Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner SS 0 Blatt Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach Lösungsvorschlag a Die gegebene Matrix ( A ( R ist wegen ( ( A A ( 0 E 0 orthogonal und besitzt dabei die Gestalt der Spiegelungsmatrix ( cos ϕ sin ϕ S ϕ mit cos ϕ und sin ϕ Damit ist der Endomorphismus f : R R, f(x A x, eine Geradenspiegelung in (R, mit dem Eigenraum Eig(A; von A zum Eigenwert als Spiegelachse a; wegen ergibt sich A E b Die gegebene Spiegelachse besitzt die Lotgerade 9 ( I ( II a Eig(A; R b R v mit v ( ( b R v mit v II I ( ( ( 0 0 Für die Geradenspiegelung g : R R, g(x B x, an der Spiegelachse b gilt nun g(v v, also B v v, und g ( v v also B v v,

2 so daß sich und damit B (v, v ( B v, B v ( v, v B ( v, v (v, v ( ( ( ( ( R ergibt c Die Hintereinanderausführung g f : R R der beiden Endomorphismen g und f besitzt die Abbildungsmatrix ( ( ( ( 0 0 C B A 0 0 Damit stimmt C mit der Drehmatrix ( cos ϕ sin ϕ D ϕ sin ϕ cos ϕ für ϕ π überein; damit beschreibt g f eine Drehung um den Winkel ϕ π a Eine( orthogonale Abbildung f : R R mit f(v w bildet den zu v senkrechten Vektor 7 v ( 7 der Länge v ( 8 auf einen zu w senkrechten Vektor x (wegen der Winkeltreue der Länge x 6 (wegen der Längentreue ab; damit ist aber ( f(v ±w mit w 8 Für f l A mit f (v w und f (v w gilt und damit A (v, v (A v, A v (w, w ( ( 8 7 A (w, w (v, v 8 7 ( ( ( (

3 und für f l A mit f (v w und f (v w gilt A (v, v (A v, A v (w, w und damit ( ( 8 7 A (w, w (v, v 8 7 ( ( ( man sieht sofort, daß A und A orthogonale Matrizen und folglich f und f orthogonale Abbildungen sind Alternativ kann man auch die allgemeine Gestalt ( ( cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ D ϕ bzw S sin ϕ cos ϕ ϕ orthogonaler Matrizen ansetzen und ϕ R so bestimmen, daß D ϕ v w bzw S ϕ v w erfüllt ist Für D ϕ ergibt sich dabei ( ( ( cos ϕ sin ϕ 8, also sin ϕ cos ϕ 7 woraus man durch (I 7 (II sowie durch 7 (I + (II zusammen also 6 cos ϕ 9, also cos ϕ, 6 sin ϕ, also sin ϕ, ( ( cos ϕ sin ϕ A sin ϕ cos ϕ, erhält; für S ϕ ergibt sich dagegen ( ( ( cos ϕ sin ϕ 8, also 7 woraus man durch (I + 7 (II sowie durch 7 (I (II zusammen also 6 cos ϕ, also cos ϕ, 6 sin ϕ 60, also sin ϕ, ( ( cos ϕ sin ϕ A ; cos ϕ + 7 sin ϕ 8 sin ϕ 7 cos ϕ cos ϕ 7 sin ϕ 8 sin ϕ + 7 cos ϕ erhält; Man überprüft sofort, daß A und A orthogonale Matrizen und folglich f und f orthogonale Abbildungen sind, die v auf w abbilden,

