Fünfecksfaltungen Bauen von Dodekaedern

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1 Internat. Math. Nachrichten Nr. 205 (2007), ünfecksfaltungen auen von odekaedern Hans Humenberger und erthold Schuppar Universität Wien / Universität ortmund Zusammenfassung Wir gehen aus von einer altung, die aus einem Rechteck (bei uns ein IN 4-latt) ein ünfeck macht. Variiert man das usgangsrechteck, so bekommt man in gewissen ällen dabei ein regelmäßiges ünfeck. s zeigt sich, dass das dafür nötige Rechteck sehr nahe am IN -ormat liegt (bschnitte 1 4). Im bschnitt 5 geben wir eine dazu äquivalente altung an, die den Vorteil besitzt, dass die dabei entstehenden regelmäßigen ünfecke gut zum au eines odekaeders geeignet sind. es Weiteren wird eine auanleitung für einen odekaeder-lampenschirm aus Transparentpapier gegeben, in dessen Seitenflächen Sternfünfecke leuchten. 1 in fast regelmäßiges ünfeck usgehend von einem IN 4-latt kann man durch eine einfache altkonstruktion ein ünfeck herstellen, das optisch kaum von einem regelmäßigen zu unterscheiden ist, und zwar wie folgt: alte zwei diagonal gegenüberliegende cken aufeinander (bb. 1a). ei den weiteren bbildungen sind die unsichtbaren (hier gestrichelt gezeichneten) Kanten der besseren Übersichtlichkeit wegen nicht mehr eingezeichnet. as entstehende ünfeck ist achsensymmetrisch (warum?). Markiere die Symmetrieachse dieses ünfecks durch einen Knick (bb. 1a) und falte die beiden Hälften so, dass die kurzen Seiten des ünfecks genau auf diese chse zu liegen kommen (bb. 1b). Misst man die Seitenlängen nach, so zeigen sich Unterschiede von ca. 5 mm, selbst bei genauestem alten. (Symmetrisch zueinander liegende Seiten sind natürlich gleich lang, sodass sich die Unterschiede nur bei den nichtsymmetrischen Nachbarseiten messen lassen.) ISSN c 2007 Österr. Math. esellschaft

2 bb. 1a bb. 1b m l j = 4,094 cm k = 3,918 cm l = 3,918 cm Winkel(n,j) = 107,63 Winkel(j,k) = 107,63 Winkel(k,l) = 109,47 k m = 4,094 cm n = 3,918 cm n j j k = 1,045 bb. 2 uch eine Konstruktion mit einer S 1 weist deutlich nach, dass die Längenmaße zweier ungleicher Seiten sich um ca. 4,5% unterscheiden. llerdings wird deutlich, dass es offenbar drei gleich lange Seiten gibt, ebenso hat das ünfeck vier gleich große Winkel, der einzige usreißer ist der Winkel zwischen den Seiten k und l. lle fünf Winkel weichen nur geringfügig von 108 ab (bb. 2). ufgabe für Leserinnen und Leser: erechnen Sie die Seiten und die Winkel des ünfecks! (Hinweise: dies kann algebraisch oder trigonometrisch geschehen; beim IN 4-latt beträgt das Seitenverhältnis bekanntlich 2 : 1). 1 ynamische eometrie Software wie zum eispiel uklid-ynaeo, Sketchpad, eoebra, indarella, abri etc. Wir haben hier Sketchpad verwendet. naloges ginge aber auch mit jeder anderen S. 26

3 2 ndere Rechtecke, gleiche altung s stellt sich die rage: Welche ünfecke entstehen, wenn man die gleiche altkonstruktion mit anderen Rechtecken durchführt? ibt es vielleicht Rechtecke, die zu gleichseitigen ünfecken führen, oder zu gleichwinkligen, oder sogar zu regelmäßigen? ine S-Konstruktion mit variablem Seitenverhältnis für das usgangs-rechteck bringt erstes Licht ins unkel. (bb. 3 enthält zwei eispiele.) eobachtungen: 1. ie Seite ist immer gleich lang wie die beiden gegenüberliegenden Seiten H und. 2. er Winkel ist immer gleich groß wie der Winkel (und damit auch genauso groß wie die beiden dazu symmetrischen Winkel H und H). 3. s gibt ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und in diesem all stimmen sogar alle Winkel überein, sodass sich tatsächlich ein regelmäßiges ünfeck ergibt (bb. 4)! as Seitenverhältnis dieses Rechtecks beträgt laut S-Messung ungefähr 1, 376 : 1. nmerkung zu den obigen Messergebnissen von S-Systemen: Man kann die iguren nicht wirklich kontinuierlich verändern, sondern natürlich nur diskret, deshalb kann man mit einem variablen Rechteck auch keine exakte leichheit von Seiten oder Winkeln erreichen. as angegebene Seitenverhältnis von 1,376 wurde durch Interpolation ermittelt. Was für eine merkwürdige Zahl ist dieses Seitenverhältnis, und warum ergibt sich daraus ein regelmäßiges ünfeck? H H bb. 3a bb. 3b 27

