Einführung in die Mechanik Teil 4: Kinematik (4)

Transkript

1 SERVICE NEWSLEER Ausgabe: / 5 Im letzten eil er Serie wure bereits ie Bereitstellung von Verzerrungstensoren angekünigt. Wie as Wort bereits impliziert muss ein Maß gefunen weren, as ie Deformation es Kontinuums beschreibt. Dies klingt zunächst zwar trivial, beinhaltet aber z.b. auch ie Forerung, ass ein solches Maß keine Starrkörperanteile beinhalten arf. Was ies genau beeutet weren wir im Laufe er Serie noch kennen lernen. Betrachten wir ie Linienelemente in er Referenz- un Momentankonfiguration: Für iese gilt: x F un F

2 SERVICE NEWSLEER Ausgabe: / 5 Eine Deformation beinhaltet Anteile: Eine Streckung es Linienelementes un eine mögliche Winkelänerung zwischen en Linienelementen. Für beies beinhaltet as Skalarproukt er Linienelemente entsprechene Informationen: x ( ) cos, Nun weren ie zuvor efinierten Abbilungsgleichungen für beie Linienelemente eingesetzt: F F C Hierzu rei Anmerkungen: C F. Cist ein weiterer, funamentaler ensor in er Kontinuumsmechanik. Er heißt rechter Cauchy-Green ensor. Rechts eshalb, weil F rechts von F steht.. Um as Skalarproukt bilen zu können schreibt man: F x F F F Dabei gilt für ie ransposition eines Vektors schlicht: X [ ] Das ranspositionssymbol wir abei meist weggelassen.. Der rechte Cauchy-Green ensor hat als Bezug ie Referenzkonfiguration. Dies erkennt man aran, ass ieser mit en Linienelementen er Referenzkonfiguration multipliziert wir. 5

3 SERVICE NEWSLEER Ausgabe: / 5 Genau so kann natürlich as Skalarproukt er Linienelemente in er Referenzkonfiguration urch ie Linienelemente in er Momentankonfiguration ausgerückt weren: F un Bevor wir nun fortfahren rei Rechenregeln zur ensorrechnung:... ( A ) ( A ) ( AB) B A ( AB) B A A F In Worten: Die Reihenfolge Inversenbilung ransposition ist vertauschbar. Deshalb auch ie abkürzene Schreibweise (-). Die Inverse (ransposition) eines ensorprouktes erhält man urch Invertierung (ransposition) er einzelnen ensoren un Vertauschen er Reihenfolge. Mit iesem Rüstzeug erhalten wir: X ( ) cos, b F F F F b b FF b ist ein weiterer wichtiger ensor in er Kontinuumsmechanik. Er heißt linker Cauchy-Green ensor. Richtig: F steht nun auf er linken Seite! 6

4 SERVICE NEWSLEER Ausgabe: / 5 Nun aber genug er Vorarbeit. Wir kommen zurück zum eigentlichen Vorhaben: Der Definition von Verzerrungen. Wie wir schon festgestellt hatten eignet sich as Skalarproukt hierfür. Um nun ie Deformation zu beschreiben, bilen wir einfach ie Differenz er Skalarproukte: : E E ( F F ) ( C ) E efiniert en sog. Green-Lagrangeschen Verzerrungs-tensor. Er ist, wie C, auf ie Referenzkonfiguration bezogen (Multiplikation mit en Linienelementen er Referenzkonfiguration). Bevor wir nun fortfahren anere Größen einzuführen, wollen wir uns E noch etwas näher anschauen un versuchen Ihn zu euten:. Die linke Seite in obiger Gleichung ist ann nichts aneres als ie Differenz er Beträge (quariert) es Linienelementes (Skalarproukt!). Damit gilt: s s ( s ) ; E ( λ ) E N EN λs/ ist abei ie sog. Streckung un gibt as Verhältnis er Länge von Linienelementen vor un nach er Definition an. Man erhält iese nach obiger Gleichung urch Multiplikation mit er normierten, beliebigen Richtung N ( N ) un em Verzerrungstensor.

5 Ausgabe: / 5 SERVICE NEWSLEER 8 Beispiel: Wir verwenen as Beispiel aus eil :,5,5 F ( ) [ ]!!!!!!!,5,5,5, ,5,5,5,5 ; EN N E x X F x N N X λ λ Als Linienelement verwenen wir ie X -Richtung:

6 SERVICE NEWSLEER Ausgabe: / 5 Nun soll noch untersucht weren, welches Verzerrungsmaß sich unter er Annahme kleiner Dehnungen (also s -> ) ergibt. Dafür wir ie linke Seite er Definition etwas umgeschrieben: s ( s )( s ) ( s ) ( s ) + Hier wure ie Approximation s verwenet. Der Ausruck ganz rechts ist nicht aneres als ie bekannte Ingenieurehnung l/l. D.h. ie Green-Lagrangeschen Verzerrungen gehen bei kleinen Deformationen in ie Ingenieurehnungen über. Das ist im Übrigen eine wesentliche Voraussetzung für ie Definition von Verzerrungsmaßen! Nachem wir nun ie Steckungen näher untersucht haben, weren wir im nächsten eil er Serie noch ie Gleitungen betrachten. Außerem ist es für eine weitergehene Betrachtung notwenig, ensoren in Ihren Hauptachsen arzustellen. Dem gemäß wir iese Art er ransformation im nächsten eil en Schwerpunkt bilen. (AF) 9