Musterlösung für die Klausur vom 31. März. (a) Wir bestimmen zunächst einen Normalenvektor von E 1 :

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1 Musterlösung für die Klausur vom 3. März Aufgabe (a) Wir bestimmen zunächst einen Normalenvektor von E : AB AC 3 2 = 2 =. 2 2 Dieser ist der Richtungsvektor der gesuchten Geraden, also hat diese die Parameterdarstellung 2 + t. 2 2 (b) Wir verwenden die Hessesche Normalform. Dazu müssen wir den Normalenvektor in (a) normieren: (2,, 2) = = 3, somit ist der Einheitsnormalenvektor von E n = Die Hessesche Normalform ist dann x n = c, und der Wert von c ergibt sich durch Einsetzen eines der Punkte A, B oder C als c =. Daher lautet die Hessesche Normalform von E x n = oder 2 3 x 3 x x 3 =. Die Abstandsformel ergibt dann für den Abstand d von P zu E ( d = P n = ) 3 =. Die Gleichung von E 2 ist N 2 x = mit N 2 = (2, 2, ). Wiederum ist N 2 = = 3 und damit n2 = /3(2, 2, ). Also ist die Hessesche Normalform von E 2 x n 2 = 2 oder 3 3 x x x 3 = 3. Die Abstandsformel ergibt dann für den Abstand d 2 von P zu E 2 d 2 = P n 2 ( 2 3 = ) 3 3 = 3. (c) Es ist n n 2 = ( ) =, also stehen die Normalenvektoren und damit E und E 2 senkrecht aufeinander; der Winkel ist π/2 oder 9.

2 Aufgabe 2 (a) Als Basis kann man z.b. die Polynome P (x) :=, P (x) := x und P 2 (x) := x 2 verwenden. Offensichtlich ist jedes Polynom in V von der Form P = a 2 P 2 + a P + a P, somit spannen diese den ganzen Raum V auf. Ausserdem sind sie linear unabhängig: Falls a 2 P 2 + a P + a P das Nullpolynom ist, so heisst das a 2 x 2 + a x + a = für alle x R, und daraus folgt, dass a = a = a 2 =. Also ist (P, P, P 2 ) eine Basis von V, und damit ist dim V = 3. (b) Ist P (x) = a 2 x 2 + a x + a, so ist S(P )(x) = 2P (x) xp (x) = 2(a 2 x 2 + a x + a ) x(2a 2 x + a ) = a x + 2a. () Damit ist S(P ) = genau dann, wenn a x + 2a = für alle x R, und das passiert genau dann, wenn a = a =, d.h. falls P = a 2 P 2. Somit ist ker(s) = span(p 2 ). (c) Aus () ergibt sich: S(P 2 ) =, S(P ) = P, S(P ) = 2P. Daher ist die Matrixdarstellung von S bezüglich der Basis (P, P, P 2 ): 2, d.h. dies ist bereits eine Diagonalmatrix. Daher sind die Eigenwerte von S: mit Eigenvektor P 2, mit Eigenvektor P, 2 mit Eigenvektor P.

3 Aufgabe 3. Anwendung des Gauß-Algorithmus ergibt ( 3) + (+) + Wir erhalten Rang (A) = Die Menge Bild A ist die Menge aller Linearkombinationen der Spaltenvektoren von A, d.h. Bild A = span 3,, 3, 3. Für die Bestimmung der Basis von Bild A geben wir zwei Alternativen an. Möglichkeit : Wir wenden den Gauß-Algorithmus auf A an. Das haben wir bereits in Teilaufgabe a) gemacht. Es ergab sich A = =: Ã. Wir erkennen an der resultierenden Matrix à diejenigen Spaltenvektoren, bei denen sich eine neue Stufe ergibt. In diesem Fall sind das die ersten beiden Spaltenvektoren (,, ) und (,, ). Die Stufen haben wir dadurch kenntlich gemacht, indem wir die sogenannten Pivot-Elemente unterstrichen haben. Wir gucken uns die entsprechenden ursprünglichen Vektoren der Matrix A an, die an derselben Stelle stehen, wie die beiden Spaltenvektoren (,, ) und (,, ), bei denen eine neue Stufe beginnt. An der Position der Matrix A, an der bei à die erste Stufe beginnt, steht der Vektor (, 3, ). An der Position der Matrix A, an der bei à die zweite Stufe beginnt, ist der Vektor (,, ) zu finden. Somit bilden u =, u 2 = 3 eine Basis von Bild A.

4 Möglichkeit 2: Wir legen die Spaltenvektoren als Zeilen in eine Matrix und wenden den Gauß-Algorithmus an, d.h. wir wenden den Gauß-Algorithmus auf A an. Es ergibt sich ( ) ( ) ( ) + 3 Die beiden Vektoren (, 3, ) und (,, ) bilden die Basis von Bild A, d.h. die Basis lautet u = 3, u 2 =. Wegen u u 2 = bilden die Vektoren u und u 2 keine Orthonormalbasis. Wir wenden das Gram-Schmidt Verfahren auf u und u 2 an und vertauschen die Reihenfolge. Es ergibt sich. Setze v = u 2 =. 2. Setze 3. Wir berechnen v 2 = u u v v v v 3 = 3 = 3 = 3. w = w 2 = v v = v 2 v 2 = 3.

5 Eine Orthonormalbasis von Bild A ist durch die beiden Vektoren w und w 2 gegeben. 3. Wir bestimmen eine Basis der Menge Kern A = { x R 4 A x = }. Dazu berechnen wir zunächst die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems A x = mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Wir benutzen das Ergebnis aus Teilaufgabe a): (A ) = Damit sind x 3 = s und x 4 = t freie Variablen, und die beiden Gleichungen sind x 2 = x 4 = t, sowie x = x 3 x 4 = s t. Also lautet die Lösung s t x = t s = s + t, s, t R. t Gleichzeitig sichert der Gauß-Algorithmus die lineare Unabhängigkeit der Vektoren und, d.h. eine Basis von Kern A bilden die Vektoren u :=, u 2 :=..

6 Aufgabe 9 (a) Es ist e it = für alle t R, und daher ist a n = n 2 + 4n + 5 (n + ) 2 e i π n 2 = n2 ( + 4/n + 5/n 2 ) = }{{} n 2 ( + /n) 2 = + 4/n + 5/n2 ( + /n) ( + ) 2 =. Also ist lim a n =. be- (b) Da a n konvergent ist, ist a n auch beschränkt. Damit ist auch (a n ) n N schränkt. Oder man zeigt direkt: Nach der Rechnung in (a) gilt: a n = + 4/n + 5/n2 ( + /n) ( + ) 2 =, d.h. a n für alle n, und somit ist die Folge beschränkt. (c) Nach der Euler-Formel ist e i π 2 n = cos πn + i sin π n. Nun ist aber 2 2 cos πn = 2 falls n = 4k, falls n = 4k + 2, falls n ungerade. sin πn = 2 falls n = 4k +, falls n = 4k + 3, falls n gerade. Daher haben wir falls n = 4k, e i π 2 n i falls n = 4k +, = falls n = 4k + 2, i falls n = 4k + 3. Da wie oben berechnet gilt: lim n2 +4n+5 (n+) 2 Folge gegen, und somit ist =, konvergiert auch jede Teilfolge dieser lim a 4k =, lim a 4k+ = i, lim a 4k+2 =, lim a 4k+3 = i. Da diese vier konvergenten Teilfolgen alle Folgenglieder abdecken, kann es keine weiteren Häufungspunkte geben, somit sind die Häufungspunkte von (a n ) n N : ±, ±i.