Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken und anderen Figuren Umfang der Figur Gleich große Rechtecke mit verschieden großen Umfängen

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1 Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken und anderen Figuren Auf kariertem Papier (Papier mit quadratischen Rechenkästchen) kann man ohne besondere Hilfsmittel ein Rechteck zeichnen. Um ein Quadrat (also ein Rechteck mit gleichlangen Seiten) der Fläche A = 1 FE (Flächeneinheit) einzurahmen, zeichnet man 4 Strecken, jeweils von der Länge 1 LE (Längeneinheit). Die Länge dieses geschlossenen Streckenzugs ist der Umfang der Figur. Ein Rechteck (Quadrat) mit dem Flächeninhalt A = 1 (FE) hat den Umfang u = = 4 (LE). Auch bei den nächst-größeren Rechtecken ist die Zuordnung eindeutig. Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt A = 2 (FE) hat den Umfang u = = 2 (2 + 1) = 6 (LE). Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt A = 3 (FE) hat den Umfang u = = 2 (3 + 1) = 8 (LE). Das Rechteck mit den Seitenlängen 2 (LE) und 1 (LE), das aus dem in der Mitte abgebildeten Rechteck durch Drehung hervorgeht, soll zunächst nicht beachtet werden. Entsprechendes gilt für alle im Folgenden betrachteten Figuren. Gleich große Rechtecke mit verschieden großen Umfängen Die Bestimmung eines Rechtecks zum Flächeninhalt A = 4 (FE) ist jedoch nicht eindeutig, da es zwei verschiedene Rechtecke gibt, die den gleichen Flächeninhalt haben (sie werden hier als gleich groß bezeichnet), nämlich das Rechteck links mit dem Umfang u = = 2 (4 + 1) = 10 (LE), das Rechteck rechts mit dem Umfang u = = 2 (2 + 2) = 8 (LE). Ähnliches gilt auch für Rechtecke mit dem Flächeninhalt A = 6 (FE): Es gibt zwei verschiedene Rechtecke, das erste mit dem Umfang u = = 2 (6 + 1) = 14 (LE), ein zweites mit dem Umfang u = = 2 (3 + 2) = 10 (LE). Auch für die Flächeninhalte A = 8 (FE), A = 9 (FE) und A = 10 (FE) findet man jeweils zwei verschiedene Rechtecke: Zum Flächeninhalt A = 8 (FE) gibt es ein Rechteck mit u = = 2 (8 + 1) = 18 (LE) und ein Rechteck mit u = = 2 (4 + 2) = 12 (LE). Zum Flächeninhalt A = 9 (FE) gibt es ein Rechteck mit u = = 2 (9 + 1) = 20 (LE) und ein Rechteck mit u = = 2 (3 + 3) = 12 (LE). Seite 1/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

2 Zum Flächeninhalt A = 10 (FE) gibt es ein Rechteck mit u = = 2 (10 + 1) = 22 (LE) und ein Rechteck mit u = = 2 (5 + 2) = 14 (LE). Dass es in den Fällen A = 4, A = 6, A = 8 und A = 10 jeweils zwei Arten von Rechtecken gibt, hängt damit zusammen, dass sich die natürlichen Zahlen 4, 6, 8 und 10 durch 2 teilen lassen, sodass es außer den Rechtecken mit den Formaten 4 1, 6 1, 8 1 und 10 1 auch Rechtecke mit den Formaten 2 2, 3 2, 4 2 und 5 2 gibt. Und da sich die natürliche Zahl 9 durch 3 teilen lässt, gibt es außer dem Rechteck im Format 9 1 auch ein Rechteck im Format 3 3. Statt der für Rechtecke typischen Schreibweise mit dem -Symbol gibt es auch die Möglichkeit, diese Fälle als sog. Teiler-Paare zu notieren: 4 hat die Teiler-Paare (1 ; 4) und (2 ; 2), 6 hat die Teiler-Paare (1 ; 6) und (2 ; 3), 8 hat die Teiler-Paare (1 ; 8) und (2 ; 4), 10 hat die Teiler-Paare (1 ; 10) und (2 ; 5) und 9 hat die Teiler-Paare (1 ; 9) und (3 ; 3). Zu den Flächeninhalten A = 5, A = 7 und A = 11 gibt es nur jeweils ein Rechteck, das 1 (LE) hoch ist, da es zu den natürlichen Zahlen 5, 7 und 11 jeweils nur ein Teiler-Paar gibt, nämlich (1 ; 5), (1 ; 7) und (1 ; 11). Die zugehörigen Rechtecke haben die Umfänge u = 2 (5 + 1) = 12, u = 2 (7 + 1) = 16, u = 2 (11 + 1) = 24 Zur natürlichen Zahl 12 gehören drei Teiler-Paare, nämlich (1 ; 12), (2 ; 6) und (3 ; 4). Daher gibt es drei verschiedene Rechtecke mit dem Flächeninhalt A = 12. Die Umfänge dieser drei Rechtecke sind: u = 2 (12 + 1) = 26, u = 2 (6 + 2) = 16 und u = 2 (4 + 3) = 14. Um herauszufinden, wie viele Rechtecke es mit einem bestimmten Flächeninhalt A gibt, bestimmt man alle Teilerpaare der natürlichen Zahl A. Seite 2/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

