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2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Darstellung im Zweitafelverfahren Darstellung des Punktes Darstellung der Geraden Punkt auf der Geraden Spurpunkte einer Geraden Geraden in spezieller Lage GegenseiEge Lage zweier Geraden Parallele Geraden Sich schneidende Geraden Windschiefe Geraden Teilverhältnisse einer Strecke MiLelpunkt einer Strecke Wahre Länge einer Strecke Erste Methode Zweite Methode Eine Strecke auf eine Gerade abtragen Darstellung der Ebene Ebenen in spezieller Lage Die Gerade in der Ebene Der Punkt in der Ebene Der Durchstosspunkt einer Geraden mit einer Ebene Die SchniLgerade zweier Ebenen Sichtbarkeit Die SchniLgerade zweier durch Hauptgeraden gegebenen Ebenen Die Normale zu einer Ebene durch einen Punkt Der Abstand eines Punktes von einer Ebene Die kürzeste Transversale...63

3 10. Die Normalebene zu einer Geraden durch einen Punkt Die MiLelnormalebene Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden Umklappen einer Ebene WinkelbesEmmung Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Der Winkel zwischen zwei Ebenen KonstrukEon dreidimensionaler Körper Der Würfel Das regelmässige Tetraeder Die Pyramide Das regelmässige Oktaeder...86 Lösungen zu den Aufgaben...89

4 Vorwort Dieses LehrmiLel der Darstellenden Geometrie enthält sowohl die Theorie als auch Aufgaben mit Lösungen zu den Grundlagen des Zweitafelverfahrens. Das Buch will dem Leser einen schnellen Zugang zum Thema vermileln. Der Au[au ist klar strukturiert, der Inhalt übersichtlich und die formale Gestaltung lehrreich. Die Theorie ist gut verständlich und prägnant formuliert. Sie wird durch viele farbige Grafiken und die dazugehörigen KonstrukEonsberichte veranschaulicht. Dadurch kann der Leser jeden einzelnen SchriL der KonstrukEon nachvollziehen. Zudem sollen einige dreidimensionale Grafiken die räumliche Vorstellung fesegen. Nach jedem Kapitel der Theorie bietet sich dem Leser die Möglichkeit, sein Wissen durch das Lösen von Aufgaben zu überprüfen. Das Ergebnis kann er anschliessend mit den Lösungen im hintersten Teil des Buches vergleichen. Ich habe dieses LehrmiLel als meine Maturitätsarbeit geschrieben. In diesem Zusammenhang möchte ich meinem Betreuer Herrn Paolo Wächli herzlichst für seine hilfreiche und konstrukeve Unterstützung danken. Auch möchte ich mich bei Herrn Heinz Klemenz bedanken. Mit dem von ihm entwickelten Programm GeometerPro habe ich alle Grafiken meines Buches erstellt.

5 1. Darstellung im Zweitafelverfahren y Achse Abb. 1.1 Risse 3D Abb. 1.2 Risse 2D Im Zweitafelverfahren werden räumliche Objekte durch ihre Normalprojek:on auf die Grundrissebene 1 und die Aufrissebene 2 zweidimensional abgebildet. Dabei wird die Zeichenebene zur Doppelebene aus 1 und 2. Daher kommt auch der Begriff Zweitafelverfahren. Diese Darstellung mit der Doppelebene aus den beiden Rissebenen vereinfacht die KonstrukJon von räumlichen Objekten. Die dreidimensionale Abbildung ist lediglich eine Hilfe für die räumliche Vorstellung. Der Grundriss auf 1 ist die Ansicht senkrecht von oben, d.h. die z Koordinate wird gleich Null gesetzt. Die y Achse stellt den Grundriss der Aufrissebene dar. Darin gezeichnete Objekte werden beschriqet mit. Der Aufriss auf 2 ist die Ansicht von vorne, d.h. die x Koordinate wird gleich Null gesetzt. Die y Achse stellt den Aufriss der Grundrissebene dar. Darin gezeichnete Objekte werden beschriqet mit.

