Lösungen Prüfung Fachmaturität Pädagogik

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1 Fachmaturität Mathematik Lösungen Prüfung Lösungen Prüfung Fachmaturität Pädagogik. (7 min,7.5 P.) Brüche Forme so um, dass im Ergebnis maximal ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter gekürzt werden kann. Berechne bei c) die Lösungsmenge der Gleichung. Gib Dein Ergebnis in der Form L = {} an. a) ( min, P.,Standard,leicht) a a a(a ) = a a a a = a a a a b) (5 min,.5 P.,Standard,leicht) a = a a a + a = a+ a (a ) = = a a (a + ) :(a a)= a (a + ) : a a = a (a + ) a a = a (a + )(a a) = (a + )(a ) (a + )(a a) = a (a+)(a ) a = = a+ a a(a ) a c) (8 min, P.,Standard,leicht) Berechne die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. Gib Dein Ergebnis in der Form L = {...} an. x + x = 5 6 D = R \ {,} + x 5(x ) = x 6 5(x )(x ) x +x = x 5 = 6 5(x )(x ) 6 x 0 = 5(x )(x ) x 0 = 5(x 5x+6) x 0 = 5x 5x+0 5x 7x+60 = 0 x, = ( 7) ± ( 7) 5 60 x =.,x = 5 5. D und 5 D L = {.,5}. ( min,6 P.) Faktorisieren Faktorisiere soweit wie möglich bzw. forme bei d) so um, dass nicht mehr weiter gekürzt werden kann. a) ( min, P.,Standard,leicht) ab a+b = a(b )+(b ) = (b )(a+) b) ( min,.5 P.,Standard,leicht) (a + b)(a + b) (a + b)(a b) = (a + b)(a + b a + b) = (a + b)(a + b) = (a+b) c) ( min,.5 P.,Standard,mittel) 5a + 0ab+9b c = (5a+b) c = (5a+b+c)(5a+b c) d) ( min, P.,Standard,leicht) x x (x )(x+) x = + x+ (x+)(x+) = x x+. (9 min,.5 P.) Wurzelterme Forme so um, dass im Schlussergebnis kein Wurzelterm vorkommt (Die Definitionsbereiche für a und b sind so gewählt, dass der Term unter der Wurzel nicht negativ sein kann).

2 Fachmaturität Mathematik Lösungen Prüfung a) ( min,.5 P.,Standard,leicht) (a + b ) (a b ) = a + a b + b (a a b + b ) = a b = ab b) (5 min, P.,Standard,mittel) ) ( a+b a ab = + ab + b a ab = ab ) + b ( a b = = a b. (5 min,6 P.) Wurzelgleichungen Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. Gib Dein Ergebnis in der Form L = {..} an. a) (6 min,.5 P.,Standard,leicht) x x = x x x +x = x x = x+ x x = x x(x ) = x x+ x x = x x+ x = Kontrolle: = L = {} b) (9 min,.5 P.,Standard,mittel) x++ x+ = x+ x++ x+ x++x+ = x+ x+ x+ = x+8 x+ x+ = x+9 (x+)(x+) = x 8x+8 x + 5x+ = x 8x+8 x + x 78 = 0 (x+6)(x ) = 0 x = 6,x = Kontrolle: ( 6)++ 6+ = 6+ f ++ + = + L = {} 5. ( min,8 P.) Funktionen.Grades a) (7 min,.5 P.,Standard,leicht) Zeichne den Graphen der Parabel mit der Vorschrift f(x) = x + x+ im Bereich x. Dabei muss das Koordinatensystem skaliert sein und es müssen mindestens drei Punkte auf dem Graphen sichtbar sein. b) (8 min,.5 P.,Standard,mittel) Eine Parabel der Form hat ihren Scheitelpunkt in ( 5), dazu liegt der Punkt ( -) auf ihr. Wie lauten die Parameter a,b und c dieser Parabel? y = a(x ) + 5 = a( ) + 5 = a+5 a =