3 Die folgende Grafik fasst die bisherigen Ergebnisse zusammen und führt die Übersicht ein wenig weiter. An der Grafik kann man ablesen: gelbe Punkte: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es ein Teilerpaar (1 ; n), und hierzu gehört ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und n, also mit dem Flächeninhalt A = n 1 = n und dem Umfang u = 2 ( n + 1) = 2n + 2. grüne Punkte (n 4): Zu jeder geraden natürlichen Zahl n = 2m gibt es zusätzlich ein Teilerpaar (2 ; m), und hierzu gehört ein Rechteck mit den Seitenlängen 2 und m, also mit dem Flächeninhalt A = m 2 = 2m = n und dem Umfang u = 2 ( m + 2) = 2m + 4 = n + 4. himmelblaue Punkte (n 9): Zu jeder natürlichen Zahl n = 3m, die also durch 3 teilbar ist, gibt es zusätzlich ein Teilerpaar (3 ; m), und hierzu gehört ein Rechteck mit den Seitenlängen 3 und m, also mit dem Flächeninhalt A = m 3 = 3m = n und dem Umfang 2 u = ( m + 3) = 2m + 6 = n rote Punkte (n 16): Zu jeder natürlichen Zahl n = 4m, die also durch 4 teilbar ist, gibt es zusätzlich ein Teilerpaar (4 ; m), und hierzu gehört ein Rechteck mit den Seitenlängen 4 und m, also mit dem Flächeninhalt A = m 4 = 4m = n und dem Umfang 1 u = ( m + 4) = 2m + 8 = 2 n + 8 = n Zum Nachdenken: Warum sind die Einschränkungen (n 4 usw.) notwendig? Rechtecke mit gleichem Umfang Bei der Durchsicht der bisher betrachteten Rechtecke fällt auf, dass es zwei Rechtecke gibt, die den Umfang u = 8 (LE) haben, nämlich das 3 1-Rechteck (mit Flächeninhalt 3 FE) und das 2 2-Rechteck (mit Flächeninhalt 4 FE). Und zum Umfang u = 10 LE findet man das 4 1-Rechteck (mit Flächeninhalt 4 FE) und das 3 2-Rechteck (mit Flächeninhalt 6 FE). Für den Umfang u = 12 (LE) gibt es sogar drei Rechtecke, nämlich das 5 1-Rechteck (mit Flächeninhalt 5 FE), das 4 2-Rechteck (mit Flächeninhalt 8 FE) und das 3 3-Rechteck (mit Flächeninhalt 9 FE). In der folgenden Grafik kann man ablesen, welche Rechtecke es mit gleichem Umfang gibt, allerdings ist die Grafik für Umfänge ab u = 20 LE unvollständig. Seite 3/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