6 Beispiel Abb. 1.3 Risse 3D mit Pyramide y Achse Abb. 1.4 Risse 2D mit Pyramide 2

7 4. Darstellung der Ebene Eine Ebene ist gegeben durch: Drei Punkte B B C A A C B C A Abb. 4.1 Ebene gegeben durch drei Punkte Abb. 4.2 Ebene gegeben durch drei Punkte Zwei sich schneidende Geraden h h g g h g Abb. 4.3 Ebene gegeben durch zwei Geraden Abb. 4.4 Ebene gegeben durch zwei Geraden

8 Zwei parallele Geraden h g h g h g Abb. 4.5 Ebene gegeben durch zwei Geraden Abb. 4.6 Ebene gegeben durch zwei Geraden Einen Punkt und eine Gerade h P P h g g h P g Abb. 4.7 Ebene gegeben durch einen Punkt und eine Gerade Abb. 4.8 Ebene gegeben durch einen Punkt und eine Gerade Man legt eine beliebige Hilfsgerade h durch den gegebenen Punkt P so, dass sich die Geraden g und h schneiden. Nun ist die Ebene gegeben durch zwei sich schneidende Geraden.

9 Die Spurgeraden e 2 e 2 e 1 e 1 Abb. 4.9 Ebene gegeben durch ihre Spurgeraden Abb Ebene gegeben durch ihre Spurgeraden e 2 e 2 e 1 e 1 Abb Ebene gegeben durch ihre Spurgeraden Abb Ebene gegeben durch ihre Spurgeraden Die erste Spurgerade e 1 ist die SchniQgerade der Ebene mit der Grundrissebene 1. Sie ist nur in der Grundrissebene zu sehen, denn in der Aufrissebene fällt sie mit der y Achse zusammen. Die zweite Spurgerade e 2 ist die SchniQgerade der Ebene mit der Aufrissebene 2. Sie ist nur in der Aufrissebene zu sehen, denn in der Grundrissebene fällt sie mit der y Achse zusammen.

10 4.1. Ebenen in spezieller Lage Erste Hauptebene Sie ist parallel zur Grundrissebene 1. Abb Erste Hauptebene Abb Erste Hauptebene Zweite Hauptebene Sie ist parallel zur Aufrissebene 2. Abb Zweite Hauptebene Abb Zweite Hauptebene

11 Erstprojizierende Ebene Sie steht normal zur Grundrisseben 1. Abb Erstprojizierende Ebene Abb Erstprojizierende Ebene Zweitprojizierende Ebene Sie steht normal zur Aufrissebene 2. Abb Zweitprojizierende Ebene Abb Zweitprojizierende Ebene Eine erste Hauptebene ist eine spezielle zweitprojizierende Ebene, denn sie steht normal zur Aufrissebene, da sie parallel zur Grundrissebene ist. Eine zweite Hauptebene ist dagegen eine spezielle erstprojizierende Ebene.

12 9. Die Normale zu einer Ebene durch einen Punkt Eine Normale n (senkrechte Gerade) zu der durch die Geraden e und f gegebenen Ebene durch den Punkt P konstruiert man wie folgt: 1. Um die Normale in der Grundrissebene zu konstruieren, zeichnet man eine beliebige erste Hauptgerade h 1, die sich in der gegebenen Ebene befindet. 2. Die Gerade rechtwinklig zu h 1 durch den Punkt P zeichnen. Normale n 3. Um die Normale in der Aufrissebene zu konstruieren, zeichnet man eine beliebige zweite Hauptgerade h 2, die sich in der gegebenen Ebene befindet. 4. Die Gerade rechtwinklig zu h 2 durch den Punkt P zeichnen. Normale n P h 2 e h 1 n f P h 1 f h 2 n e Abb. 9.1 Normale zur Ebene durch einen Punkt