4 H m m = 1,375 m H = 3,831 cm m H = 3,823 cm m = 108,017 m H = 107,933 bb. 4 ufgaben für die Leserinnen und Leser: eweisen Sie die obigen eobachtungen 1. und 2. vgl. auch [7, S. 70f]. Tipps: eachten Sie, dass laut Konstruktion die Winkelsymmetrale von ist (warum genau?). Nun kann man auf verschiedene rten weiterargumentieren: ist immer parallel zu (warum?); daraus ergibt sich zunächst = und damit auch = (bb. 5a). rrichten Sie die Senkrechte auf die iagonale in und schneiden Sie diese mit der erade ; der Schnittpunkt heiße K. as reieck K ist immer gleichschenklig (bb. 5b). ie Tatsache = K kann nun auf mehrere rten eingesehen werden: Strahlensatzfigur KL, Parallelogramm K,... ine weitere eobachtung: ie Höhen von und auf die egenseiten halbieren diese, und sie sind gleich lang wie die Höhe von auf, d.h. so lang wie L. 3 nalyse des Rechtecks, das zum regelmäßigen ünfeck führt Wir wollen erreichen, dass H = 108 ist. er Winkel wird von der iagonale halbiert (Symmetrie), daher ist = 54. Somit beträgt das Seitenverhältnis des Rechtecks : = tan(54 ) = 1, iese rage ist also grundsätzlich geklärt wünschenswert wäre noch eine schönere arstellung, etwa als algebraischer usdruck (siehe bschnitt 4). Weiterhin folgt = 36. ist die Winkelsymmetrale von, also ist = = 18, somit = 72 und = 108. Wir haben in bschnitt 2 schon gesehen, dass allgemein die ünfeckswinkel bei,, und H gleich groß sind. amit beträgt jeder Winkel im ünfeck 108 (bb. 6). 28

5 bb. 5a H L K bb. 5b ür die Seiten des ünfecks reicht es zu zeigen, dass = ist (wegen der Symmetrie und wegen eobachtung 1. aus bschnitt 2). Nach Konstruktion ist die Streckensymmetrale von, also ist das reieck gleichschenklig. ie asiswinkel betragen 18 (s.o.); daraus folgt: = = = 36 = = = 36. Somit ist das reieck ebenfalls gleichschenklig, und daraus folgt die ehauptung. ie orm dieses Rechtecks weicht in der Tat nicht sehr stark vom IN -ormat ab (dessen Seitenverhältnis ist 1, ); geht man von der reite des IN 4- lattes aus (diese beträgt ca. 210 mm), dann ergibt sich die Länge unseres Rechtecks zu ca. 1, mm = 289 mm, und das sind nur 8 mm weniger als die Länge des IN 4-lattes! Schneidet man also vom IN 4-latt an einer Schmalseite einen 8 mm breiten Streifen ab, so kann man mit dem Rest-Rechteck ein ziemlich genaues regelmäßiges ünfeck falten. 29

6 H H bb. 6 K M L N J bb. 7 4 er oldene Schnitt und andere Verhältnisse in der altfigur Oberflächlich betrachtet kann man auf den Linien der altfigur keinen oldenen Schnitt entdecken, auch keine Konstellation, die an die Standard- oder an andere geläufige Konstruktionen des oldenen Schnitts erinnert. ei genauerem Hinschauen entdeckt man jedoch wegen der typischen Winkel von 36, 72 und 108 eine ülle von (spitzen und stumpfen) oldenen reiecken, ebenso andere typische Streckenverhältnisse, unter anderem eine einfache arstellung für das Seitenverhältnis tan (54 ) des usgangsrechtecks. eispielsweise ist das reieck gleichschenklig mit asiswinkeln von 72, also ein spitzes oldenes reieck mit der ünfeckseite s als asis, und der Schenkel 30