4 Es gibt zum Umfang u = 20 LE nämlich sogar fünf verschieden große Rechtecke (in der Grafik sind nur vier Möglichkeiten berücksichtigt), nämlich das 9 1-Rechteck (mit Flächeninhalt 9 FE), das 8 2-Rechteck (mit Flächeninhalt 16 FE), das 7 3-Rechteck (mit Flächeninhalt 21 FE), das 6 4-Rechteck (mit Flächeninhalt 24 FE) und das 5 5-Rechteck (mit Flächeninhalt 25 FE). Wie viele verschiedene Rechtecke es zu einem bestimmten Umfang u gibt, kann man wie folgt bestimmen: Grundsätzlich ist es so, dass alle Rechtecke auf Kästchen-Papier einen Umfang haben, der geradzahlig ist, also durch 2 teilbar ist. Das liegt daran, dass jeweils zwei einander gegenüberliegende Seiten gleich groß sind und deshalb die zugehörigen Längen in der Summe, die man für den Umfang bilden muss, zweimal enthalten sind. Um alle Rechtecke zu ermitteln, die zu einem bestimmten Umfang u gehören, halbiert man die Zahl u und bestimmt alle Zahlenpaare (a ; b) aus natürlichen Zahlen a, b mit a b, für deren 1 Summe gilt: a b = u. + 2 Beispiele: 1 u = 16 (LE), also u = 8 : Zahlenpaare: (1 ; 7), (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4). 2 Seite 4/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

5 1 u = 18 (LE), also u = 9 : Zahlenpaare: (1 ; 8), (2 ; 7), (3 ; 6), (4 ; 5). 2 Wie viele solcher Zahlenpaare gibt es allgemein zu einem bestimmten Umfang u? Betrachten wir dazu die folgende Tabelle An den gelb unterlegten Zeilen lesen wir ab: Wenn der Umfang u eine durch 4 teilbare natürliche Zahl ist, dann ist der vierte Teil von u genau gleich der Anzahl der möglichen Rechtecke mit diesem Umfang. Geht man zu dem Rechteck über, dessen Umfang um 2 LE größer ist, dann bleibt die Anzahl der möglichen Rechtecke gleich. Wenn der Umfang u eine durch 4 teilbare natürliche Zahl ist, dann ist der vierte Teil von u genau gleich der Seitenlänge der vier Seiten des betreffenden Rechtecks es handelt sich um ein Quadrat. Wie groß können Rechtecke eines bestimmten Umfangs sein? Die folgenden Grafiken ergeben sich, wenn man zu einzelnen Rechtecken der vorstehenden Tabelle jeweils den Flächeninhalt bestimmt. (In diesen Grafiken sind jetzt anders als bisher auch die Rechtecke mit den Seitenlängen a und b berücksichtigt, die man durch Vertauschen der Seitenlängen erhält.) Seite 5/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

6 Die Punkte liegen auf nach unten geöffneten quadratischen Parabeln. Wenn der Umfang u durch vier teilbar ist, liegt das Maximum (also der größt-mögliche Flächeninhalt) vor, wenn alle vier Seiten des Rechtecks gleich lang sind, d. h., wenn ein Quadrat betrachtet wird. Unter allen Rechtecken mit einem bestimmten Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt. Besondere Rechtecke: Das 16er-4 4-Rechteck und das 18er-3 6-Rechteck Vielleicht ist bei der Betrachtung der Rechtecke mit Umfang 16 bzw. 18 aufgefallen, dass jeweils ein Rechteck existiert, für das gilt: A = 16 (FE) und u = 16 (LE) bzw. A = 18 (FE) und u = 18 (LE) Es handelt sich dabei um das 4 4-Rechteck bzw. das 6 3-Rechteck. Man kann beweisen, dass es nur für die beiden natürlichen Zahlen 16 und 18 ein Rechteck gibt, bei dem der Umfang und Flächeninhalt gleiche Zahlwerte haben, vgl. weiter unten. In der folgenden Grafik sind diese beiden Punkte (A u) = (16 16) und (A u) = (18 18) hervorgehoben; außerdem ist die Gerade eingezeichnet, für deren Punkte allgemein die Übereinstimmung der beiden Zahlenwerte zutrifft. (16 16) und (18 18) scheinen demnach die einzigen Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf der Geraden zu sein aber die Grafik zeigt nur einen Ausschnitt. Es wäre denkbar, dass es für größere Umfänge vielleicht noch weitere Rechtecke mit dieser besonderen Eigenschaft gibt. Dass dies nicht der Fall ist, kann man wie folgt zeigen: Für die Seitenlängen a, b muss gelten 2 ( a + b) = a b. Diese Gleichung kann man umfomen: Seite 6/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