13 Zusammenfassung der Konstruk=on Eine beliebige erste und zweite Hauptgerade in der gegebenen Ebene zeichnen. n steht senkrecht auf h 1 und n senkrecht auf h 2. Beispiel 1 (Spezialfall) P = n n P Abb. 9.2 Normale Zu einer zweiten Hauptebene ist die Normale n eine zweitprojizierende Gerade. In der Grundrissebene ist die Normale einfach zu konstruieren, da die Ebene als eine einzige Gerade zu sehen ist. In der Aufrissebene ist die Normale als Punkt zu sehen, da sie senkrecht auf der Ebene steht, welche parallel zur Aufrissebene verläus. Die Normale muss auch durch P verlaufen, folglich fallen n und P im Aufriss zusammen. Beispiel 2 (Spezialfall) Ist die gegebene Ebene eine P n erstprojizierende Ebene, so ist die gesuchte Normale n eine erste Hauptgerade. In der Grundrissebene ist die Normale einfach zu konstruieren, da die Ebene P als eine einzige Gerade zu sehen ist. In der Aufrissebene ist die Normale n eine horizontale Gerade, da die Ebene senkrecht zur Grundrissebene steht. Abb. 9.3 Normale

14 9.1. Der Abstand eines Punktes von einer Ebene 1. KonstrukVon der Normalen n durch den Punkt P zur Ebene 2. Durchstosspunkt D der Normalen n mit der Ebene (Kapitel 7) 3. Die Strecke PD in wahrer Länge konstruieren (Kapitel 3.6) Abstand des Punktes P zur Ebene =P*D* P D e h 2 h 1 n f f h 1 h 2 Abb. 9.4 Abstand Punkt Ebene P* P D =D* n e

15 9.2. Die kürzeste Transversale Die kürzeste Transversale steht senkrecht zu zwei windschiefen Geraden. Die Strecke, die begrenzt wird durch die SchniZpunkte der kürzesten Transversale mit den windschiefen Geraden ist deren kürzeste Verbindung. Ihre Länge ist der Abstand der windschiefen Geraden. Räumliche Vorstellung zweier windschiefer Geraden Sind die Geraden g und h windschief, so liegen sie auf zwei parallelen Ebenen. Die Strecke t, die rechtwinklig zu den beiden Geraden g und h liegt, ist die kürzeste Verbindung von g und h. h g t Abb. 9.5 Kürzeste Transversale

16 Beispiel Gesucht ist die kürzeste Transversale der beiden zueinander windschief stehenden Geraden g und h. h n h 2 g H h 1 h n h h 1 g h 2 H h Abb. 9.6 Kürzeste Transversale 1. Durch einen beliebigen Hilfspunkt H auf g die Parallele h zu h zeichnen so, dass sich g und h schneiden und somit die Ebene bilden. 2. Durch H die Normale n zur Ebene konstruieren. 3. Die Normale n und die Gerade g bilden die Ebene Ω.

17 h n t E g H D h n h g H E D h t Abb. 9.7 kürzeste Transversale 4. KonstrukVon des Durchstosspunktes D der Geraden h mit der Ebene Ω D ist ein Punkt der gesuchten kürzesten Transversale auf h. 5. n parallel durch D verschieben kürzeste Transversale t 6. SchniZpunkt von t mit g E ist ein Punkt der gesuchten kürzesten Transversale auf g. 7. DE ist der Abstand der windschiefen Geraden g und h.

