Herleitung von Randbedingungen an einer gekrümmten Grenzfläche eines porösen Mediums und einer freien Flüssigkeit mit Hilfe von Homogenisierung

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Stephan Bäcker
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1 Kolloquium zur Diplomarbeit an eines porösen Mediums und freien Flüssigkeit mit Hilfe von Sören Dobberschütz

2 Motivation Worum geht es im Folgenden?

3 Gliederung 1 2 Transformationsregeln Transformierte Stokes-Gleichung 3 Idee Transformiertes Darcy-Gesetz 4 Hilfsprobleme Ergebnisse 5

4 Bezeichnungen: u Geschwindigkeitsvektorfeld eines Fluids p Druck des Fluids f Gegebene Volumen-Kraft Stokes-Gleichung Inkompressible freie Strömung Kleine Reynolds-Zahl und niedrige Geschwindigkeit μ: Viskosität des Fluids μ u + p = f div(u) = 0

5 Bezeichnungen: u Geschwindigkeitsvektorfeld eines Fluids p Druck des Fluids f Gegebene Volumen-Kraft Darcy-Gesetz Inkompressibles langsames Fluid in porösem Medium Effektive Geschwindigkeit u = 1 μ K(f p) μ: Viskosität des Fluids K: Permeabilitätstensor div(u) = 0

6 Die Randbedingung von Beavers und Joseph v D Beachte: v v F Freies Fluid Poröses Medium v D ist eine effektive Geschwindigkeit Nur für gerade Σ Beavers/Joseph '67 Geschwindigkeit normal zu Σ ist stetig Geschwindigkeit tangential zu Σ erleidet einen Sprung mit (v F v D ) τ = 1 α K 1 2 ( vf ν) τ Vergrößerung

7 Ω₁ 0 Σ L 0 Σ ~ L Ω₂ ψ ~ Ω₁ ~ Ω₂ Transformationsregeln Transformierte Stokes-Gleichung g C (R) L-periodisch: Funktion, die Σ beschreibt ψ : Ω Ω ) ( ) ( ) x1 z = 1 z 2 x 2 z 2 + g(z 1 ) ( z1

8 Transformierte Differentialoperatoren F: Jacobimatrix der Transformation ψ, [ ] 1 0 F(z) = g (z 1 ) 1 Bezeichne Koordinaten in Ω mit x = (x 1, x 2 ), Koordinaten in Ω mit z = (z 1, z 2 ) Satz (Transformationsregeln) Sei c : Ω R, j : Ω R 2 glatt genug Setze c(z) := c(ψ(z)) und j(z) := j(ψ(z)), dann x c = F T z c div x ( j) = div z (F 1 j) Transformationsregeln Transformierte Stokes-Gleichung

9 Die transformierte Stokes-Gleichung Sei S Ω (fester Teil) Ω F = Ω\ S (flüssiger Teil) Stokes-Gleichung in Ω x ũ(x) + x p(x) = f(x) in Ω F div x (ũ(x)) = 0 in Ω F ũ(x) = 0 auf S Transformationsregeln Transformierte Stokes-Gleichung mit u(z) = ũ(ψ(z)), p(z) = p(ψ(z)) f(z) = f(ψ(z)) S = ψ 1 ( S) und Ω F = Ω\S

10 Die transformierte Stokes-Gleichung Sei S Ω (fester Teil) Ω F = Ω\ S (flüssiger Teil) Stokes-Gleichung in Ω div x ( xũ(x)) + x p(x) = f(x) in Ω F div x (ũ(x)) = 0 in Ω F ũ(x) = 0 auf S Transformationsregeln Transformierte Stokes-Gleichung mit u(z) = ũ(ψ(z)), p(z) = p(ψ(z)) f(z) = f(ψ(z)) S = ψ 1 ( S) und Ω F = Ω\S

11 Die transformierte Stokes-Gleichung Sei S Ω (fester Teil) Ω F = Ω\ S (flüssiger Teil) Transformierte Stokes-Gleichung in Ω mit div z (F 1 (z)f T (z) zu(z)) + F T (z) u(z) = ũ(ψ(z)), p(z) = p(ψ(z)) f(z) = f(ψ(z)) S = ψ 1 ( S) und Ω F = Ω\S zp(z) = f(z) in Ω F div z (F 1 (z)u(z)) = 0 in Ω F u(x) = 0 auf S Transformationsregeln Transformierte Stokes-Gleichung

Makroskala Größenordnung cm km Modellierung schwierig Numerik ist möglich Von

12 Idee der periodischen anschaulich Erdboden Beton 2 verschiedene Skalen: Mikroskala Größenordnung nm mm Modellierung ist möglich Numerik ist kompliziert oder unmöglich Makroskala Größenordnung cm km Modellierung schwierig Numerik ist möglich Von Interesse: Übergang Mikro Makro durch geeignete Mittelungsprozedur Idee Transformiertes Darcy-Gesetz

13 Idee der periodischen mathematisch ε = 1 ε = 1 2 ε = 1 4 Wähle Folge von Skalierungsparametern ε > 0 Parkettiere Gebiet mit ε-skalierten Versionen Referenzzelle ε fest: Problem beschrieben durch L ε u ε = f Gesucht: u 0 und L 0, so dass u ε u 0 für ε 0 und L 0 u 0 = f Idee Transformiertes Darcy-Gesetz ε = 0? L ε, L 0 : Differentialoperatoren

