KANN DER VEKTORRAUM R 3 EIN KÖRPER WERDEN? 1. Der Körper Centsprichtdem Vektorraum R 2

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1 KANN DER VEKTORRAUM R 3 EIN KÖRPER WERDEN? MARKUS FULMEK 1. Der Körper Centsprichtdem Vektorraum R 2 Die Menge R 2 = { (x, y) : x, y R } bildet mit der komponentenweisen Addition + R 2 R 2 R 2, (x, y)+(a, b) := (x+a, y+b) bekanntlich eine kommutative Gruppe, mit der (ebenfalls komponentenweisen) Skalarmultiplikation (Multiplikation mit einer reellen Zahl) R R 2 R 2, λ (x, y, z) := (λ x,λ y,λ z) bildet R 2 bekanntlich einen Vektorraum. Auf dem Vektorraum R 2 kann man aber auch eine Multiplikation (von zwei Vektoren) definieren: R 2 R 2 R 2, (x, y) (a, b) := (x a y b, x b+ y a). Diese Multiplikation ist kommutativ und assoziativ, und es gilt: R 2 bildet mit der Vektorraum Addition und dieser Multiplikation tatsächlch einen Körper ( R 2,+, ) (mit Nullelement(0, 0) und Einselement(1, 0)), der isomorph ist zum Körper C der komplexen Zahlen: C ( R 2,+, ) : a+b (a, b). Aus der Schule kennen Sie diesen Isomorphismus wahrscheinlich als Veranschaulichung der komplexen Zahlen (C) als komplexe Zahlenebene (R 2 ) : Die imaginäre Einheit entspricht dem Vektor (0, 1). 2. Naheliegende Fragestellung Bekanntlich bildet auch die Menge R 3 einen Vektorraum: Wir wollen hier die Frage untersuchen, ob man für R 3 ebenfalls eine Multiplikation definieren kann, sodaß ein Körper entsteht. Die folgenden Überlegungen werden diese Frage (verneinend) beantworten: Sie Date: Sommersemester

2 2 MARKUS FULMEK sind in 9 einzelne Teil Aufgaben gegliedert, die aufeinander aufbauen. 3. Polynome Ein Polynom p(z) über einem Körper K (z.b. K = Q, oder K = R, oder K = C) in einer Variablen z vom Grad n N 0 ist eine formale endliche Summe der Gestalt p(z) = c 0 z 0 + c 1 z 1 + c 2 z 2 + +c n 1 z n 1 + c n z n, wobei c i K für i = 0, 1,..., n und c n 0. Die Variable läßt man manchmal weg und schreibt einfach p statt p(z), man setzt außerdem z 0 := 1 Kund schreibt statt z 1 einfach z: Mit diesen Konventionen lautet die obige Gleichung also p = c 0 + c 1 z+c 2 z 2 + +c n 1 z n 1 + c n z n. Die Zahlen ( Skalare, also Elemente des Körpers K) c 0, c 1,..., c n heißen die Koeffizienten des Polynoms p, c n heißt der führende Koeffizient von p, und den Grad n des Polynoms p bezeichnen wir mit deg p (Grad heißt auf englisch degree). Der Sonderfall, daß die formale endliche Summe leer ist, entspricht dem Polynom p(z) = 0 K, dem man den Grad zuordnet (dieses Nullpolynom hat keinen führenden Koeffizienten). Ein Polynom vom Grad 1 heißt auch lineares Polynom, ein Polynom vom Grad 2 heißt auch quadratisches Polynom. 4. Polynomfunktion und Nullstellen Wenn man im Polynom p für die Variable z eine konkrete Zahlζ K einsetzt, kommt wieder ein Element aus K heraus: p(ζ) = c 0 + c 1 ζ+c 2 ζ c n 1 ζ n 1 + c n ζ n. Jedes Polynom p über einem Körper K liefert somit auch eine Polynomfunktion p: K K, ζ p(ζ). Wenn es einζ Kgibt, sodaß p(z) = 0 Kergibt, dann nennt man ζ eine Nullstelle von p. Satz 4.1 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes Polynom über dem Körper C hat eine Nullstelle in C.