18 Aufgaben zu Kapitel 9 1. Lege durch den Punkt P(3/2/5) die Normale n zur Ebene, die gegeben ist durch die drei Punkte A(8/4/4), B(6/11/1) und C(2/9/8). 2. Gegeben ist die Ebene durch die sich im Punkt P(6/7/6) schneidenden Geraden e und f. Die Gerade e verläus zusätzlich durch den Punkt A(7/2/3) und die Gerade f durch den Punkt B(3/11/5). Gesucht ist die Normale n durch P zu. 3. Eine zweitprojizierende Ebene, in der die Punkte A(2/2/3) und B(4/8/4) liegen, und der Punkt P(6/4/7) sind gegeben. Konstruiere die Normale n durch P zu. 4. BesVmme den Abstand des Punktes T(5/5/7) von einer durch die Spurgeraden gegebenen Ebene in wahrer Länge. e 1 verläus durch die Punkte A(0/2/0) und B(8/13/0) und e 2 durch die Punkte A und C(0/13/8). 5. Spiegle den Punkt Q(1/4/3) an der Ebene, die gegeben ist durch die drei Punkte A(6/2/5), B(7/12/1) und C(0/7/8). 6. Verschiebe die durch die drei Punkte A(7/4/3), B(5/10/6) und C(2/6/1) gegebene Ebene in normaler Richtung um 3 cm. 7. Konstruiere die kürzeste Transversale der beiden windschiefen Geraden e und f. Die Gerade e verläus durch die Punkte A(1/3/8) und B(5/12/2) und die Gerade f durch die Punkte C(8/1/3) und D(3/10/7). 8. Konstruiere eine Ebene, die normal steht zur Ebene, die gegeben ist durch die drei Punkte P(6/3/1), Q(2/8/4) und R(3/1/5). Ausserdem soll die gesuchte Ebene die Gerade, die durch die Punkte A(7/5/9) und B(8/12/6) verläus, beinhalten.

19 Darstellende Geometrie Ein Lehrmittel für das Zweitafelverfahren Maturitätsarbeit von Saskia Lienhard In der Darstellenden Geometrie werden dreidimensionale Objekte mit Hilfe von verschiedenen Projektionsverfahren zweidimensional dargestellt. Eines dieser Projektionsverfahren ist das Zweitafelverfahren. Dabei werden räumliche Objekte durch ihre Normalprojektion, d.h. senkrecht, auf die Grundrissebene und die Aufrissebene zweidimensional abgebildet. Als Maturitätsarbeit habe ich ein Lehrmittel zu dieser Thematik erarbeitet. Inhaltlich orientierte ich mich am Unterricht der profilspezifischen Mathematik. Den Aufbau gestaltete ich aber so, wie es meiner eigenen Logik zu lernen entspricht. Das Lehrmittel beinhaltet sowohl die Theorie als auch Aufgaben mit den entsprechenden Lösungen. Die Theorie ist prägnant und gut verständlich formuliert, denn sie soll die Thematik nicht unnötig kompliziert beschreiben, sondern dem Lernenden das Wesentliche eindeutig vermitteln. Ich bin nämlich der Meinung, dass unnötig lange Texte die Schüler nur abschrecken. Ich habe daher den Schwerpunkt bewusst auf die grafischen Darstellungen gelegt, denn meiner Ansicht nach soll ein Schüler die Thematik vor allem durch das Studieren der Grafiken erfassen. Diese zahlreichen farbigen, zum Teil dreidimensionale Grafiken und die dazugehörigen Konstruktionsberichte veranschaulichen die Theorie. Somit kann der Schüler jeden einzelnen Schritt der Konstruktion nachvollziehen. Zudem legte ich grossen Wert auf die Systematik, Logik und Übersicht im inhaltlichen und gestalterischen Aufbau, denn dadurch will ich ein kompliziert zu sein scheinendes Thema vereinfachen. Damit bietet mein Lehrmittel zur Darstellenden Geometrie den Schülern einen raschen Zugang zur Thematik. Dies ist auch ein Grund, weshalb ich mich für dieses, mein Maturitätsarbeitsthema entschieden habe. Ich möchte mit meinem Lehrmittel nachkommenden Schülern eine Hilfestellung bieten, denn bisher gibt es kein modernes Buch zum Zweitafelverfahren. Ich konnte mein Buch bereits an einige Mathematik Lehrer verschiedener Kantonsschulen und an andere interessierte Personen verkaufen. Mein Ziel ist es aber, mein Lehrmittel noch weiter zu verbreiten, und ich hoffe, dass es auch im Unterricht eingesetzt wird. Das Buch kostet Fr Es kann unter der Adresse bestellt werden.