Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2016 Mathematik (2. Sek)

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1 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Gymnasium Unterstrass Zürich Aufnahmeprüfung 2016 Kurzgymnasium (Anschluss 2. Sekundarklasse) Mathematik Name: Die Prüfung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil steht die Punkteverteilung direkt bei der Aufgabe. Schreibe die Resultate bitte in die rechte Spalte. Beachte dabei eine Richtzeit von etwa 30 Minuten. Im zweiten Teil ist der Lösungsweg wesentlich. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge, müssen aber alle direkt nach der Aufgabe auf diese Blätter gelöst werden. Der Rechenweg muss in der Darstellung ersichtlich sein. Schreibe bitte Zwischenresultate auf. Zeichne und konstruiere sorgfältig! Parallelen und Senkrechte dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden. Zu den Konstruktionsaufgaben gehört ein Konstruktionsbericht. Bezeichne die Lösungsfigur bitte sorgfältig. Gesamtzeit für beide Teile: 90 Minuten. Teil I II Total Aufgabe Punkte = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 erreicht

2 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 Teil I (Richtzeit: 30 Minuten) 1 Auf einer Waage werden auf die eine Seite Wägestücke mit je 42g gelegt und auf die andere Seite werden Wägestücke mit je 24g gelegt. Wie viele Wägestücke muss man von jeder Sorte auf die Waage legen, damit die Waage im Gleichgewicht ist? (2P) Resultate Anzahl Wägestücke mit 42g: Anzahl Wägestücke mit 24g: 2 Ein trapezförmiges Grundstück hat die Masse wie in der Zeichnung gegeben. Bestimme die Länge der vierten Seite und die Fläche des Grundstücks. ( 2P) Länge der vierten Seite: m Fläche: m 2 3 Welche Ecken im Netz berühren sich nach dem Falten? Gib Ecken, die sich berühren, immer die gleiche Zahl! (1P) 4 Vereinfache so weit wie möglich. (1P) Vereinfachter Term 2x x + 1 3x 2x + 2

3 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 3 5 Bestimme die Länge der Dachkante d. (1P) Länge der Dachkante m 6 500g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 3.75 Fr. angeboten. Beim Kauf von 1.5 kg zahlt der Kunde nur Fr. Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis? (1P) Ersparnis: 7 Vereinfache so weit wie möglich. (1P) Vereinfachter Term ( 7x2 y 21xy 2 14xy 1 (x 3y)) 4x 4 8 Bestimme a. (1P) 4(3a 15) (2a + 2) = 3(4a 20) a =

4 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 4 Teil II (Richtzeit: 60 Minuten) 1 Im Internet kursieren immer wieder sogenannte Hoax-Mails (Scherzmails), welche den Leser auffodern, dieses an viele Personen weiterzuleiten. In unserem Beispiel soll ein solches Mail an genau sieben Personen geschickt werden. Wir gehen davon aus, dass jeder Mailempfänger dieser Aufforderung nachkommt und das Mail stets siebenmal weiterleitet. In der ersten Stufe werden sieben Empfänger erreicht, in der zweiten Stufen bereits 49 usw. a) Wie viele Stufen sind nötig bis 6 Millionen Empfänger ein Mail empfangen haben? (1P) b) In der dritten Stufe leitet eine Person das Mail nicht weiter. Wie viele Mails werden in der sechsten Stufe weniger versendet? (1P) Das Kleingeld einer Parkuhr, die nur 50-Rappen-Stücke und Einfränkler akzeptiert, wird automatisch abgezählt. Der Zähler der Sortiermaschine ermittelt 687 Münzen mit einem Gesamtwert von Fr c) Wie viele Geldstücke jeder Sorte waren eingeworfen worden? (2P)

5 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 5 2 Die Telekommunikationsfirma Pepper bietet für mobiles Telefonieren folgende Monatsabonnemente an: Angebot Pink Green Yellow Red Grundgebühr 30 Fr. 15 Fr. x Fr. Gratis Gesprächsminuten Kosten für jede zusätzliche Gesprächsminute 50 Rp./min 12 Rp./min y Rp./min a) Wie hoch ist die Monatsrechnung der Familie Muster mit dem Angebot Yellow bei 350 Gesprächsminuten? (0.5P) b) In der folgenden Graphik ist das Angebot Pink dargestellt. Bestimme die Grundgebühr, die Gratis Gesprächsminuten und die Kosten pro zusätzlicher Gesprächsminute und trage sie in der obigen Tabelle ein. (1P) c) Stelle das Angebot Green analog zu Pink grafisch im obigen Koordinatensystem dar. (1P)

6 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 6 d) Familie Schweizer und Familie Zürcher haben sich für das Angebot Red entschieden. Familie Schweizer zahlt für 930 Gesprächsminuten Fr , Familie Zürcher für 870 Gesprächsminuten Fr Berechne für das Angebot Red die Grundgebühr x in Fr. und die Kosten für die zusätzlichen Gesprächsminuten y in Rp./min. (1.5P)

7 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 7 3 Konstruiere ein Quadrat ABCD, dessen Ecke A auf der Gerade g und Ecke C auf dem Kreis k liegt. S soll der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrates sein. Konstruiere alle Lösungen. (3P) Schreibe deine Konstruktionsschritte in einem Konstruktionsbericht auf. (1P) Konstruktionsbericht:

8 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 8 4 Der Würfel hat die Kantenlänge 12 cm. Die Punkt M und N sind die Mittelpunkte der Würfelkanten. Der Würfel wird durch die Punkte H, M, B und N in zwei Teile geschnitten. a) Zeichne die Schnittlinien ein. Was ist die Schnittfläche für eine Figur? (1P) b) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt dieser Figur auf zwei Nachkommastellen. (3P)

9 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 9 5 Wir betrachten den Geschwindigkeitsverlauf während einer einzelnen Stunde der länger dauernden Fahrt eines Lastwagens (LKW). Die beiden nachfolgenden Diagramme beschreiben diesen Geschwindigkeitsverlauf, allerdings auf leicht unterschiedliche Art und Weise. a) Worin liegt der Unterschied zwischen den beiden Diagrammen? Beschreibe ihn in ein paar Sätzen. (1.5 P) Tipp: Bei den Teilaufgaben b) und c) lohnt es sich zuerst zu überlegen, welches der beiden Diagramme sich zur Beantwortung der Frage herangezogen werden sollte. b) Wie gross waren ungefähr die maximale und die minimale Geschwindigkeit des LKWs während der betrachteten Stunde? (1 P) c) Welche ungefähre Strecke hat der LKW während der letzten Viertelstunde zurückgelegt? (1.5 P)

10 Lösungen 2. Sek Teil I 1. 4 mal 42g und 7 mal 24g 2. Seitenlänge: 14.4 m Fläche: m² x 2x m % 7. x 2 3xy 8. a = 1 Teil II 1 a) 1. Stufe: 7 Total: 7 2. Stufe: 7 2 = 49 Total: Stufe: 7 3 = 343 Total: Stufe: 7 4 = Total: Stufe: 7 5 = Total: Stufe: 7 6 = Total: Stufe: 7 7 = Total: Stufe: 7 8 = Total: 6' Es sind also 8 Stufen nötig. b) In der 3. Stufe werden 7 Mails nicht geschickt. In der 4. Stufe werden somit 7 2 = 49 Mails nicht geschickt. In der 5. Stufe werden somit 7 3 = 343 Mails nicht geschickt. In der 6. Stufe werden somit 7 4 = 2'401 Mails weniger versendet. c) Der Lösungsweg ist in der folgenden Tabelle ersichtlich: Angaben Münze Anzahl Münzen Geldwert Bewertung 50-Rappen-Stück x 0.5x 0.5 Einfränkler 687-x 687-x Gleichung 0.5x +(687-x) = Nach x auflösen x = Antwort Es sind Rappen-Stücke und 171 Einfränkler 0.5

11 2 a) Die Monatsrechnung der Familie Muster mit dem Angebot Yellow bei 350 Gesprächsminuten ist: = = 45 Sie beträgt also Fr (0.5 P) b) (1 P) Angebot Pink Green Yellow Red Grundgebühr 40 Fr. 30 Fr. 15 Fr. x Fr. Gratis Gesprächsminuten Kosten für jede zusätzliche Gesprächsminute c) (1 P) 40 Rp./min 50 Rp./min 12 Rp./min y Rp./min d) 60 Minuten ( = 60) kosten: Fr Fr = Fr Also kostet eine zusätzliche Gesprächsminute: Fr : 60 = 8 Rp. Familie Zürcher muss also Min. à Fr bezahlen, das sind: Fr Damit bleibt eine Grundgebühr von: Fr Fr = Fr Das Angebot Red hat eine Grundgebühr von Fr und die Kosten für eine zusätzliche Gesprächsminute sind 8 Rappen. (1.5 P) 3 Konstruktionsbericht: 1. Spiegele g an S und schneide das Bild g mit dem Kreis => Punkte C 1 und C C 1 und C 2 mit S verbinden und mit g schneiden => A 1 und A Senkrechte durch S zu den Verbindungslinien aus 2. Abstand SC 1 bzw. SC 2 um S mit dem Zirkel auf beide Seiten der Senkrechten Abtragen => B 1 und B 2 und D 1 und D 2

12 4 a) Die Schnittfigur ist ein Rhombus (aber kein Quadrat). 1 P b) Umfang: U = cm = 4 180cm cm 1 P Flächeninhalt: A Rhombus = e f P MN = 2 12 cm cm 0.5 P HB = 3 12 cm cm 0.5 P A Rhombus = MN HB 2 = cm 2 = 72 6 cm cm P 5 a) Im linken Diagramm wird die genaue Geschwindigkeit des LKWs zu jedem einzelnen Zeitpunkt angegeben. (0.5 Punkte) Im rechten Diagramm werden mittlere Geschwindigkeit für Zeitabschnitt von jeweils 5 Minuten angezeigt. (1 Punkt) b) Diese Geschwindigkeiten liesst man am besten im linken Diagramm ab. Kleinste Geschwindigkeit: ca. 35 km/h (gerade zu Beginn). Grösstes Geschwindigkeit: ca. 100 km/h. (je 0.5 Punkte) c) Die Strecke berechnet sich am einfachsten aus den letzten drei Säulenhöhen im rechten Diagramm: s = v t km 1 h 4 h = km