7 2 a = a b 2 b 2 a = b ( a 2) 2a 2 ( a 2) b = = = 2 + (für a > 2) a 2 a 2 a 2 Diesen Zusammenhang kann man in einem a-b-koordinatensystem eintragen. Man stellt fest: Nur die drei Punkte des Graphen (3 6), (4 4) und (6 3) haben ganzzahlige Koordinaten. Dass es keine weiteren Punkte außerhalb des sichtbaren Bereichs gibt, kann man den Werten des streng monoton fallenden Graphen ablesen: 4 Für a > 6 gilt a 2 > 0, also: 2 < b = 2 + < 3, also auch außerhalb Bereichs, der in der Grafik zu sehen a 2 ist, gibt es keine ganzzahligen b-werte mehr. Änderungen an der Rechteckfigur, die den Flächeninhalt, aber nicht den Umfang verändern Wenn man ein Eckquadrat oder mehrere Quadrate an einer Ecke wegnimmt (rot gestrichelte Linien), dann vermindert sich der Flächeninhalt um eine entsprechende Anzahl von Kästchen-Einheiten, aber der Umfang bleibt gleich. Beispiele: Am 3 2-Rechteck mit dem Flächeninhalt 6 (FE) kann man höchstens zwei Eckquadrate wegnehmen, d. h., bei diesen Figuren mit dem Umfang 10 (LE) liegt der Flächeninhalt zwischen 4 (FE) und 6 (FE). Folgende Figur links: A = = 5 (FE); u = 2 (2 + 3) = 10 (LE), übrige Figuren: A = = 4 (FE); u = 2 (2 + 3) = 10 (LE), Am 3 3-Rechteck mit dem Flächeninhalt 9 (FE) kann man höchstens vier Eckquadrate wegnehmen, d. h., bei diesen Figuren mit dem Umfang 12 (LE) liegt der Flächeninhalt zwischen 5 (FE) und 9 (FE). Für alle folgenden Figuren gilt: A = = 5 (FE); u = 2 (3 + 3) = 12 (LE). Um wie viel kann man den Flächeninhalt eines a b-rechteck durch Wegnehmen von Eckquadraten höchstens vermindern? Seite 7/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

8 Änderungen an der Rechteckfigur, die den Flächeninhalt und den Umfang verändern Wenn man allerdings ein Quadrat oder mehrere Quadrate herausnimmt, die nicht an einer Ecke liegen, dann wird die Sache komplizierter An den folgenden Beispielen wird deutlich, dass der Umfang um 2 (LE), 4 (LE), 6 (LE), größer wird, wenn man vom Rand her Quadrate herausschneidet. In den Grafiken sind die hinzugekommenen Strecken in Violett eingezeichnet. Auch kann man an den Beispielen ablesen, dass die Anzahl der Quadrate, die herausgeschnitten werden, zwar eine wichtige Rolle spielt aber wesentlich ist die Tiefe der Einbuchtung und nicht deren Breite! von links nach rechts: A = = 5 (FE); u = 2 (2 + 3) + 2 = 12 (LE), A = = 7 (FE); u = 2 (3 + 3) + 4 = 16 (LE), A = = 7 (FE); u = 2 (3 + 3) + 4 = 16 (LE), A = = 6 (FE); u = 2 (2 + 4) + 2 = 14 (LE). Für alle Figuren gilt: A = = 9 (FE); u = 2 (3 + 4) + 6 = 20 (LE), Für die Figuren links und in der Mitte gilt: A = = 10 (FE); u = 2 (4 + 4) + 6 = 22 (LE), Für die Figuren rechts gilt: A = = 12 (FE); u = 2 (4 + 4) + 6 = 22 (LE), Um wie viel kann man den Umfang eines a b-rechtecks durch Herausnehmen von Quadraten höchstens vergrößern? Und was ist, wenn man im Innern der Rechtecke Quadrate herausnimmt? In welchem Maße können Flächeninhalte und Umfänge (= Länge der begrenzenden Strecken innen und außen) verändert werden? Seite 8/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