14 Idee der periodischen mathematisch ε = 1 ε = 1 2 ε = 1 4 Wähle Folge von Skalierungsparametern ε > 0 Parkettiere Gebiet mit ε-skalierten Versionen Referenzzelle ε fest: Problem beschrieben durch L ε u ε = f Gesucht: u 0 und L 0, so dass u ε u 0 für ε 0 und L 0 u 0 = f Idee Transformiertes Darcy-Gesetz ε = 0? L ε, L 0 : Differentialoperatoren

15 der transformierten Stokes-Gleichung G R 2 : beschränktes Lipschitz-Gebiet G ε : Zugehöriges ε-periodisch parkettiertes Gebiet f L 2 (G) gegeben, u ε H 1 0(G ε ) 2, p ε L 2 (G ε ) Lösung von ε 2 div(f 1 F T u ε ) + F T p ε = f div(f 1 u ε ) = 0 u ε = 0 Satz (Transformiertes Darcy-Gesetz) Es gilt u ε u 0 in L 2 (G) 2, p ε p 0 in L 2 (G) mit u 0 = A(F T f u 0 F T ν = 0 auf G A(z) R 2 2 hängt von der der Geometrie der Referenzzelle ab p 0 ) div(f 1 u 0 ) = 0 in G in G in G ε in G ε auf G ε Idee Transformiertes Darcy-Gesetz

16 Ω1 Σ 0 L ε Ω2 ε Ansatz In Ω 1 : Transformierter Stokes-Fluss mit no-slip-bedingung auf Σ In Ω ε 2: Benutze Konstruktionen aus der ( transformiertes Darcy-Gesetz) Nicht ausreichend, da Verhalten um Σ nicht passt Daher: Konstruiere Hilfsfunktionen, die Geschwindigkeit um Σ korrigieren Ziel: Konvergenzaussagen für Geschwindigkeit und Druck Hilfsprobleme Ergebnisse

17 Übersicht über die Hilfsprobleme Cell Problem w i, π i Transformed Stokes Flow u 0, π 0 Correction of the Divergence Corrector γ i Corrector θ i Boundary Layer w i,bl (C i,bl ), π i,bl (C i π ) Counterflow u ik, π ik Correction of the Velocity Hilfsprobleme Counterflow Boundary Layer u ~ ik, π ~ ik γ i,bl ~ (C i,bl ~ ), π i,bl ~ (C i) π ~ Counterflow d ik, g ik Boundary Layer β i,bl (C β i,bl ), ω i,bl (C i ω ) Counterflow b ik, q ik Ergebnisse Correction of the Pressure Vergrößerung

18 Ergebnisse: Im Gebiet Ω₁ Σ 0 L Ω₂ In Ω 1 Geschwindigkeit der freien Flüssigkeit 2 u F = u 0 + u ik i,k=1 In Ω 2 Geschwindigkeit im porösen Medium Hilfsprobleme Ergebnisse u D = A(F T f u 0 : Transformierter Stokes-Fluss mit no-slip-bedingung auf Σ u ik : bekannte Funktionen, die u 0 um Σ korrigieren p)

19 Ergebnisse: Auf der In normaler Richtung ν Geschwindigkeit stetig in Richtung des transformierten Normalenvektors: F -T e u F (x) F T (x)e 2 = u D (x) F T (x)e 2 2 In tangentialer Richtung Sprung in Richtung des transformierten τ tangentialen Vektors: ( uf (x) u D (x) ) F(x)e 1 Hilfsprobleme Ergebnisse F e 1 = D 1 (x) + g (x 1 )D 2 (x) Funktionen D 1, D 2 explizit bestimmbar

20 Zusammenfassung und Ausblick Keine verallgemte Randbedingung von Beavers und Joseph Aber zumindest Hinweise auf ihre Gültigkeit Geometrie der scheint Einfluss auf Stärke des Sprungs zu besitzen Weitere Forschungsmöglichkeiten: Nur lokal wirkende Transformation Unabhängigkeit der Ergebnisse von der gewählten Transformation Technische Details der Arbeit

21 Zusammenfassung und Ausblick Keine verallgemte Randbedingung von Beavers und Joseph Aber zumindest Hinweise auf ihre Gültigkeit Geometrie der scheint Einfluss auf Stärke des Sprungs zu besitzen Weitere Forschungsmöglichkeiten: Nur lokal wirkende Transformation Unabhängigkeit der Ergebnisse von der gewählten Transformation Technische Details der Arbeit

22 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

23 Die Randbedingung von Beavers und Joseph Freies Fluid v F v Σ Poröses Medium v D Zurück

24 Cell Problem w i, π i Transformed Stokes Flow u 0, π 0 Correction of the Divergence Corrector γ i Corrector θ i Boundary Layer w i,bl (C i,bl ), π i,bl (C i π ) Counterflow u ik, π ik Correction of the Velocity Counterflow Boundary Layer u ~ ik, π ~ ik γ i,bl ~ (C i,bl ~ ), π i,bl ~ (C i) π ~ Counterflow d ik, g ik Boundary Layer β i,bl (C β i,bl ), ω i,bl (C i ω ) Counterflow b ik, q ik Correction of the Pressure Zurück

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