Prüfungsteil 2, Aufgabe 5 Analytische Geometrie

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Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 5 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 1 LK Aufgabe

SCHRITT: DEN RECHTEN WINKEL NACHWEISEN Ein Blick auf die Vektoren zeigt, dass die Vektoren und

Das heißt, wenn es einen rechten Winkel gibt, dann wird er von diesen beiden Vektoren gebildet.

1 Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 5 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 1 LK Aufgabe a (1) 1. SCHRITT: DIE VEKTOREN, UND BERECHNEN SCHRITT: DEN RECHTEN WINKEL NACHWEISEN Ein Blick auf die Vektoren zeigt, dass die Vektoren und gleich lang sind. Das heißt, wenn es einen rechten Winkel gibt, dann wird er von diesen beiden Vektoren gebildet. Es gilt, also stehen die Seiten [] und [] senkrecht aufeinander, d. h. das Dreieck hat bei A einen rechten Winkel. Aufgabe a () 1. SCHRITT: BILDPUNKTE BERECHNEN,6,8 3,6 3 1,8,8,6,8 3, ,8,4 1

2 ,6,8 1,6 1,8,,8,6,8 1,6,4 1 1,,4,6,8 5,6 5,8 4,6,8,6,8 5,6, ,6,8. SCHRITT: RECHTEN WINKEL SUCHEN Es ist, 1,8,4,4,4,8 und 4,6 1,8,8,8,4,4, also,4,8,8,4,4,8,8,4. Das Bilddreieck ist somit ebenfalls rechtwinklig mit rechtem Winkel bei. Bemerkung: Es kann im Allgemeinen passieren, dass das Bilddreieck zwar wieder rechtwinklig ist, der rechte Winkel aber an einer anderen Ecke liegt. Aufgabe a (3) Der Wert der Koordinate ist sowohl bei den Urpunkten als auch bei den Bildpunkten. Das heißt, beide Dreiecke liegen in der Ebene, die parallel zur Ebene verläuft. Aufgabe b 1. SCHRITT: ALLGEMEINEN PUNKT DER EBENE BESTIMMEN : Ein Punkt liegt genau dann auf, wenn gilt. Die Punkte dieser Ebene sind also diejenigen der Form für und.

3 . SCHRITT: BERECHNEN Es ist,6,8,6,8,8,6,8,6, 1 d. h. alle Punkte auf sind Fixpunkte der Abbildung. Aufgabe c (1) 1. SCHRITT: EIGENVEKTOREN ZUM EIGENWERT 1 FINDEN 1 ist genau dann ein Eigenwert von, wenn es einen Eigenvektor,6,8 gibt, so dass,8,6 1 gilt, d. h. die 1 Koordinaten erfüllen die Gleichungen,6,8 1,,8,6 1, und 1. I: 1,6,8 II:,8,4, wobei III automatisch erfüllt ist und I und II jeweils äquivalent zur Gleichung sind. Die Menge der Eigenvektoren von zum Eigenwert 1 ist 1 Eig. 1. SCHRITT: EIGENVEKTOREN ZUM EIGENWERT -1 FINDEN 1 ist genau dann ein Eigenwert von, wenn es einen Eigenvektor,6,8 gibt, so dass,8,6 1 gilt, d. h. 1 die Koordinaten erfüllen die Gleichungen,6,8,,8,6, und. 3

4 I:,4,8 II:,8 1,6, Aus III folgt, I und II sind jeweils äquivalent zu. Die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert 1 ist daher Eig 1. Aufgabe c () Wie oben bemerkt sind die Eigenvektoren von zum Eigenwert 1 die nicht trivialen Lösungen des Gleichungssystems I: 1,6,8 II:,8,4, wobei III automatisch erfüllt ist und I und II jeweils äquivalent zur Gleichung sind. Die Lösungen der Gleichung sind genau die Punkte von, also sin die Eigenvektoren von zum Eigenwert 1 genau die Ortsvektoren den Punkte auf, bis auf den Ursprung. Die Eigenvektoren von zum Eigenwert 1 sind die Vektoren der Form 1 mit. Da 1 ein Normalenvektor von ist (vgl. Koordinatengleichung von ), sind die Eigenvektoren von zum Eigenwert 1 die Ortsvektoren aller Punkte der Ursprungsgeraden senkrecht auf bis auf den Ursprung. Aufgabe d zu 1.: Sei die Ebene, für die die Abbildung f eine Spiegelungsvorschrift darstellt. Nach Aufgabe b) wird jeder Punkt der Ebene durch die Abbildung f auf sich selbst abgebildet. zu.: Der Punkt P mit den Koordinaten sei ein Punkt, der nicht Element von ist. Dann ist und,6,8,6,8,8,6,8,

5 ,6,8 1,6,8,8,6,8,4,8,4 1. Wegen ist,8,4, also und somit. Außerdem ist,8,4 1 1 von. Also steht senkrecht auf. zu 3.: parallel zum Normalenvektor ; ; gilt genau dann, wenn der Mittelpunkt M der Strecke auf liegt. Dabei ist ,6,8,,4,8,6,4,8,,4,4,8 Die Koordinaten von erfüllen die Gleichung für, denn,,4,4,8,4,8,4,8. Somit ist auch die 3. Bedingung erfüllt, d. h. ist eine Spiegelung an der Ebene. Aufgabe e Es sei eine Spiegelung an einer Ebene im, die den Ursprung enthält. Da den Ursprung enthält, hat eine Parametergleichung der Form :,,, denn man kann den Ursprung als Aufpunkt wählen. Für 1 ergibt sich, dass der Ortsvektor eines Punktes auf ist. Für 1 ergibt sich, dass der Ortsvektor eines Punktes auf ist. Da eine Ebene ist, sind und linear unabhängig. Da eine Spiegelung an einer Ebene ist, werden alle Punkte von durch auf sich selbst abgebildet, d. h. es gilt insbesondere und. Das bedeutet wiederum und. Somit sind und zwei linear unabhängige Eigenvektoren von zum Eigenwert

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