A. Zentrale Grundlagen

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1 Differentialrechnung 1 Differentialrechnung A. Zentrale Grunlagen Die RC-Theorie beruht in weiten Teilen auf Anwenungen er Infinitesimalrechnung, weshalb funamentale Kenntnisse er Konzepte un Regeln er Differentialrechnung unverzichtbar sin. A1. Veränerungen, Veränerungsraten un Ableitungen Wenn eine metrisch skalierte Variable y von einer aneren metrischen Größe x abhängt, wir ies typischerweise urch eine reellwertige Funktion y = f(x) ausgerückt. Mit kann man eine Veränerung von x notieren. Beispielsweise bezeichnet = x 1 x 0 ie Differenz zwischen en aufeinanerfolgenen Werten x 0 un x 1. Eine Veränerungsrate ist as Verhältnis von zwei Veränerungen: y f(x + ) f(x) =. Sie rückt aus, wie sich y änert, wenn sich x veränert. Die Veränerungsrate von y bezüglich x ist bei linearen Funktionen eine Konstante un bei nichtlinearen Funktionen von x abhängig. Unterstellt man stetige Differenzierbarkeit er Funktion y = f(x), ann ergibt sich ihre Ableitung urch x f(x) = lim 0 f(x + ) f(x). Die Ableitung ist somit er Grenzwert er Veränerungsrate von y bezüglich x, wenn ie Veränerung von x gegen Null geht. Sie rückt aus, wie sich y änert, wenn x nur ganz wenig variiert. Die Ableitung wir auch urch ie alternativen Schreibweisen f (x) = y/x = f(x)/x repräsentiert. Man kann en Ableitungsbegriff auch wie folgt einführen: Ist eine Funktion y = f(x) stetig ifferenzierbar, so existiert er Grenzwert y = lim h 0 f(x + h) f(x) h un amit ihre erste Ableitung (ausgerückt in folgenen gebräuchlichen Schreibweisen): y = f (x) = y x = x f(x). Die erste Ableitung gibt an, wie sich ie Steigung er Tangente an ie Funktion y = f(x) änert (.h. f (x 0 ) ist ie Steigung er Tangente am Punkt (x 0, f(x 0 ))). Ist f stetig ifferenzierbar un gilt y = f (x) > 0 für alle x, ann ist f streng monoton steigen; gilt bei stetiger Differenzierbarkeit von f agegen y = f (x) < 0, ann ist f streng monoton fallen. Ist ie erste Ableitung y = f (x) stetig ifferenzierbar, so lässt sich ie zweite Ableitung bestimmen: y = f (x) = 2 y x 2 = 2 x 2 f(x). Sie gibt an, wie sich ie Steigung er Tangente an ie erste Ableitung er Funktion y = f(x) veränert.

2 2 Mathematischer Anhang Die Vorzeichen von erster un zweiter Ableitung informieren über en Verlauf einer stetig ifferenzierbaren Funktion y = f(x). So ist z.b. eine Funktion mit positiver erster Ableitung un negativer zweiter Ableitung über en gesamten Definitionsbereich strikt oer streng konkav (z.b. y = f(x) = ln x mit x > 1). Dagegen ist eine Funktion mit negativer erster Ableitung un positiver zweiter Ableitung ber en ganzen Definitionsbereich strikt oer streng konvex (z.b. y = f(x) = 1/x mit x > 0). Konkavität (Konvexität) einer Funktion f(x) beeutet somit, ass ihr Graph eine nach oben (unten) gekrümmte Kurve ist. Falls f (x) < 0 (f (x) > 0) für alle x gilt, so ist f eine strikt oer streng konkave (konvexe) Funktion. A2. Ableitungsregeln Um eine Ableitung zu bestimmen, sin bestimmte Regeln einzuhalten: Potenzregel: Bei gegebenen Konstanten a un b sowie festem Exponenten c ergibt sich für ie Funktion y = a + bx c ie Ableitung y = bcx c 1. Aitionsregel: Bei aitiv verknüpften Funktionen (.h. y = f(x)±g(x)) ist ie Ableitung ie Summe oer Differenz ihrer Ableitungen. Also: y = (f ± g) = f ± g. Prouktregel: Die Ableitung von y = f(x)g(x) ergibt sich urch y = (fg) = f g + fg. Quotientenregel: Bei Funktionen es Typs y = f(x)/g(x) erhält man ie Ableitung urch y = (f/g) = (gf fg )/g 2, falls g 0 ist. Kettenregel: Bei ineinaner verschachtelten Funktionen y = f(g(x)) ergibt sich ie Ableitung urch as Proukt er Ableitung er äusseren Funktion mit er Ableitung er inneren Funktion: y = (f/g) (g/x). Wichtig sin überies folgene Ableitungen: x ef(x) f(x) f = e x un 1 ln f(x) = x f(x) f x = ϱ f (x), wobei ϱ f (x) ie relative Veränerungsrate un ln en natürlichen Logarithmus mit Basis e = 2, bezeichnet. B. Weitere Konzepte Für weiterführene Analysen sin entsprechene Konzepte wesentlich. Dabei geht es einerseits um Interpretationen un anererseits um Verfahren zur Untersuchung von Abhängigkeitsstrukturen, ie weniger überschaubar sin. Zunächst erfolgt jeoch ein Vergleich von Größen, ie auf Ableitungen un Duchschnitten beruhen. B1. Durchschnitts- un Marginalkonzepte Eine Funktion y = f(x) rückt ie Abhängigkeit er Größe y von er Größe x aus. Der Durchschnitt ergibt sich urch f(x)/x un gibt an, wie sich y im Mittel auf ie Werte von x verteilt. Beispielsweise entsprechen ie Durchschnittskosten em Verhältnis er Gesamtkosten zur Herstellungsmenge un sie messen, was eine Einheit er Prouktionsmenge im Mittel kostet.