9 Welche Formen ergeben sich aus der Ausgangsfigur? 3 3-Rechteck (Quadrat) A = 9 FE, u = 12 LE A = 8 FE und (von links nach rechts) u = 12 LE, u = 14 LE, u = 16 LE A = 7 FE und u = 12 LE A = 7 FE und (von links nach rechts) u = 16 LE, u = 16 LE, u = 14 LE A = 6 FE und u = 12 LE A = 6 FE und u = 14 LE A = 5 FE und u = 12 LE Übrigens: Die zuletzt abgebildeten Figuren gehören zu den Pentominos, vgl. Mathematik ist schön, Kap. 5. Weitere Figuren erhält man aus den abgebildeten Figuren durch Drehung oder Spiegelung. Welche Figuren ergeben sich aus einem 4 3-Rechteck als Ausgangsfigur? (Lösung s. u.) Seite 9/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

10 Rechtecke mit ganzahligem Flächeninhalt, aber nicht ganzzahligem Umfang Die Quadrate in der folgenden Abbildung sind gegenüber dem Rechenkästchen-Raster gedreht, aber weil die Eckpunkte auf den Gitterpunkten liegen, kann man trotzdem die Flächeninhalte berechnen: Man braucht nur einen Rahmen um die Quadrate zu zeichnen, also ein Quadrat, auf dessen Seiten die Eckpunkte des gegebenen Quadrats liegen, vgl. die folgenden Abbildungen. Welche Flächeninhalte haben die hellblau gefärbten Quadrate? Gibt es für das Berechnen der Flächeninhalte einfache Regeln? Auf ähnliche Weise kann man auch Rechtecke so drehen, dass deren Eckpunkte auf den Gitterpunkten liegen. Was muss man hier beachten? Ein besonderer Fall liegt im folgenden Beispiel vor: Hier ist nicht nur der Flächeninhalt, sondern auch der Umfang ganzzahlig; denn die Seitenlängen der Eckdreiecke bilden ein pythagoräisches Zahlentripel, vgl. Mathematik ist schön, Kap Seite 10/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

11 Anhang (Lösung - ist die Lösung mit den 126 Möglichkeiten vollständig?) Welche Figuren ergeben sich aus einem 4 3-Rechteck als Ausgangsfigur? Figuren mit Umfang u = 14 LE und Flächeninhalt A = 11 FE bzw. 10 FE Figuren mit Umfang u = 14 LE und Flächeninhalt A = 9 FE bzw. 8 FE Seite 11/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

12 Figuren mit Umfang u = 14 LE und Flächeninhalt A = 7 FE Figuren mit Umfang u = 14 LE und Flächeninhalt A = 6 FE Seite 12/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

13 Figuren mit Flächeninhalt A = 11 FE bzw. A = 10 FE u = 16 LE u = 16 LE u = 18 LE u = 16 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE Figuren mit Flächeninhalt A = 9 FE bzw. A = 8 FE u = 18 LE u = 20 LE u = 20 LE u = 20 LE u = 20 LE u = 20 LE u = 18 LE u = 18 LE Figuren mit Flächeninhalt A = 10 FE bzw. A = 9 FE Seite 13/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

14 Figuren mit Flächeninhalt A = 9 FE bzw. A = 8 FE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 16 LE u = 16 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE Figuren mit Umfang Flächeninhalt A = 8 FE bzw. A = 7 FE u = 18 LE u = 16 LE u = 16 LE Seite 14/15 Heinz Klaus Strick 02_2018

15 Figuren mit Flächeninhalt A = 10 FE bzw. A = 9 FE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 18 LE u = 20 LE u = 20 LE u = 16 LE u = 18 LE u = 18 LE Seite 15/15 Heinz Klaus Strick 02_2018