ist dann durch gegeben. Also in diesem Beispiel: Bei einfachen Beispielen wie diesem kann man sich leicht graphisch veranschaulichen, dass das Ergebnis Sinn macht: p Nach unserer Kenntnis befindet sich der Zustand mit gleicher Wahrscheinlichkeit an einem beliebigen Punkt im gesamten Bereich, der hier orange dargestellt ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand im Bereich liegt (hier blau) ist dann offensichtlich. 14 Die Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion nimmt immer die Werte oder an., wenn das Element kein Teil der Menge ist;, wenn das Element Teil der Menge ist: Sei eine Teilmenge von. Dann ist die Indikatorfunktion für zur Teilmenge gegeben durch 7

8 Quellen: [1] Skript von der ETH-Zürich (leider für mich nicht herausfindbar von wem, oder zu welcher LV): [2] Stefan Waldmann; Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung (verwendete Seiten im Internet als Vorschau verfügbar): de+mechanik&source=bl&ots=_2ytixkm_o&sig=wi5w2slizdi2vs_8cm6uoequz9u&hl=de&sa=x &ei=bwp6toqas6aorzu4jgb&ved=0ceuq6aewbw#v=onepage&q=observable%20zust%c3%a4nde%20mechanik &f=false [3] Raimar Wulkenhaar; Observablen und Zustände; Seminar "Mathematische Strukturen der Quantenmechanik": [4] Wikipedia: 8