Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2016 Mathematik (3. Sek)

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1 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Gymnasium Unterstrass Zürich Aufnahmeprüfung 2016 Kurzgymnasium (Anschluss 3. Sekundarklasse) Mathematik Name: Die Prüfung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil steht die Punkteverteilung direkt bei der Aufgabe. Schreibe die Resultate bitte in die rechte Spalte. Beachte dabei eine Richtzeit von etwa 30 Minuten. Im zweiten Teil ist der Lösungsweg wesentlich. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge, müssen aber alle direkt nach der Aufgabe auf diese Blätter gelöst werden. Der Rechenweg muss in der Darstellung ersichtlich sein. Schreibe bitte Zwischenresultate auf. Zeichne und konstruiere sorgfältig! Parallelen und Senkrechte dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden. Zu den Konstruktionsaufgaben gehört ein Konstruktionsbericht. Bezeichne die Lösungsfigur bitte sorgfältig. Gesamtzeit für beide Teile: 90 Minuten. Teil I II Total Aufgabe Punkte = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 erreicht

2 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 Teil I (Richtzeit: 30 Minuten) 1 Auf einer Waage werden auf die eine Seite Wägestücke mit je 42g gelegt und auf die andere Seite werden Wägestücke mit je 24g gelegt. Wie viele Wägestücke muss man von jeder Sorte auf die Waage legen, damit die Waage im Gleichgewicht ist? (2 P) Resultate Anzahl Wägestücke mit 42g: Anzahl Wägestücke mit 24g: 2 Ein trapezförmiges Grundstück hat die Masse wie in der Zeichnung gegeben. Bestimme den Umfang des Grundstücks. ( 1 P) Umfang: m 3 In der dritten Klasse werden im Fach Mathematik fünf Tests geschrieben. Für die Durchschnittsnote in Mathematik gilt: schriftlich zählt dreifach, mündlich zählt einfach. Fritz steht mündlich auf 3.9. Seine Durchschnittsnote in Mathematik ist 4.5. Berechne die schriftliche Note. (1 P) Schriftliche Note: 4 Aus einem Baumstamm soll in einem Sägewerk ein Balken mit quadratischem Querschnitt (Kantenlänge 14 cm) hergestellt werden. Bestimme den Umfang den der Baumstamm mindestens haben muss. (2 P) r = u =

3 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 3 5 Vereinfache so weit wie möglich. (1 P) Vereinfachter Term 2x x + 1 3x 2x g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 3.75 Fr. angeboten. Beim Kauf von 1.5 kg zahlt der Kunde nur Fr. Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis? (1 P) Ersparnis: 7 Vereinfache so weit wie möglich. (1 P) Vereinfachter Term 7x! y 21xy! 1 x 3y 14xy 4 4x 8 Bestimme g. (1 P) g = 4 3g 15 2g + 2 = 3 4g 20

4 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 4 Teil II (Richtzeit: 60 Minuten) 1 Im Internet kursieren immer wieder sogenannte Hoax-Mails (Scherzmails), welche den Leser auffodern, dieses an viele Personen weiterzuleiten. In unserem Beispiel soll ein solches Mail an genau sieben Personen geschickt werden. Wir gehen davon aus, dass jeder Mailempfänger dieser Aufforderung nachkommt und das Mail stets siebenmal weiterleitet. In der ersten Stufe werden sieben Empfänger erreicht, in der zweiten Stufen bereits 49 usw. a) Wie viele Stufen sind nötig bis 6 Millionen Empfänger ein Mail empfangen haben? (1P) b) In der dritten Stufe leitet eine Person das Mail nicht weiter. Wie viele Mails werden in der sechsten Stufe weniger versendet? (1P) Das Kleingeld einer Parkuhr, die nur 50-Rappen-Stücke und Einfränkler akzeptiert, wird automatisch abgezählt. Der Zähler der Sortiermaschine ermittelt 687 Münzen mit einem Gesamtwert von Fr c) Wie viele Geldstücke jeder Sorte waren eingeworfen worden? (2P)

5 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 5 2 Ein Wasserreservoir, das 48 m 3 fasst, ist mit einer Zufluss- und einer Abflussleitung versehen. In vier Minuten werden 600 Liter Wasser zugeleitet und in 12 Sekunden werden 45 Liter Wasser abgeleitet. a) Wie viele Liter Wasser fliessen pro Minute zu und wie viele Liter Wasser fliessen pro Minute ab? (1 P) b) Das Reservoir sei voll. Nun wird bei geschlossener Zuflussleitung die Abflussleitung geöffnet. Wie viele Liter enthält das Reservoir nach 45 Minuten? (1 P) c) Das Reservoir sei zu drei Fünfteln gefüllt. Nun werden gleichzeitig Zufluss- und Abflussleitung geöffnet. Wie lange (in Stunden und Minuten) dauert es, bis das Reservoir leer ist? (1 P) d) Das Reservoir sei halb voll und soll ganz gefüllt werden. Dummerweise wird neben der Zufluss- auch die Abflussleitung geöffnet. Man merkt es nach 30 Minuten. Wie lange dauert es bis das Reservoir ganz gefüllt ist? (1 P)

6 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 6 3 Erna und Peter überkleben einen Spielwürfel, so dass 4 Seiten die "2" und 2 Seiten die "5" zeigen. Erna würfelt dreimal. Sie erzielt im ersten Wurf eine Zwei, im zweiten eine Fünf und im dritten wieder eine Zwei. Somit erreicht Erna also die Augensumme 9. Nun ist Peter mit drei Würfen an der Reihe. Er gewinnt, wenn er eine grössere Augensumme als Erna erzielt. a) Welche Augensumme muss Peter werfen, um zu gewinnen? (1 P) b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Peter gewinnt? (3 P)