7 ist gleich lang wie die ünfeckdiagonale d. wird also von im oldenen Schnitt geteilt. benso ist leicht zu sehen, dass K gleichschenklig ist und somit K von im oldenen Schnitt geteilt wird. Manchmal sind weitere Hilfslinien hinzuzufügen, z.. ist K gleichschenklig mit asiswinkeln von 36, also ein stumpfes oldenes reieck, und somit steht die iagonalenlänge zu K (bzw. K ) im Verhältnis des oldenen Schnitts. ie Leserinnen und Leser sind eingeladen bzw. aufgefordert, in bb. 7 weitere Paare von Streckenlängen zu finden, die im Verhältnis des oldenen Schnitts zueinander stehen! Nun zu einem algebraischen usdruck für tan(54 ): reiecke mit 54 -Winkeln gibt es in der igur reichlich, z.. LM und N. us dem ersten ergibt sich 1 2 cos(54 ) = L M = s/2, r s wobei r = M der Umkreisradius des ünfecks ist. ekanntlich gilt: r = us dem zweiten reieck erhält man sin(54 ) = N = d/2 = tan(54 ) = sin(54 ) s cos(54 ) = d/s s/r = = = Regelmäßige ünfecke zum au eines odekaeders as konkrete auen und asteln von Objekten kommt im Mathematikunterricht i.. ohnehin immer zu kurz (von der rundschule bis zum Studium). Im olgenden möchten wir zwei Möglichkeiten kurz darstellen, mit ganz wenig Material und ufwand jeweils ein schönes und ansprechendes Objekt zu basteln. odekaeder: Wenn man von einem Rechteck ausgeht, das iagonalwinkel von 54 bzw. 36 hat (siehe oben: von der längeren Seite eines IN 4-latts ca. 8 mm bei einem 5-latt nur ca. 5,5 mm abschneiden), so kann man durch eine andere altung 2 ein ünfeck falten, das zum au eines odekaeders besser geeignet ist: es hat nämlich stabile Taschen, in die die Ohren von Nachbarfünfecken 2 iese ist übrigens äquivalent zur obigen: d.h. sie liefert ein zum obigen ähnliches ünfeck, auch bei anderen iagonalwinkeln; dies kann man z.. dadurch sehen, dass man im ünfeck von bb. 1a in den Punkten P und Q im rechten Winkel zu a ein reieck abzeichnet bzw. abschneidet. Vom Restfünfeck mit 2 rechten Winkeln kann man relativ leicht zeigen, dass es ähnlich zu jenem von bb. 12 ist. ie zugehörige detaillierte egründung sei den Leserinnen und Lesern überlassen. 31

8 bb. 8 bb. 9 bb. 10 gesteckt werden können vgl. auch [2, S. 80f] 3, [4, S. 53f] oder [5, S. 46, 50f, 87]. 4 Man beginnt mit der altung des Mittelkreuzes (bb. 8) und faltet nun jede cke (im oder gegen den Uhrzeigersinn) zum Mittelpunkt (bb. 9: eginn etwa links unten, gegen den Uhrzeigersinn weiter; die cken bleiben beim Mittelpunkt, sie werden nach dem ntstehen der altlinie nicht wieder zurückgefaltet). s entsteht dabei eine igur mit Symmetrieachse a (bb. 10). Nun kann die igur noch an a zusammengeklappt werden: abei kann der abgefaltete Teil der rechts unten liegenden cke hinter jenen der links oben liegenden gegeben werden, sodass die beiden Klapphälften etwas ineinander verkeilt sind, was die zusammengeklappte igur relativ stabil macht (bb. 11, 12) und Taschen entstehen lässt siehe unten. Schließlich werden die beiden Punkte und so auf die Mittellinie m gefaltet, dass die dabei entstehenden Kanten P bzw. P parallel zur rundlinie a sind (bb. 13). iese altung ist anders als die vorherigen: sie kann nicht ganz genau vorgenommen werden, sondern muss nach gutem ugenmaß für Parallelität erfolgen. abei entsteht ein regelmäßiges ünfeck mit Taschen entlang QP und QP und zwei Ohren (wenn die letzten beiden altungen wieder teilweise zurückgenommen werden). aut man davon 12 xemplare, so kann man daraus ein sehr stabiles odekaeder bauen, indem man diese 12 ünfecke zusammensteckt: dabei werden die Ohren immer geeignet in Taschen von Nachbarfünfecken gesteckt. llein darin kann eine reizvolle ufgabe für Schülerinnen und Schüler bestehen, nämlich herauszufinden und zu beschreiben, wie man hier vorgehen kann. Was 3 In [4, S. 54] wird geschrieben, dass die Idee von dort stamme. In [5, S. 46] heißt es aber, dass die rundidee von [3, S ] käme. Wo diese Idee wirklich zum ersten Mal auftauchte, entzieht sich (offenbar nicht nur) unserer Kenntnis. 4 ort findet sich auf S ein zugehöriges rbeitsblatt, das auch mit einigen didaktischen Kommentaren versehen ist z.. nregungen für ruppenarbeiten im Unterricht. 32