3 KANN DER VEKTORRAUM R 3 EIN KÖRPER WERDEN? 3 5. Polynomring Die Überlegungen in diesem Abschnitt sind für unsere Fragestellung nicht unbedingt erforderlich und können auch weggelassen werden: Aufgabe 1: Machen Sie sich klar: Ein Polynom p ist durch die (unendlich fortgesetzte) Folge seiner Koeffizienten p (c 0, c 1, c 2,...) eindeutig bestimmt, wobei alle Folgenglieder c k mit k>deg p gleich 0 sind. Die Addition zweier Polynome p (c k ) k=0 und q (d k) k=0 ist durch die komponentenweise Addition der entsprechenden Koeffizientenfolgen definiert, also p+q (c k + d k ) k=0. (Das ist die Polynomaddition, die sie aus der Schule kennen!!!) Die Multiplikation eines Polynoms p (c k ) k=0 mit einem Skalarλ Kist durch die komponentenweise Multiplikation der entsprechenden Koeffizientenfolgen definiert, also λ p (λ c k ) k=0. (Das ist die Multiplikation mit einem Skalar, die sie aus der Schule kennen!!!) Machen Sie sich klar, daß die Menge aller Polynome über einem Körper K mit dieser Addition und (Skalar )Multiplikation einen Vektorraum über K bildet. Machen Sie sich klar, daß der Teilraum aller Polynome vom Grad kleiner n über R isomorph zum R n ist. Aufgabe 2: Aus der Schule kennen Sie die Multiplikation von zwei Polynomen p (c k ) k=0 und q (d k) k=0 : Geben Sie die dem Produkt p q entsprechende Koeffizientenfolge (e k ) k=0 an, in dem Sinne e k = ein Ausdruck in den Koeffizienten c 0,...,c k und d 0,...,d k. (Hinweis: Der gesuchte Ausdruck ist eine Summe von Produkten!) Machen Sie sich klar, daß die Menge aller Polynome über einem Körper K mit dieser Addition und (Polynom )Multiplikation einen kommutativen Ring bildet. 6. Polynomdivision mit Rest und Folgerungen Aufgabe 3: Erinnern Sie sich, was die Polynomdivision mit Rest bedeutet: Seien p und d zwei Polynome über einem Körper K, und d nicht das Nullpolynom; dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q und r über K, wobei deg r < deg d, sodaß gilt: p = d q+r. Können Sie den Divisionsalgorithmus beschreiben, der diese Darstellung liefert?

4 4 MARKUS FULMEK Aufgabe 4: Zeigen Sie: Wenn ein Polynom p(z) eine Nullstelleζhat, dann erscheint das lineare Polynom (z ζ) als Faktor (Teiler) von p, in dem Sinn p(z) = (z ζ) q(z). (Man nennt einen solchen Faktor einen Linearfaktor von p.) (Hinweis: Polynomdivision mit Rest!) Ein Polynom mit führendem Koeffizienten 1 heißt monisch: Wenn man ein beliebiges Polynom p vom Grad n 0 (p ist also nicht das Nullpolynom) durch seinen führenden Koeffizienten c n (der ja voraussetzungsgemäß nicht Null ist!) dividiert, erhält man ein monisches Polynom. An den Nullstellen ändert sich durch diese Division nichts: p(ζ) = 0 p(ζ) c n = 0. Aufgabe 5: Zeigen Sie: Ein monisches Polynom p vom Grad n 1 über dem Körper C zerfällt in n Linearfaktoren, d.h.: p(z) = n (z ζ i ). i=1 (Dieζ i müssen nicht alle verschieden sein!) (Hinweis: Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Algebra und Induktion!) Zeigen Sie außerdem: Wenn ein Polynom p über dem Körper C nur reelle Koeffizienten hat, dann ist für jede Nullstelleζ = a+b von p auch die konjugierte komplexe Zahlζ=a b eine Nullstelle von p. (Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Rechengesetze für konjugiert komplexe Zahlenζ+ρ =ζ+ρ undζ ρ =ζ ρ.) Aufgabe 6: Zeigen Sie: Ein monisches Polynom p vom Grad 3 über dem Körper R (Achtung: R, nicht C!!!) zerfällt entweder in 3 Linearfaktoren, also p(z) = (z λ 1 ) (z λ 2 ) (z λ 3 ) fürλ 1,λ 2,λ 3 R, oder in einen linearen und einen quadratischen Faktor fürα,β,γ R;γ 0. p(z) = (z α) ((z β) 2 +γ 2) (Hinweis: Verwenden Sie das vorige Ergebnis Wenn ein reelles Polynom p eine komplexe Nullstelle ζ hat, dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl ζ eine Nullstelle von p. )

