a) b) Abb. 1: Buchstaben
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- Stanislaus Schmitt
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1 Hans Walser, [ ] Magische Quarate ungeraer Seitenlänge nregung: uler (1782) 1 Worum geht es? Zu einer gegebenen ungeraen Zahl u wir ein magisches Quarat mit er Seitenlänge u konstruiert. 2 as Vorgehen Wir illustrieren as Vorgehen exemplarisch für u = uchstaben Zunächst nehmen wir ie ersten u kleinen uchstaben es lphabets un markieren en uchstaben in er Mitte (bb. 1a). a b c e f g a) b) bb. 1: uchstaben nalog verfahren wir mit großen uchstaben (bb. 1b). 2.2 Im Quaratraster Im u u-quaratraster setzen wir in en elern er iagonalen von links oben nach rechts unten je en in er bbilung 1b rot markierten mittleren großen uchstaben ein (bb. 2).
2 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 2 / 20 bb. 2: iagonale im Quaratraster Wir ergänzen in jeer Zeile mit großen uchstaben in alphabetischer Reihenfolge von links nach rechts (bb. 3). Wenn wir beim letzten uchstaben er Liste er bbilung 1b angekommen sin, fahren wir mit weiter. Wenn wir am rechten Ran es Quaratrasters ankommen, fahren wir links mit em nächsten uchstaben weiter. bb. 3: lphabetische rgänzung er urch ie Startiagonale beingte Versatz hat zur olge, ass in jeer Zeile un in jeer Spalte jeer große uchstabe genau einmal vorkommt.
3 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 3 / 20 Nun setzen wir in er aneren iagonale (von rechts oben nach links unten) je en rot markierten mittleren kleinen uchstaben er bbilung 1a azu (bb. 4). bb. 4: Zweite iagonale Schließlich ergänzen wir ie kleinen uchstaben in jeer Spalte von oben nach unten in alphabetischer Reihenfolge (bb. 5). bb. 5: rgänzung mit kleinen uchstaben c b a g f e c b a g f e c b a g f e c b a g f e c b a g f e c b a g f e c b a g f e
4 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 4 / 20 Wir haben jetzt in jeer Spalte un in jeer Zeile jeen kleinen uchstaben genau ein Mal. 3 Zahlwerte Wir ornen en uchstaben Zahlen zu gemäß bbilung 6. en kleinen uchstaben ornen wir er Reihe nach ie Zahlen 0,..., u 1 zu, en großen uchstaben as u- fache avon. a b c e f g a) b) bb. 6: uchstaben un Zahlen Nun setzen wir in jeem el ie Summe er Zahlwerte es großen un es kleinen uchstabens gemäß en Tabellen er bbilung 6 ein. ür as el links oben haben wir zum eispiel + e = = 25. So erhalten wir ein magisches Quarat (bb. 7) bb. 7: Magisches Quarat 4 Warum funktioniert as? 4.1 Rechnerische Vorbereitungen Zum rot markierten kleinen uchstaben in er Mitte er bbilung 1a gehört er Wert u 1 2.
5 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 5 / 20 ie Summe s aller Werte er kleinen uchstaben er bbilung 1a ist: u 1 s = k = 1 ( 2 u 1)u = u2 u k=0 2 (1) ür unser eispiel u = 7 erhalten wir s = 21. as ist genau er rot unterlegte Wert in er bbilung 1b. Zum rot markierten großen uchstaben in er Mitte er bbilung 1b gehört er Wert u 1 2 u. ie Summe S er Werte er großen uchstaben er bbilung 1b ist: S = u 1 k=0 ku = 1 ( 2 u 1)u2 = u3 u 2 2 (2) ür unser eispiel u = 7 erhalten wir S = 147. Weiter können wir jee Zahl zwischen 0 un u 2 1 eineutig als Summe eines großen un eines kleinen Zahlwertes arstellen. eispiel: 37 = = + c. 4.2 lle Zahlen kommen vor uf run unserer Konstruktion kommt jee mögliche uchstabenkombination eines großen mit einem kleinen uchstaben genau einmal. Umgekehrt gehört zu jeer Zahl zwischen 0 un u 2 1 eine eineutig bestimmte uchstabenkombination. Wer lieber ie Zahlen 1 bis u 2 im magischen Quarat hat, kann einfach in jeem el eins azuzählen. llerings weren ann gewisse schöne igenschaften weniger gut sichtbar. 4.3 Zeilen- un Spaltensummen In jeer Zeile kommt jeer große un jeer kleine uchstabe genau einmal vor. Somit ist wegen (1) un (2) ie Zeilensumme Z gleich S + s, also konstant. s ist: Z = S + s = u3 u u2 u 2 = 1 2 ( u3 u) (3) Wir können as nachprüfen. ür ie Summe T aller Zahlen von 0 bis u 2 1 gilt: T = u 2 1 k=0 k = 1 2 ( u2 1)u 2 = 1 2 ( u4 u 2 ) (4) a wir u Zeilen haben, ist ie Zeilensumme Z:
6 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 6 / 20 Z = u 1 T = 1 2 ( u3 u) (5) ür ie Spaltensumme überlegen wir analog. ie Spaltensumme ist ebenfalls Z. 4.4 iagonalensummen In er iagonale von links oben nach rechts unten haben wir zwar ebenfalls alle kleinen uchstaben mit em esamtwert s. Hingegen kommt ausschließlich un amit u mal er mittlere große uchstabe er bbilung 1b vor. ieser hat en Wert u 1 u. a ieser Wert u mal vorkommt, haben wir in ieser iagonale für ie großen uchstaben en esamtwert: 2 u u 1 2 u = u3 u 2 = S (6) 2 Somit ist ie esamtsumme in ieser iagonale ebenfalls S + s = Z. In er iagonale von rechts oben nach links unten läuft es analog. Zunächst haben wir alle großen uchstaben mit em esamtwert S. Weiter kommt u mal ie mittlere Zahl in er bbilung 1a mit em Wert u 1 vor, also insgesamt: 2 u u 1 2 = 1 2 ( u2 u) = s (7) Wir haben also ebenfalls ie esamtsumme S + s = Z. 5 ormel Wir nummerieren ie Zeilen (bb. 5) von oben nach unten mit i = 1,..., u un ie Spalten von links nach recht mit j = 1,..., u. Wir suchen nach einer ormel für ie Zahl im el (i, j), geschrieben f i, j ( ). azu untersuchen wir zunächst ie Änerungen von f bei einem Zuwachs von i oer j um +1. ine Zuwachs von +1 bei j führt bei en großen uchstaben zum nächsten uchstaben im lphabet, also zu einem Zuwachs von +u für f, a ie Werte er großen uchstaben in Schritten von u zunehmen. ine usnahme ist ie Situation, wenn wir beim letzten uchstaben sin un zu zurückmüssen. Wir können as regeln, inem wir bei j moulo u arbeiten. ine Zuwachs von +1 bei i führt bei en großen uchstaben zum vorhergehenen uchstaben. Wenn wir schon bei, ergibt sich ein Sprung zum letzten uchstaben. uch as können wir regeln, inem wir bei i moulo u arbeiten. iese Zuwachsüberlegungen zeigen, ass er ie großen uchstaben betreffene Teil er gesuchten ormel aitiv ist un zwar von er orm
7 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 7 / 20 (( i + j + Justierung)mou)u (8) ist mit einer noch offenen Justierung. iese finen wir, inem wir für i un j ein spezielles Zahlenpaar, zum eispiel (1,1), einsetzen. amit finen wir für en ie großen uchstaben betreffenen Teil ie ormel: (( i + j + u 1 2 )mou)u (9) ei en kleinen uchstaben ist er Zuwachs in beien Richtungen positiv (i wächst nach unten!). amit erhalten wir zusammen mit er Justierung für iesen Teil: (( i + j + u 3 2 )mou) (10) Somit haben wir ie ormel: ( ) = i + j + u 1 f i, j Im olgenen eispiele. 6 eispiele (( 2 )mou)u + i + j + u 3 2 (( )mou) (11) s wir as magische Quarat un as zugehörige Histogramm angegeben. ie Histogramme sin mit em aktor 1 u unterhöht. 6.1 u = bb. 8a: u = 3
8 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 8 / 20 bb. 8b: Histogramm 6.2 u = bb. 9a: u = 5 bb. 9b: Histogramm
9 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 9 / u = bb. 10a: u = 7 bb. 10b: Histogramm
10 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 10 / u = bb. 11a: u = 9 bb. 11b: Histogramm
11 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 11 / u = bb. 12a: u = 11
12 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 12 / 20 bb. 12b: Histogramm
13 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 13 / u = bb. 13a: u = 13
14 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 14 / 20 bb. 13b: Histogramm 7 igenschaften 7.1 rithmetische olgen ie Null befinet sich immer in er linken Spalte in er Mitte. ie zugehörige Zeile besteht aus einer arithmetischen olge mit em Zuwachs u + 1. ie mittlere Spalte besteht in er Richtung von unten nach oben aus einer arithmetischen olge mit em Zuwachs u Zahl in er Mitte ie Zahl in er Mitte ist u2 1. ie Zeilen-, Spalten- un iagonalensumme ist as u- fache avon rgänzungssymmetrie Zwei Zahlen, ie punktsymmetrisch bezüglich er Zahl in er Mitte liegen, ergänzen sich auf as oppelte er Zahl in er Mitte. Wir können iese Symmetrie sichtbar machen, inem wir sämtliche Zahlen um ie Zahl in er Mitte absenken. ie Zeilen-, Spalten- un iagonalensummen weren ann null.
15 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 15 / 20 Im olgenen ie entsprechenen eispiele. ie Histogramme gehen jetzt auch nach unten bb. 14a: u = 3. Symmetrische Version bb. 14b: Histogramm bb. 15a: u = 5. Symmetrische Version bb. 15b: Histogramm
16 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 16 / bb. 16a: u = 7. Symmetrische Version bb. 16b: Histogramm
17 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 17 / bb. 17a: u = 9. Symmetrische Version bb. 17b: Histogramm
18 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 18 / bb. 18a: u = 11. Symmetrische Version bb. 18b: Histogramm
19 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 19 / bb. 19a: u = 13. Symmetrische Version
20 Hans Walser: Magische Quarate ungeraer Seitenlänge 20 / 20 bb. 19b: Histogramm ie symmetrischen Quarate haben links oben eine 1, links unten ie Seitenlänge u. Literatur uler, Leonhar (1782) : 530, Recherches sur une nouvelle espèce e quarrés magiques, Vlissingen Opera I 7, p
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