9 bb. 11 bb. 13 bb. 12 sollte man beachten? Kann man dabei etwas falsch machen? Wenn ja, was? emerkungen. Wenn man bei den 12 lättern verschiedene Papierfarben nimmt, entsteht ein farblich besonders ansprechendes odekaeder. ine egründung, dass bei dieser altung (ausgehend von einem Rechteck mit iagonalwinkeln von 54 und 36 ) wirklich ein regelmäßiges ünfeck entsteht, findet sich z.. in [5, S. 87]. Lampenschirm: ine andere spannende Möglichkeit, mit ünfecken zu basteln, wird z.. in [8, S. 283f] oder in einem Schweizer Schulbuch [1, S. 44f] für die 5. Schulstufe dargestellt: us Transparentpapier wird ein Lampenschirm aus 10 ünfecken (keine rund- und eckfläche!) hergestellt, in denen jeweils das innere Sternfünfeck jeder läche nur einfach belegt ist, der Rest doppelt (bb. 14). aher leuchten diese Sterne, wenn man eine Lampe hineinstellt, heller als ihre Umgebung eine nette Idee insbesondere zu Weihnachten! ie entscheidende Idee besteht darin, die Seitenmittelpunkte der au-ünfecke einzuzeichnen und bb. 14 bb

10 bb. 16 zwei benachbarte au-ünfecke jeweils mit 2 Seitenmittelpunkten übereinanderzulegen und zusammenzukleben (bb. 15). ie gestrichelten ünfecke in bb. 15 entsprechen dem ünfeck in bb h. die Seitenmittelpunktfünfecke der ursprünglichen au-ünfecke (Rohmaterial) sind die Seitenflächen des entstehenden odekaeders (warum ergeben sich im Inneren genau diese Sternfünfecke?). as Resultat sieht aus wie in bb. 16. Literatur 1. ffolter, W., u.a. (2005): as Zahlenbuch 5. Klett und almer & o. Verlag, Zug. 2. rill,. (1996): rillant Origami. ollection of Original esigns. Japan Publ. Tokyo, New York. 3. Kkenneway,. (1992): Origami komplett. ugustus, ugsburg. 4. Lörcher,.. (1999): Platonische Körper falten. In: er Mathematikunterricht 45 (1999), 3, Lörcher,.. und H. Rümmele (1995): Körper falten. R Hauptstelle ssen, Reihe: Handlungsorientierte eometrie, Heft Maier, P. H. (2003): Körper und Raum die dritte imension: in Lehrbuch der Polyedergeometrie und eine Klassifikation konvexer Polyeder. ranzbecker, Hildesheim. 7. Walser, H. (1993): er oldene Schnitt. Teubner, Leipzig. 8. Wittmann,.-h. (1987): lementargeometrie und Wirklichkeit. Vieweg, raunschweig/wiesbaden. nschrift der Verfasser: Hans Humenberger, akultät für Mathematik der Universität Wien, Nordbergstraße 15, 1090 Wien. Hans.Humenberger@univie.ac.at erthold Schuppar, IM, Mathematik der Universität ortmund, ortmund. erthold.schuppar@math.uni-dortmund.de 34