Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2015 Mathematik (3. Sek)

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1 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Gymnasium Unterstrass Zürich Aufnahmeprüfung 2015 Kurzgymnasium (Anschluss 3. Sekundarklasse) Mathematik Name: Die Prüfung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil steht die Punkteverteilung direkt bei der Aufgabe. Schreibe die Resultate bitte in die rechte Spalte. Beachte dabei eine Richtzeit von etwa 30 Minuten. Im zweiten Teil ist der Lösungsweg wesentlich. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge, müssen aber alle direkt nach der Aufgabe auf diese Blätter gelöst werden. Der Rechenweg muss in der Darstellung ersichtlich sein. Schreibe bitte Zwischenresultate auf. Zeichne und konstruiere sorgfältig! Parallelen und Senkrechte dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden. Zu den Konstruktionsaufgaben gehört ein Konstruktionsbericht. Bezeichne die Lösungsfigur bitte sorgfältig. Gesamtzeit für beide Teile: 90 Minuten. Teil I II Total Aufgabe Punkte = = = = = 4 30 erreicht

2 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 Teil I (Richtzeit: 30 Minuten) 1 Auf dem Fussboden eines Kinderzimmers (320 cm lang, 260 cm breit) sollen quadratische Teppichfliesen gelegt werden. Welche Kantenlänge dürfen diese Fliesen höchstens haben, wenn man keine zerschneiden will. (1 P) Resultate grösstmögliche Kantenlänge: 2 Der Würfel hat die Seitenlänge 5 cm. Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche. ( 1 P) Fläche: 3 Um einen Drink zu mixen braucht der Barkeeper doppelt so viel Orangensaft wie Grapefruitsaft. Grapefruitsaft muss fünfmal so viel drin sein wie Himbeersirup. Wie viel Himbeersirup benötigt der Barkeeper, um 5 dl dieses Drinks herzustellen? (in ml) (1 P) ml Himbeersirup

3 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 3 4 Bestimme den Umfang des Kreises, wenn das Quadrat Seitenlänge 10 cm hat. (1.5 P) r = u = 5 Vereinfache so weit wie möglich. (1 P) 6z 3 2 (6z 3) 2 : x 2 3x Vereinfachter Term 6 Hans kauft 365g Gummibärchen und anderes Schleckzeug. Der Preis für 100 g beträgt üblicherweise 2.- Fr. Heute gibt es aber 20% Rabatt. Wie viel muss Hans bezahlen? (auf 5 Rappen runden) (1 P) Preis:

4 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 4 7 Vereinfache so weit wie möglich. (1 P) 7: a! + 4a! a (2a + a) Vereinfachter Term 8 Bestimme x. (1 P) 7 3 x + 9x 3x 2 = 13x + 2 x = 9 Vera plant eine Velotour um den Zürichsee. Ihre erste Etappe misst auf der Landkarte (mit Massstab 1:25 000) 58 cm. Wie lang ist die Strecke in Wirklichkeit? (in km) (0.5 P) Länge der Strecke km Wie lang braucht Vera, wenn sie die Strecke mit 13 km/h fährt? (1 P) Fahrzeit h min

5 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 5 Teil II (Richtzeit: 60 Minuten) 1 a) Herr Müller fährt jeden Tag mit dem Auto zu seinem Arbeitsplatz, der 30 km entfernt ist. Normalerweise braucht er 36 min. Eines Morgens hat er verschlafen und er fährt deshalb 10 min später ab. Um wie viele km/h müsste er seine durchschnittliche Geschwindigkeit erhöhen, damit er trotzdem noch rechtzeitig zur Arbeit käme? (2.5 P) b) Es werden Funksignale von der Erde aus zum Mond gesendet. Funksignale breiten sich mit der Lichtgeschwindigkeit von Kilometer pro Sekunde aus. Der Abstand Erde Mond schwankt zwischen und Kilometern. Wie viel länger benötigt ein Funksignal für das Zurücklegen der grössten Distanz als für das der kleinsten Distanz? (1.5 P) Gib das Resultat in Sekunden an und runde auf drei Stellen nach dem Dezimalpunkt.

6 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 6 2 In den Spielregeln für ein Würfelspiel steht: Man werfe beide Würfel und bilde aus den beiden oben liegenden Augenzahlen die grösstmögliche Zahl. (Beispiel: Bei 1 und 5 ist das 51) a) Gib alle möglichen Ergebnisse an, die beim Spielen kommen können. (1 P) b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem Wurf die 64 würfelt? (1 P) c) Erwin und Paula spielen nach der Regel oben. Es gewinnt derjenige, der die höhere Zahl bilden kann. Bei der gleicher Zahl gewinnt der, der die Zahl zuerst hatte. Paula hat als erste eine 43 gebildet. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Paula damit gewinnt. (2 P)

