Kapitel 1. Koordinaten im Raum. 1.1 Schrägbilder - Kavalier-Perspektive Koordinaten

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1 Kapitel Koordinaten im Raum Schrägbilder - Kavalier-Perspektive Koordinaten Im Raum benötigt man drei Angaben, um die Lage eines Punktes zu beschreiben So beschreiben Geographen durch N5 0"E "H5m die Lage unserer Schule Abbildung : Kartesische Koordinaten im dreidimensionalen Raum Wir benutzen hier aber lieber ein kartesisches Koordinatensystem Es werden drei Achsen benutzt Diese sind senkrecht zueinander und äquidistant eingeteilt Die Lage eines Punktes wird dadurch beschrieben, dass wir uns einen Quader denken, dessen eine Ecke im Ursprung liegt und dessen Kanten parallel zu den Koordinaten-Achsen sind Die Kanten-Längen des Quaders beschreiben die Lage des dem Ursprung diagonal gegenüberliegenden Punktes Man unterscheidet zwischen rechts- und linkshändigen Koordinatensystemen (in 3 Dimensionen), wobei standardmäßig rechtshändige Koordinatensysteme den positiven Drehsinn bezeichnen Zur Überprüfung der Händigkeit nimmt man die rechte Hand mit ab gespreiztem Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger Der Daumen zeigt in die positive x-richtung und der Zeigefinger in die positive y-richtung Zeigt die positive z-achse in die gleiche Richtung wie der Mittelfinger, so handelt es sich um ein rechtshändiges System, andernfalls um ein links- - Abbildung : linksund rechtshändiges (rechts) dreidimensionales Koordinatensystem

2 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 00 händigen Man nennt dieses allgemein gültige Modell die Drei-Finger-Regel wir werden im folgenden rechtshändige 3D-Koordinatensysteme benutzen Schrägbilder - Kavalier-Perspektive Wir nehmen einmal an, dass wir ein Modell einer Kirche haben Das Kirchenschiff ist 0 cm lang und 8 cm breit Die Seitenwände sind 6 cm hoch Der Dachfirst ist in 8 cm Höhe Der Turm ist quadratisch mit der Kantenlänge cm Die Mauern des Turmes sind cm hoch Der Turm ist im ganzen 8 cm hoch! Abbildung 3: Ein Photo der Kirche Wenn wir dies nun in einer Abbildung darstellen wollen, tritt das Problem auf, ein dreidimensionales Objekt auf die zwei Dimensionen der Zeichenebene zu reduzieren Eine Möglichkeit ist die Kavalier-Perspektive, in der die Kirche im unten stehenden Bild dargestellt ist Dabei werden Kanten von links nach rechts und solche von unten nach oben in ihrer wahren Länge und Richtung dargestellt, während Kanten von vorn nach hinten schräg gezeichnet und verkürzt werden Im Original nicht sichtbare Kanten werden dabei gestrichelt gezeichnet Wenn Du nachher diese Abbildung mit den Rechnungen vergleichst, musst du beachten, dass die Kästchen in der Abbildung - an denen du die D-Koordinaten abzählen kannst - eine Kantenlänge von cm haben -

3 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 00 3 Die Kirche : zeichnen Abbildung : Die Kirche in der Kavalier-Perspektive ( LE entspricht Kästchen ) Die Eckpunkte der Kirche haben im der dreidimensionalen Realität und in der Zeichnung die folgenden Koordinaten: "Die Eckpunkte des Kirchenschiffs " A = (8 0 0) A ( ) B = (8 0 0) B (6 ) C = (0 0 0) C = (0 0) D = (0 0 0) D = (0 0) E = (8 0 6) E = ( ) F = (8 0 6) F = (6 ) G = (0 0 6) G = (0 6) H = (0 0 6) H = (0 6) I = ( 0 8) I = ( 7) J = ( 0 8) J = (8 7) "Die Eckpunkte des Turms " -3

