Teil I (Richtzeit: 30 Minuten)

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1 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Gymnasium Unterstrass Zürich Aufnahmeprüfung 2012 Kurzgymnasium (Anschluss 3. Sekundarklasse, NLM) Mathematik Name: Die Prüfung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil gilt die in Klammern angegebene Punkteverteilung. Schreibe die Resultate bitte in die rechte Spalte. Beachte dabei eine Richtzeit von etwa 30 Minuten. Im zweiten Teil ist der Lösungsweg wesentlich. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge, müssen aber alle direkt nach der Aufgabe auf diese Blätter gelöst werden. Der Rechenweg muss in der Darstellung ersichtlich sein. Schreibe bitte Zwischenresultate auf. Zeichne und konstruiere sorgfältig! Parallelen und Senkrechte dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden. Bezeichne die Lösungsfigur bitte sorgfältig. Gesamtzeit für beide Teile: 90 Minuten. Teil I II Total Aufgabe Punkte = = = = = 4 30 erreicht Teil I (Richtzeit: 30 Minuten) 1 Vereinfache soweit wie möglich: (1 Pt) 143(x 3y) 2 (y+3x) 2 2(y+3x) 11(x 3y) Resultate = 2 Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache aller ungeraden Zahlen, die kleiner als 27 und grösser als 9 sind und die keine Primzahlen sind. (1 Pt) =

2 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 3 Einem Quadrat ist ein gleichschenkliges Dreieck so eingeschrieben, dass zwei Eckpunkte des Dreiecks mit zwei Eckpunkten des Quadrats und die Grundfläche des Dreiecks mit einer Seite des Quadrats zusammenfallen. Die Fläche des Quadrats beträgt cm 2. Berechne die Länge eines Schenkels des Dreiecks. Gib dein Ergebnis in cm an und runde es auf eine Dezimale. Um wie viel ist die Basis des Dreiecks kürzer als ein Schenkel? Gib dein Ergebnis in cm an. Genauigkeit: 1 Dezimale. (2 Pte) Schenkel: Differenz: 4 Bestimme a: (1.5 Pte) 12a a = 7 a 6 4 a = 5 Joel, Nick und Andreas wohnen in demselben Haus und gehen jeden Morgen gemeinsam zur nächstgelegenen Bushaltestelle. Joels Schrittlänge beträgt 80 cm. Er muss vom Haus bis zur Haltestelle 900 Schritte machen. Nicks Schrittlänge beträgt ein Achtel mehr als die von Joel; die Schrittlänge von Andreas ist um ein Drittel kürzer als die von Nick. Wie viele Schritte benötigen Nick und Andreas vom Haus bis zur Bushaltestelle? (1.5 Pte) Nick benötigt Schritte. Andreas benötigt Schritte.

3 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 3 6 In einer Lostrommel befinden sich eine gelbe, zwei weisse, zwei rote und vier blaue Kugeln. Aus dieser Trommel werden zufällig Kugeln gezogen. Welche der folgenden Aussagen ist nicht richtig? (1 Pt) a) Die Wahrscheinlichkeit, in einem Zug eine blaue Kugel zu ziehen, ist ebenso gross wie die Wahrscheinlichkeit, eine weisse oder eine rote Kugel zu ziehen. b) Wenn du fünfmal nacheinander eine Kugel gezogen hast, die nicht blau war, so erscheint beim sechsten Mal mit Sicherheit eine blaue Kugel. (Die Kugeln werden nach jeder Ziehung wieder zurück in die Trommel gelegt.) c) Die Wahrscheinlichkeit, in einem Zug keine blaue Kugel zu ziehen, beträgt mehr als 50%. d) Wenn du sehr oft eine Kugel ziehst, so wirst du etwa in 7/9 aller Fälle keine weisse Kugel ziehen. Folgende Aussage ist falsch: 7 Die Skizze zeigt den Querschnitt eines Baumstamms als Kreis und den Querschnitt eines Balkens, den man aus dem Baumstamm aussägen kann, als dunkles Rechteck. Welchen Radius muss ein Baumstamm mindestens haben, damit man einen Balken dessen Querschnitt die Abmessungen 18 cm mal 10 cm hat, daraus aussägen kann? Berechne den Radius in cm und runde dein Ergebnis auf zwei Dezimalen. (1 Pt) Radius: Der Durchmesser des Baumes wächst in den ersten fünf Jahren jährlich um 0.9 cm, im sechsten bis zwölften Jahr jeweils um 0.8 cm und ab dem 13. Jahr um jeweils 0.7 cm pro Jahr. Wie alt muss der Baum mindestens sein, um den Balken aussägen zu können? Stelle zur Lösung eine Gleichung auf (ohne Gleichung erhältst du null Punkte.) Runde dein Ergebnis auf eine ganze Zahl. (1 Pt) Alter:

4 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 4 Teil II (Richtzeit: 60 Minuten) 1 Anna, Beata und Clara haben eine SchülerInnenzeitung gegründet. Um die anfallenden Kosten bezahlen zu können, hat Anna Fr , Beata Fr und Clara Fr in die Kasse gezahlt. a) Mit dem Verkauf von Inseraten in ihrer Zeitung erhalten die drei Mädchen einen Betrag im Umfang von drei Vierteln ihrer gesamten eigenen Einzahlungen. Ein Drittel des gesamten Vermögens wird nun für einen Drucker ausgegeben. Die Hälfte des restlichen Geldes wird für Verbrauchsmaterial ausgegeben. Wie viel Geld ist danach noch in der Kasse der drei Mädchen? b) Die Zeitung hat grossen Erfolg. Sie verkaufen 185 Exemplare zum Preis von Fr. 3.- und erhalten Spenden von verschiedenen Lehrpersonen im Betrag von Fr Diese Einnahmen teilen sie im Verhältnis ihrer geleisteten Einzahlungen in die Kasse auf. Wie viel erhält jedes der drei Mädchen?

5 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 5 2 Annik und Boris spielen mit zwei Tetraederwürfeln, d.h. vierseitige Würfel (siehe Bild). Einer der Würfel ist normal angeschrieben, d.h. mit 1, 2, 3 und 4, der andere Würfel enthält nur die Zahlen 1, 2, 2, 2. a) Beide Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wenn das Produkt der beiden Augenzahlen gerade ist, erhält Annik einen Punkt. Wenn sie ungerade ist, erhält Boris einen Punkt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Annik einen Punkt erhält? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Boris einen Punkt erhält? b) Würfelt man mit dem normal angeschriebenen Würfel eine gerade Zahl, wird beim zweiten Wurf der gleiche Würfel benutzt, würfelt man hingegen eine ungerade Zahl, dann wird beim zweiten Mal der Würfel mit den Zahlen 1, 2, 2, 2 benutzt. Annik gewinnt, wenn die Summe der Augenzahlen von beiden Würfeln gerade ist, Boris gewinnt, wenn die Summe der Augenzahlen von beiden Würfeln ungerade ist. Wie gross ist die Gewinnchance von Annik und wie gross ist die Gewinnchance von Boris?

6 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 6 3 Ein Werkstück hat nebenstehende Form. Berechne das Volumen des Werkstücks a) mit der Variablen a, b) für a = 6 cm.

7 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 7 4 a) Die Dreiecksspirale unten besteht aus lauter rechtwinkligen und zueinander ähnlichen Dreiecken. Die Katheten des kleinsten Dreiecks besitzen die Längen 3 und 4. Wie gross ist die Hypotenuse des grössten gezeigten Dreiecks? Gib die Antwort auf 2 Dezimalen genau. b) Konstruktion: Strecke den Kreis so, dass die Bildfigur auf der anderen Seite der Gerade g liegt und diese berührt (Z = Streckzentrum). Konstruktionsbeschreibung:

8 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 8 5 Die Graphik ist das Resultat einer Untersuchung über die mittlere Dauer des Nachtschlafes bei Säuglingen und Kleinkindern bis 6 Jahren. 100% entsprechen allen untersuchten Kindern. Lesebeispiel: 3% der Kinder schlafen mit 24 Monaten maximal 10 Stunden. a) Hans ist 15 Monate alt und schläft etwa 12 Stunden pro Nacht. Elvira ist fünfeinhalb Jahre alt und schläft etwa 13 Stunden pro Nacht. Bitte zeichne die Daten von Hans mit einem Punkt H und die Daten von Elvira mit einem Punkt E in das Koordinatensystem ein. b) Ist das Schlafverhalten von Hans und Elvira normal? Oder schlafen die Kinder überdurchschnittlich viel oder unterdurchschnittlich wenig? Begründe deine Antwort für beide Kinder! c) Was kann man aus dem Verlauf der mittleren Kurve für Informationen ablesen? Formuliere bitte eine wahre Aussage.