7 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 7 4 Konstruiere ein Quadrat ABCD, dessen Ecke A auf der Gerade g und Ecke C auf dem Kreis k liegt. S soll der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrates sein. Konstruiere alle Lösungen. (3P) Schreibe deine Konstruktionsschritte in einem Konstruktionsbericht auf. (1P) Konstruktionsbericht:

8 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 8 5 Wir betrachten den Geschwindigkeitsverlauf während einer einzelnen Stunde der länger dauernden Fahrt eines Lastwagens (LKW). Die beiden nachfolgenden Diagramme beschreiben diesen Geschwindigkeitsverlauf, allerdings auf leicht unterschiedliche Art und Weise. a) Worin liegt der Unterschied zwischen den beiden Diagrammen? Beschreibe ihn in ein paar Sätzen. (1.5 P) Tipp: Bei den Teilaufgaben b) und c) lohnt es sich zuerst zu überlegen, welches der beiden Diagramme sich zur Beantwortung der Frage herangezogen werden sollte. b) Wie gross waren ungefähr die maximale und die minimale Geschwindigkeit des LKWs während der betrachteten Stunde? (1 P) c) Welche ungefähre Strecke hat der LKW während der letzten Viertelstunde zurückgelegt? (1.5 P)

9 Lösungen 3. Sek Teil I 1. 4 mal 42g und 7 mal 24g 2. Umfang: 90.4 m Radius: 9.9 cm Umfang: 62.2 cm 5. x 2x % 7. x 2 3xy 8. g = 1 Teil II 1 a) 1. Stufe: 7 Total: 7 2. Stufe: 7 2 = 49 Total: Stufe: 7 3 = 343 Total: Stufe: 7 4 = Total: Stufe: 7 5 = Total: Stufe: 7 6 = Total: Stufe: 7 7 = Total: Stufe: 7 8 = Total: 6' Es sind also 8 Stufen nötig. b) In der 3. Stufe werden 7 Mails nicht geschickt. In der 4. Stufe werden somit 7 2 = 49 Mails nicht geschickt. In der 5. Stufe werden somit 7 3 = 343 Mails nicht geschickt. In der 6. Stufe werden somit 7 4 = 2'401 Mails weniger versendet. c) Der Lösungsweg ist in der folgenden Tabelle ersichtlich: Angaben Münze Anzahl Münzen Geldwert Bewertung 50-Rappen-Stück x 0.5x 0.5 Einfränkler 687-x 687-x Gleichung 0.5x +(687-x) = Nach x auflösen x = Antwort Es sind Rappen-Stücke und 171 Einfränkler a) Zufluss: 600 Liter in 4 Minuten, also sind das 150 L/min. Abfluss: In 12 Sekunden 45 Liter, also sind das 225 L/min. b) Das Reservoir ist voll, also sind 48 m 3 = 48'000 Liter Wasser enthalten. In 45 Minuten fliessen 45 mal 225 Liter ab. Das sind 10'125 Liter. Es enthält also nach 45 Minuten noch 48'000 10'125 = 37'875 Liter. c) Das Reservoir ist zu drei Fünfteln gefüllt, enthält also 28'800 Liter. Es fliessen 75 Liter pro Minute mehr ab als zu. Es dauert also 28'800 / 75 = 384 Minuten. Das sind 6 Std. 24 Min. d) Das Reservoir ist halb voll, enthält also 24'000 Liter. Während 30 Minuten sind beide Leitungen geöffnet, es fliessen also 30 mal 75 L ab: 2'250 Liter. Nach diesen 30 Minuten enthält also das Reservoir noch 24'000 2'250 = Liter.

10 Es dauert also /150 = 145 Minuten. Insgesamt dauert es also = 175 Minuten = 2 Std. 55 Min. 3 a) Peter muss entweder 2 Fünfer und 1 Zweier, also die Augensumme 12 werfen oder er muss 3 Fünfer, also die Augensumme 15 werfen. b) Baum zeichnen und dann die günstigen Äste berechnen: P(Peter gewinnt) = P(Peter wirft 12 oder 15 Augensumme) = P(255) + P(525) + P(552) + P(555) = = = = % 4 Konstruktionsbericht: 1. Spiegele g an S und schneide das Bild g mit dem Kreis => Punkte C 1 und C C 1 und C 2 mit S verbinden und mit g schneiden => A 1 und A Senkrechte durch S zu den Verbindungslinien aus 2. Abstand SC 1 bzw. SC 2 um S mit dem Zirkel auf beide Seiten der Senkrechten Abtragen => B 1 und B 2 und D 1 und D 2 5 a) Im linken Diagramm wird die genaue Geschwindigkeit des LKWs zu jedem einzelnen Zeitpunkt angegeben. (0.5 Punkte) Im rechten Diagramm werden mittlere Geschwindigkeit für Zeitabschnitt von jeweils 5 Minuten angezeigt. (1 Punkt) b) Diese Geschwindigkeiten liesst man am besten im linken Diagramm ab. Kleinste Geschwindigkeit: ca. 35 km/h (gerade zu Beginn). Grösstes Geschwindigkeit: ca. 100 km/h. (je 0.5 Punkte) c) Die Strecke berechnet sich am einfachsten aus den letzten drei Säulenhöhen im rechten Diagramm: s = v t km h 1 h = km 4