4 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 00 K = (6 0 0) K = (7 ) L = (6 0) L = ( ) M = ( 0) M = (3 ) N = ( 0 0) N = (9 ) O = (6 0 ) O = (7 0 ) P = (6 ) P = ( 0 ) Q = ( ) Q = (3 ) R = ( 0 ) R = (9 ) S = ( 8) S = (0 7) jetzt sollte alles stimmen! Aber: bitte noch einmal kontrollieren! Aufgabe: Zeichne diese Kirche Der Punkt A erscheint in der Kavalier-Perspektive zwei Einheiten links von D und eine Einheit tiefer Lege ein zweidimensionales Koordinatensystem so über die Kirche, dass D im Ursprung und die Strecken DC und DH auf den Achsen liegen Beachte, wie in der Abbildung der Bildpunkt bestimmt wurde und berechnen Das Ziel der Analytischen Geometrie ist es, geometrische Sachverhalte berechenbar zu machen Das Abzählen der Kästchen, zu dem du sicher schnell gekommen sind, lässt sich mit Sicherheit arithmetisch nachbilden Wir gehen trotzdem auf die ursprünglichere Art - Parallelen zu den Bildern der Achsen - zurück Hier besteht das Hauptproblem offensichtlich darin, den Achsen-Abschnitt der y-achse zu bestimmen Der Punkt ( 0 0) wird im D-Bild auf den Punkt (- / - /) abgebildet, der Punkt (x 0 0 ) auf den Punkt (-/ x -/x) Für die Bilder der Einheitspunkte der y -und der z-achse ergeben sich Damit ergibt sich folgende Vorschrift : (0 0) ( 0) bzw () (0 0 ) (0 ) () oder übersichtlicher: (x y z) ( / x + y + 0 z / x + 0 y + z) (3) x y z ( x + y + 0 z x + 0 y + z ) () -

5 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 00 Zum Beispiel wird ( vergleiche Abb 3) der Raum-Punkt F so abgebildet: ( ) ( 6 = ) (5) 5 Die Matrix der Abbildung Die Abbildung der Einheitspunkte fassen wir zu folgendem (zeilenweise zu lesendem) Schema, der Matrix der Abbildung zusammen: (6) 6 Matrix-Multiplikation Das zweite Schema nennen wir die Matrix der Abbildung Sie hilft uns beim Berechnen weiterer Bildpunkte: 0 ( ) ( 0 x y z x + y + 0 z x + 0 y + z ) (7) Die Rechnung läuft folgendermaßen ab: Um die erste Bild-Koordinate zu berechnen, wird die erste (Original-)Koordinate mit dem Matrixelement in der ersten Spalte und ersten Zeile, dann die zweite Koordinate mit dem Matrixelement in der ersten Spalte und der zweiten Zeile, dann die dritte Koordinate mit dem Matrixelement der ersten Spalte und der dritten Zeile multipliziert Diese Werte werden addiert Für die zweite Bild-Koordinate nimmt man entsprechend die zweite Matrix-Spalte Diese Multiplikation ist natürlich nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist Falls wir nicht nur für einen Punkt die Abbildung zu berechnen haben, schreiben wir die Koordinaten der anderen einfach darunter und erhalten eine zweite Matrix mit den Koordinaten der Bildpunkte Dieses Vorgehen nennen wir Matrix-Multiplikation Beispiel: -5

6 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April (8) Dabei sind die Werte in der letzten Zeile so entstanden : = = 0 und = = 7 Auf der nächsten Seite ist das Schema noch einmal graphisch dargestellt -6

7 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 00 7 Schema der Matrix-Multiplikation (leicht verändert übernommen von Alain Matthes - a a k a p a i a i k a i p a n a nk a np A : n Zeilen p Spalten b b j b q b k b k j b kq b p b p j b pq B : p Zeilen q Spalten c c j c q c i c i j c i q c n c nk c nq C = A B : n Zeilen q Spalten a i b j a i k b k j a i p b p j

8 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 00 8 Aufgaben Bestimme und zeichne das Bild der Kirche für die folgenden Abbildungsmatrizen: M = M = (9) (0) H 0 = H = 0 3 () () H = 0 0 (3) H 3 = 6 () H = 0 0 (5) -8