4 b Wegen det(a ist f orientierungstreu; f bildet ja das Rechtssystem v, v auf das Rechtssystem w, w ab Die Abbildung f beschreibt eine Drehung um den Ursprung, wobei für den Drehwinkel ϕ gilt cos ϕ Wegen det(a ist f orientierungsumkehrend; f bildet ja das Rechtssystem v, v auf das Linkssystem w, w ab Die Abbildung f beschreibt eine Achsenspiegelung mit der Spiegelachse R a Eig(A ; ; wegen ist etwa a 8 A E ( 8 ( 6 I II ( II I ( 0 0 a Für alle λ R gilt χ S (λ det(s λ E 7 λ 7 λ 9 + λ 76 λ 6 λ (λ (λ + ; damit besitzt S die beiden Eigenwerte λ und λ Wegen ( ( ( 8 S λ E I 8 II+I 0 0 ( 6 II ist u R eine Basis des Eigenraums Eig(S; λ, und damit ( α sind die vom Nullvektor verschiedenen skalaren Vielfachen α u α von u mit α R\{0} genau die Eigenvektoren der Matrix S zum Eigenwert λ Des weiteren ist wegen ( 8 ( ( 6 S λ E I II I 0 0 ( u R eine Basis des Eigenraums Eig(S; λ, und damit ( β sind die vom Nullvektor verschiedenen skalaren Vielfachen β u β von u mit β R\{0} genau die Eigenvektoren der Matrix S zum Eigenwert λ b Die Matrix A S R ist wegen A A ( ( II ( ( 0 E 0 orthogonal und besitzt die Determinante det(a 7 7 (( 7 7 ( 6 6 6

5 Damit ist A S eine Spiegelungsmatrix in der orthogonalen Gruppe O (R und beschreibt damit die Achsenspiegelung am Eigenraum Eig(A; zum Eigenwert ; der Vektor u aus a ist wegen ( A u S u ( (S u a ( u u u ein Eigenvektor von A zum Eigenwert, und damit ergibt sich für die Spiegelungsachse a Eig(A; R u 6 Die gesuchte Abbildungsmatrix A R der linearen Abbildung ( ( x x f : R R, A, y y die die Spiegelung an der Geraden g mit der Gleichung x y 0 beschreibt, läßt sich auf verschiedenen Wegen ermitteln: Die gegebene ( Gerade g mit der Gleichung x y 0 besitzt ( den Normalenvektor ũ Der Lotfußpunkt p x 0 des Punktes p R y auf der Geraden g besitzt (als Punkt auf der Lotgeraden von p auf g die Gestalt ( x + λ p 0 p + λ ũ y λ mit einen geeigneten λ R, wobei sich wegen p 0 g dann (x + λ (y λ 0, also λ x y, und somit ( ( ( x + x y p 0 y ( x y x + y x + y ergibt; der Bildpunkt f(p des Punktes p unter der Spiegelung f an der Geraden g ist demnach f(p p + (p 0 p + (p }{{} 0 p p 0 p p 0 ( x + y x + y ( x y Für die Abbildungsmatrix A R von f ergibt sich wegen f(p x + y ( ( x + y x A p y demnach A R x + y x + y

6 Die gegebene ( Gerade g mit der Gleichung x y ( 0 besitzt den Richtungsvektor u sowie den Normalenvektor ũ Für die Spiegelung f an der Geraden g gilt nun f(u u und f (ũ ũ, so daß sich für die Abbildungsmatrix A R von f damit A u u und A ũ ũ ergibt; mit den Matrizen B ( u, ũ ( erhält man also und C ( u, ũ ( A B A (u, ũ ( A u, A ũ ( u, ũ C Wegen det(b 0 ist die Matrix B invertierbar, und für die gesuchte Abbildungsmatrix A erhält man A C B ( ( ( ( ( ( R Da die gegebene lineare Abbildung f : R R die Spiegelung an der Ursprungsgeraden g beschreibt, besitzt ihre Abbildungsmatrix A R die Gestalt einer Spiegelungsmatrix ( cos ϕ sin ϕ A S ϕ O (R mit einem geeigneten Parameter ϕ R Die Gerade ( g mit der Gleichung x y 0 besitzt nun den Richtungsvektor u, und für diesen gilt f(u u und damit ( ( ( cos ϕ sin ϕ A u u, also Für das resultierende lineare Gleichungssystem (in cos ϕ und sin ϕ (I cos ϕ + sin ϕ und (II sin ϕ cos ϕ ergibt sich über (I (II zum einen cos ϕ, also cos ϕ, und über (I + (II zum anderen sin ϕ, also sin ϕ, insgesamt also ( ( cos ϕ sin ϕ A R