3 Fachmaturität Mathematik Lösungen Prüfung y = (x ) + 5 = x + x a =,b =,c = c) (8 min, P.,neu,mittel) Aus einem Kupferblech mit einer Breite von 00cm ist eine Ablaufrinne zu biegen (s. Zeichnung unten). Wie müssen x und y gewählt werden, damit die Querschnittsfläche (ausgemalte Fläche) möglichst gross ist? x x y y x F(x,y) = x y NB : x+x+y = 00 5x+y = 00 y = 00 5x = 5.5x F(r) = x (5.5x) Fall : x = 0 Fall : 5.5x = 0.5x = 5 x = 0 s x = x max = 0+0 = 0 y max = =.5 6. (9 min,8 P.) Folgen a) ( min, P.,Standard/leicht) Gib die rekursive Definition der geometrischen Folge,,8,... an. a n+ = a n,a = b) ( min, P.,Standard/leicht) Gib die explizite Definition der arithmetischen Folge mit den Gliedern a = 0 und a = 8 an. (0.5 P.) = 8 ( P.) 8 0 = 8 (0.5 P.) d = 8 : 8 =.5 a + d = a a = a d = 0.5 =.5 (0.5 P.) a n =.5+.5(n ) c) (5 min,.5 P.,Standard/mittel) Die rekursive Definition einer Folge lautet: a n+ = a n n,a 6 = 00. Berechne das Glied a 8. (0.5 P.) a 6 ist gegeben, a 7 ist gesucht, wir setzen n = 6 (tiefere Zahl). ( P.) n = 6 : a 7 = a 6 6 = 00 6 = 6 ( P.) n = 7 : a 8 = a 7 9 = 6 9 = 5 d) (8 min,.5 P./Standard/mittel) Auf der Abbildung sind Quadrate und rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke zu sehen. Wir nehmen dabei an, dass es immer weitergeht, dass also immer kleinere Dreiecke und Quadrate dazukommen. Die Flächeninhalte der Quadrate bilden eine GF. Was erhalten wir, wenn wir alle Flächeninhalte der Quadrate aufsummieren? Erstes Quadrat: = Erstes Dreieck: x + x = x = x = Q D Q Zweites Quadrat: = a =,q = s = =

4 Fachmaturität Mathematik Lösungen Prüfung 7. ( min/7.5 P.) Strahlensätze a) (7 min/ P./Standard/leicht) Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten A(0 ), B( ) und C( ). Führe eine zentrische Streckung mit k = aus, wenn sich das Streckzentrum in Z(0 ) befindet. C A B Z A B 6 C b) (5 min/ P./Standard/leicht) In der untenstehenden Abbildung liegt ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 0cm vor. Berechne den Flächeninhalt des gefüllten Dreiecks..5cm Die beiden Dreiecke sind ähnlich. 0cm :.5cm = h : h = h = h h + h = 0cm 5h = 0cm h = cm A =.5cm cm =.5cm c) (0 min/.5 P./Standard/leicht) Gegeben ist ein Dreieck mit a = 0cm,b = 0cm und c = cm. Dieses Dreieck soll nun mit zwei Geraden, die parallel zur Seite c sind, in drei gleich grosse Teile zerlegt werden. Auf welcher Höhe müssen die Geraden gezeichnet werden? Zuerst berechnen wir die Höhe der oberen Geraden: Das Ursprungsdreieck ist das grosse Dreieck, das Bilddreieck wird von der oberen Geraden und der Spitze des grossen Dreiecks eingeschlossen. h = 0 6 = 8cm A = 6cm 8cm = 8cm A = 8cm : = 6cm k A = A k 8cm = 6cm k = h = h.6cm 8cm.6cm =.8cm Jetzt berechnen wir die Höhe der unteren Geraden: A = cm k = h = 8cm 6.5cm 8cm 6.5cm =.7cm

5 Fachmaturität Mathematik Lösungen Prüfung 5 8. ( min/.5 P./neu/leicht) Planimetrie Berechne die Winkel α,β und γ. β α β α γ α = 80 = 78 β = = 9 = 5 γ = 7 9. ( min/5 P./Standard/leicht) Zahlensysteme Die untenstehenden Zahlen sind alle mit dem 7-er System dargestellt. Löse die Aufgaben schriftlich. Es muss der gesamte Lösungsweg im 7-er System sichtbar sein. Bei der Division reicht es, nur mit den Resten zu rechnen. a) ( P./ min/standard/leicht) b) ( P./5 min/standard/leicht) c) ( P./5 min/standard/leicht) 6 0 : =