Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe. 2. Einführung in die statistische Mechanik. 3. Normalmoden. 4. Molekulardynamik

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1 Inhaltsverzeichnis. Grundbegriffe. ormalmoden 4. Molekulardynamik 5. Monte -Carlo Simulationen 6. Finite-Elemente Methode J. W. Gibbs (89 90) 2

2 Einführung in die statistische Mechanik Gas in einem Behälter? Wie kann man den mikroskopischen Zustand eines -Teilchensystems (>>) mit seinen makroskopischen (messbaren) Eigenschaften korrelieren? Klassische Mechanik öse die ewtonschen Bewegungsgleichungen Zustand zum Zeitpunkt t ist eindeutig bestimmt, wenn die Anfangsbedingungen spezifiziert sind (Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0) ABER wenn ~0 2 (Anzahl der Gasmolekülen in einem Behälter) unmöglich eine ösung zu finden (auch nicht numerisch ) kollektives Verhalten statistische Aussagen Messbare Eigenschaften (Temperatur, Druck, ) im thermodynamischen Gleichgewicht sind Ergebnis des gemittelten Verhaltens einer grossen ( ) Anzahl mikroskopischer Komponenten 4 2

3 Thermodynamisches System: edes makroskopische System, d.h. Teilchenzahl groß Thermodynamischer Zustand, Gleichgewichtszustand: Zustand des Systems, der sich (makroskopisch) nach langer Zeit bei zeitlich festen äußeren Bedingungen von selbst einstellt empirische Tatsache: die makroskopischen Eigenschaften eines thermodynamisches Systems im Gleichgewicht können durch wenige Größen vollständig bestimmt werden typische Zustandsgrößen: Gas p, V,, T, U, S, µ Gasgemisch, 2,..., µ, µ2,... Magnet M, B 5 Mikrozustand Der Zustand eines physikalischen Systems, in dem alle mikroskopischen Parameter der das System konstituierenden Teilchen spezifiziert sind. Beispiel: Ein Gas im Behälter mit Volumen V: Angabe aller Orts- r n und Impulsvektoren p n, für n=,, (~0 2!) *(+)=6 Parameter Makrozustand Der Zustand eines physikalischen Systems, der bei nur wenigen Variablen (Zustandsvariablen) charakterisiert wird. Beispiel: Der makroskopische Zustand des Gases im Behälter kann charakterisiert werden durch die Angabe von Parametern: Druck P, Volumen V, und Temperatur T. PVT hängen mit der Gesamtzahl der Teilchen im Gas durch die Zustandsgleichung PV=k B T (ideales Gas) 6

4 Beispiel: Bälle in einem Kasten Mikrozustand: Platz ist blau, Platz 2 ist blau, Platz ist grün, =2 6 Makrozustand: n=5 grüne Bälle, alle anderen blau Anzahl der Permutationen von Elementen, die in K Gruppen von e l,l 2,..., l K gleichen Elementen fallen K! l l! l!... l! 2 K # der Mikrozustände:! n!( n)! 6! !2! 7 Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit, eine 2 zu bekommen (oder, oder,.) ist p=/6. Warum? Werfe -mal hintereinander und bilde das Verhältnis p Mathematisch genauer! 6 lim p p Aber auch (Gedankenexperiment): parallele Welten Ensemble oder Gesamtheit lim p p 8 4

5 ESEMBES (Gesamtheiten) J. W. Gibbs (89 90) Ein Ensemble bezeichnet eine Menge M (M ) gleichartig präparierter Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht. Jedes Mitglied des Ensembles befindet sich in einem möglichen Mikrozustand Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mikrozustand im Ensemble auftritt ist gegeben durch P lim M M 0 5

6 Beispiel: Ensemble von magnetischen Dipolen, die eweils nur 2 Zustände einnehmen können: ach oben zeigen (spin-up) oder nach unten zeigen (spindown). Ein bestimmter Mikrozustand ist dadurch spezifiziert, dass man angibt welche Richtung eder Dipol hat (spin-up oder spin-down) (...) Ein Makrozustand ist gegeben, wenn wir angeben, wieviele Dipole im spin-up ( ) Zustand und wieviele im spin-down ( =- ) Zustand sind Magnetisierung: m= - Drei Dipole: m Makrozustände: Mikrozustände: M = - - = =2 =8 Wieviele Mikrozustände?!!( )!!, 0, M W!0! 2! 0,, M W!0! 2! 2,, M W 2!! 2!, 2, M W 2!! 2 W W W W W ges Mittelwert der Magnetisierung M m ( ) 0 8 M M M W : Gesamtzahl der möglichen Makrozustände 2 6

7 Also, allgemein für den Ensemblemittelwert einer beliebigne Grösse A (Energie, Temperatur, ) Gesamtzahl der möglichen makroskopischen Zustände des Systems A A AW Wert von A im Makrozustand Wahrscheinlichkeit des Makrozustands (Anzahl der möglichen mikroskopischen Realisierungen von ) Eine typische physikalische Fragestellung ist z.b., welchen Wert die Observable A im Mittel über einen Zeitraum (z.b. die Zeitdauer eines Messvorgangs) annimmt. A lim Atdt Im obigen Grenzfall soll sich ein Wert einstellen, der unabhängig von der Zeit wird. Bei einer diskreten Zeitfolge (Zeitreihe) gilt dann A At ( t ) 0 n n A t : sollte an edem Punkt entlang der Traektorie bekannt sein. In welchem Zusammenhang stehen Ensemble- und Zeitmittelwerte? In der Regel sind sie identisch Ergebnisse einer Simulation (in der Regel Zeitmittelwerte) stimmen mit der exakten Definition (Ensemblemittelwerte) überein 4 7