5 KANN DER VEKTORRAUM R 3 EIN KÖRPER WERDEN? 5 7. Ist R 3 ein Körper? Wiederholen wir unsere Fragestellung: Wie in Abschnitt 1 ausgeführt, kann man den Vektorraum R 2 (also die Ebene ) mit dem Körper C der komplexen Zahlen identifizieren die Vektoraddition in R 2 ist ja genau dasselbe wie die Addition von komplexen Zahlen, und die Skalarmultiplikation (eines Vektors aus R 2 mit einer Zahl aus R) ist genau dasselbe wie die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl. Für komplexe Zahlen kennen wir eine Multiplikation, die wir auch als Multiplikation von Vektoren des R 2 auffassen können (C und R 2 sind ja als Mengen identisch). Anders gesagt: Man kann für die Vektoren des R 2 (also der Ebene ) eine Multiplikation finden (nämlich die Multiplikation der den Vektoren entsprechenden komplexen Zahlen!), sodaß der Vektorraum R 2 mit dieser Multiplikation einen Körper (isomorph zu C) bildet. Weiters erscheint die Skalarmultiplikation als Spezialfall dieser Körpermultiplikation mit reellen Zahlen, also komplexen Zahlen der Gestaltλ 1+0,λ R, die wir auch so schreiben können:λ 1, wobei 1 = (1, 0) das Einselement des Körpers ist. Unsere Frage ist: Geht dasselbe auch für den Vektorraum R 3 (also den Raum )? Aufgabe 7: Angenommen, es gäbe eine Multiplikation auf R 3, sodaß R 3 mit der (normalen) Vektoraddition + und dieser Multiplikation einen Körper ( R 3,+, ) mit Nullelement (gleich Nullvektor) 0 und einem Einselement 1 bildet, sodaß die Skalarmultiplikation (von Vektoren des R 3 mit reellen Skalaren) als Spezialfall dieser Körpermultiplikation (nämlich mit Zahlen der Gestalt λ 1 für λ R) erscheint. Zeigen Sie: Dann sind für jedes Element v R 3 die 4 Vektoren 1, v, v 2 = v v, v 3 = v v v linear abhängig, d.h., es gibt Koeffizienten c 0, c 1, c 2, c 3 R, sodaß c 0 1+c 1 v+c 2 v 2 + c 3 v 3 = 0. (Hinweis: Diese Aufgabe ist viel einfacher als sie klingt;-) Aufgabe 8: Argumentieren Sie: Weil für das Polynom (über dem Körper R) p(z) = c 0 + c 1 z+c 2 z 2 + c 3 z 3 (mit den Koeffiienten c i aus der vorigen Aufgabe) entweder p(z) = (z λ 1 ) (z λ 2 ) (z λ 3 )

6 6 MARKUS FULMEK fürλ 1,λ 2,λ 3 R oder p(z) = (z α) ((z β) 2 +γ 2) fürα,β,γ R undγ 0 gilt, muß auch in dem (laut Annahme existierenden) Körper ( R 3,+, ) entweder oder gelten. 0 = (v λ 1 1) (v λ 2 1) (v λ 3 1) 0 = (v α 1) ( (v β 1) 2 +(γ 1) 2) (In der vorigen Aufgabe geht die Annahme ein, daß die Skalarmultiplikation mit reellen Zahlen als Spezialfall der Körpermultiplikation erscheint; ebenso in der nächsten Aufgabe.) Aufgabe 9: Argumentieren Sie weiter: Da es in einem Körper keine Nullteiler gibt, muß also entweder v =α 1 für einα Rgelten, oder fürβ,γ R,γ 0. Im zweiten Fall betrachten wir das Element w = v β 1 γ und schreiben Gleichung (1) damit so: (v β 1) 2 +(γ 1) 2 = 0 (1) γ 2 (w ) =γ 2 (w ) = 0. Weilγ 0, können wir kürzen und erhalten: w 2 = 1. (Das heißt insbesondere: Es müßte auch in ( R 3,+, ) eine Quadratwurzel aus 1 geben, wie bei den komplexen Zahlen). Dann wäre aber v β 1 =γ w, also v =β 1+γ w. Sehen Sie den Widerspruch? (v war ein beliebiges Element des (dreidimensionalen!) Vektorraums R 3, unsere Rechnungen haben aber ergeben, daß es sich in jedem Fall als Linearkombination der zwei Elemente 1 und w schreiben läßt!)