7 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 7 3 a) Gegeben ist die Zahlenfolge mit den Brüchen!!,!"!,!"!,!"!!, Notiere in der Tabelle die nächsten 2 Brüche und bestimme den 48. Bruch der Zahlenfolge. (2 P) Bruch b) Einem Behälter mit 200 Liter 90%-igem Alkohol werden 20 Liter Flüssigkeit entnommen. Anschliessend wird der Behälter wieder mit Wasser aufgefüllt. Vervollständige die Tabelle. (1.5 P) Flüssigkeit in Liter Alkohol in Liter Wasser in Liter Ausgangssituation Nach der Flüssigkeitsentnahme Inhalt des Behälters am Ende Berechne, wie viel %-ig der Alkohol im Behälter am Ende ist. (0.5 P)

8 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 8 4 Ein Architekt hat ein Modell für ein Hotel auf Korsika entworfen. Um eine Klimaanlage für das Hotel zu dimensionieren, muss der Techniker wissen, wie viele Liter Luft in das Gebäude passen. (Angaben in m) a) Berechne den Rauminhalt des Gebäudes in m 3. (3 P) b) Zeichne die Ansicht von vorne in das gegebene Gitter auf der nächsten Seite, wenn 1 Häuschen 5 m entspricht. (1 P)

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10 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 10 5 Fallen und Zufall Fritz hat sich eine ungeheuer teure Fotokamera gekauft. Sie kann in kürzester Zeit eine unglaubliche Vielzahl von Aufnahmen machen. Allerdings hat die Kamera einen nicht ganz unwesentlichen Defekt: Anstatt die Bilder in einem schön regelmässigen Rhythmus zu schiessen, macht sie dies in völlig zufälligen Zeitabständen Nun hat Fritz eine kleine Kugel aus einer Höhe von 1.2 Meter fallengelassen und den Fallvorgang mit seiner Kamera aufgenommen. Während der knapp 0.5s Fallzeit sind so per Zufall gerade 1000 Fotos entstanden. Fritz hat diese Bilder sortiert, und zwar nach dem Fallstreckenbereich, in dem sich die Kugel auf dem jeweiligen Foto gerade befindet. Dabei hat er die gesamte Strecke in sechs 20cm lange Bereiche unterteilt. Schliesslich hat er gezählt, auf wie vielen Bildern die Kugel in einem bestimmten Bereich zu sehen ist. So hat er das folgende Diagramm erhalten: Beispiel: Fritz hat 172 Fotos gezählt, auf denen die Kugel bereits zwischen 20cm und 40cm weit gefallen ist. a) Erkläre möglichst kurz und präzise: (1+0.5 P) Weshalb gibt es mehr Fotos, bei denen die Kugel auf der ersten Streckenhälfte erwischt wurde als auf der zweiten? Wie ist es möglich, dass die Kugel zwischen 60cm und 80cm häufiger fotografiert wurde als zwischen 40cm und 60cm?

11 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 11 b) Nun hat Fritz die 1000 Fotos wild gemischt. Wenn er jetzt zufällig eines herauspickt, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eines ist, auf dem die Kugel im Fallstreckenbereich zwischen 40cm und 80cm zu sehen ist? (1 P) c) Welches ist die durchschnittliche Fallstrecke auf den 1000 Bildern? Wie lässt sich ein sinnvoller Näherungswert aus den Daten berechnen? (1.5 P) Tipp: Wie berechnest du einen Notendurchschnitt?

12 Lösungen 3. Sek Teil I cm cm² ml 4. r =!" cm 3.54 cm 1P ; u = 2πr cm 0.5P! 5.!"!!!!! 6. exakt: 5.84 Fr, gerundet: 5.85 Fr !!!! 8. x =!! km; 1 h 7 min Teil II 1 a) Er muss 19.2 km/h schneller fahren. b) t = s 2. a) Ω = 11; 21; 22; 31; 32; 33; 41; 42; 43; 44; 51; 52; 53; 54; 55; 61; 62; 63; 64; 65; 66 b) P 64 = 2!! =!!!!" c) P 11; 21; 22; 31; 32; 33; 41; 42; 43 = 6! + 3! =!"!"!"!" 3. a) b) Bruch Flüssigkeit in Liter Alkohol in Liter Wasser in Liter Ausgangssituation Nach der Flüssigkeitsentnahme Inhalt des Behälters am Ende = 81% a) V =!! ! m! = 3! 030! 000 m! b)

13 5. Fallen und Zufall... a) Erklärungen: Die Kugel startet aus der Ruhe und wird während dem Fallen immer schneller. Somit braucht sie für die erste Streckenhälfte mehr Zeit als für die zweite. Entsprechend entstehen auf der ersten Streckenhälfte mehr (zufällige) Bilder. (1 P) Dies ist ein reines Zufallsprodukt der Kamera. Es liegt offenbar im Bereich möglicher statistischer Schwankungen. (0.5 P) b) p( Kugel zw. 40cm und 80cm ) = ( )/1000 = = 26.1% (1 P) c) Ein sinnvoller Wert ergibt sich beispielsweise, indem man von den Mittelpunkt jedes Fallstreckenbereichs nimmt und mit der Häufigkeit des Bereichs gewichtet: Mittlere Fallstrecke = (394*10cm + 172*30cm *110cm)/1000 = 42.08cm Jegliche anderen/ähnlichen sinnvollen Ansätze können Punkte ergeben. (1.5 P) Nebenbei: Der genaue statistische Mittelwert liegt bei h/3.