9 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2012 Mathematik Lösungen 2. Sek: - neues Lehrmittel TEIL 1 1) (1 Punkt für die richtige Lösung) 2) 6552 (1 Punkt für die richtige Lösung) 3) Basis: 4.5 cm; Schenkel: 5.0 cm (je 1 Punkt für die richtige Lösung; je 0.5 Punkte Abzug, wenn die Einheit fehlt) 4) L = {-3.5} oder { } (1.5 Punkte für die richtige Lösung; 1 Punkt, wenn eine Bruchzahl als Lösung angegeben wird, welche noch nicht vollständig gekürzt ist) 5) 43 cm (1 Punkt für die richtige Lösung) 6) Fr. (2 Punkte für die richtige Lösung) 7) Radius: cm (oder 10.3 cm); Alter: 29 Jahre (je 1 Punkt für jede richtige Lösung) TEIL 2 1 a) In der Kasse verbleiben Fr b) Anna erhält Fr , Beata erhält Fr , Clara erhält Fr a) Baum mit zwei Pfaden: (1 Punkt) b) Baum mit 4 Pfaden (wenn man auf der ersten Stufe alle 4 Zahlen aufzeichnet: Boris hat also nicht recht. Da er gewinnt, wenn sie nicht gewinnt, sind beide Gewinnchancen ½ = 50%. Den Baum kann man auch mit zwei Pfaden erledigen, wenn man nur gerade und ungerade unterscheidet. (3 Punkte) 3 a) V=V(Quaders)+V(Prisma)=2a*1,5a*7a+0,5a*0,5a*2a=21a 3 +0,5 a 3 =21,5a 3 b) V=21,5*(6cm) 3 =4644 cm 3 4 a) Konstruktion von s 2 auf verschiedene Weisen möglich, z.b.: (3 Punkte) Spiegelung des Originals an s 1. Schnittpunkte des Zwischenbildes mit dem Bild sind die Fixpunkte der zweiten Spiegelung, müssen also auf s 2 liegen. Vorwissen: beide Spiegelachsen stehen senkrecht zueinander und verlaufen durch den Spiegelpunkt der direkten Punktspiegelung. Verbinden zweier korrespondierender Ecken von Original und Bild liefert als Schnittpunkt mit s 1 den Spiegelungspunkt direkt bestimmen. s 2 ist die Senkrechte zu s 1 durch den Spiegelungspunkt. b) Die beiden Spiegelungsachsen stehen senkrecht zueinander. (1 Punkt) 5 a) Punkte H( ) und E(66 13) richtig einzeichnen b) Hans schläft eher unterdurchschnittlich viel, sein Punkt liegt unter der 50% Kurve, wenn auch nicht massiv. Elvira hingegen schläft überdurchschnittlich viel. Ihr Punkt liegt über der obersten Kurve, so viel wie Elvira schlafen weniger als 3% der Kinder. c) Beispiel: 50% der Kinder schlafen mit 36 Monaten maximal 12 Stunden.

10 Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 2 Aufnahmeprüfung 2012 Mathematik Lösungen 3. Sek: - neues Lehrmittel TEIL 1 1) oder (1 Punkt für die richtige Lösung) 2) 525 (1 Punkt für die richtige Lösung) 3) Schenkel: 5.0 cm; Differenz: 0.5 cm (je 1 Punkt für jede richtige Lösung) 4) a = 3.5 oder (1.5 Punkte für die richtige Lösung; 1 Punkt, wenn eine Bruchzahl als Lösung angegeben wird, welche noch nicht vollständig gekürzt ist) 5) Nick: 800 Schritte; Andreas: 1200 Schritte (1 Punkt für die erste richtige Lösung; 0.5 Punkte für die zweite richtige Lösung) 6) Aussage b ist falsch 7) Radius: cm (oder 10.3 cm); Alter: 27 Jahre (je 1 Punkt für jede richtige Lösung; wenn die Gleichung zur Berechnung des Alters fehlerhaft aufgestellt wurde, werden 0.5 Punkte abgezogen) TEIL 2 1 a) In der Kasse verbleiben Fr b) Anna erhält Fr , Beata erhält Fr , Clara erhält Fr a) Baum mit zwei Pfaden: (1 Punkt) b) Baum mit 4 Pfaden (wenn man auf der ersten Stufe alle 4 Zahlen aufzeichnet: Boris hat also nicht recht. Da er gewinnt, wenn sie nicht gewinnt, sind beide Gewinnchancen ½ = 50%. Den Baum kann man auch mit zwei Pfaden erledigen, wenn man nur gerade und ungerade unterscheidet. (3 Punkte) 3 a) V=V(Quaders)+V(Prisma)=2a*1,5a*7a+0,5a*0,5a*2a=21a 3 +0,5 a 3 =21,5a 3 b) V=21,5*(6cm) 3 =4644 cm 3 4 a) Hypotenuse des ersten Dreiecks: = 5 (0.5 Punkte) Streckungsfaktor: k = 5 4 (0.5 Punkte) Hypotenuse des letzten Dreiecks: =15.26 (1 Punkt) b) Folgende Konstruktionsschritte müssen ersichtlich sein: (2 Punkte) Gerade h durch Z und M Senkrechte zu g durch M schneidet den Kreis auf der dem Punkt Z zugewandten Seite im Punkt A Gerade durch Z und A schneidet g im Punkt A Senkrechte zu g durch A schneidet h im Punkt M A M in den Zirkel nehmen und rund um M den Kreis abtragen 5 a) Punkte H( ) und E(66 13) richtig einzeichnen b) Hans schläft eher unterdurchschnittlich viel, sein Punkt liegt unter der 50% Kurve, wenn auch nicht massiv. Elvira hingegen schläft überdurchschnittlich viel. Ihr Punkt liegt über der obersten Kurve, so viel wie Elvira schlafen weniger als 3% der Kinder. c) Beispiel: 50% der Kinder schlafen mit 36 Monaten maximal 12 Stunden.