3 Differentialrechnung 3 Ist für ie Funktion y = f(x) stetige Differenzierbarkeit voraussetzbar, so kann man ie Ableitung f (x) bestimmen. Marginale Größen korresponieren mit Ableitungen, weil sie ie nerung von y an er Grenze (.h. für sehr kleine nerungen von x) betreffen. Beispielsweise messen ie Grenzkosten (oer marginalen Kosten) bei einer bestimmten Prouktionsmenge ie Kostenänerung, ie sich ergibt, wenn ie Herstellungsmenge vom erzeit betrachteten Niveau um eine weitere Einheit steigt. Das Marginalprinzip verweist auf en Grunsatz, sich im Zusammenhang mit Entscheiungen im Wirtschaftsleben nicht an Durchschnittswerten, sonern an marginalen Größen (z.b. Grenzerlös, Grenzumsatz, Grenzsteuersatz) zu orientieren. Ein Hintergrun abei ist, ass weniger ie Vergangenheit als vielmehr as Neue (z.b. Effekte er Prouktionsausweitung) interessiert. Dennoch sin marginale un urchschnittliche Größen verknüpft, weil folgene Beziehung für x > 0 existiert: x ( ) f(x) x > 0 f f(x) (x) > < < x. Erhöht (verminert) sich er Durchschnittswert bei einer sehr kleinen Zunahme von x, ann übersteigt (unterschreitet) ie marginale Größe ie urchschnittliche Größe un umgekehrt. B2. Veränerungsraten un Elastizitäten Ableitungen von y = f(x) sin zumeist wieerum Funktionen von x. Sie erlauben ie Bestimmung von Veränerungsraten an Punkten. Wir y = f (x), ie erste Ableitung von y = f(x), an er Stelle x 0 bewertet, so erhält man aurch ie (sofortige) Veränerungsrate von f an ieser Stelle. Wir ie zweite Ableitung y = f (x) an er Stelle x 0 bewertet, ann erhält man ie Veränerungsrate er Veränerungsrate er ursprünglichen Funktion an ieser Stelle. Im Regelfall interessiert nicht nur ie sofortige Veränerungsrate un ihre Veränerung. Üblicherweise ist ie relative oer proportionale Veränerungsrate an bestimmten Punkten interessant. Letztere erhält man urch ie Funktion ϱ f (x) = f (x) f(x) = 1 f(x) also er logarithmischen Ableitung, nach einer Bewertung an en relevanten Stellen (z.b. Mittelwert). Die relative oer proportionale Ver nerungsrate von f an er festgelegten Stelle x 0 ist also urch en Bruch f (x 0 )/f(x 0 ) bestimmt. Ist ie Zeit t abei ie unabhängige Variable (.h. x = t un aher y = f(t)), ann gibt ϱ f (t) näherungsweise ie prozentuale Änerung von f(t) pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt t an. Will man generell eine imensionslose Größe für ie relative Veränerung verwenen, so ist ie (Punkt-)Elastizität zu bestimmen. Die (Punkt-)Elastizität von f ist eine Funktion von x un kann mit ε f (x) notiert weren. Sie ergibt sich urch ε f (x) = x ϱ f (x) = x f (x) f(x) = f x, x f f(x) x un informiert näherungsweise über ie prozentuale Reaktion von f auf eine einprozentige Änerung von x. Bewertet man also ε f (x) an er festgelegten Stelle x 0, so erhält man ie Elastizität oer prozentuale Reaktion von y auf eine einprozentige Änerung von x beim Ausgangswert x 0. Für Elastizitätsfunktionen gelten folgene Rechenregeln:

4 4 Mathematischer Anhang Elastizität es Proukts zweier Funktionen: ε (f g) (x) = ε f (x) + ε g (x) Elastizität es Bruches zweier Funktionen: ε (f/g) (x) = ε f (x) ε g (x) Elastizität er Summe/Differenz zweier Funktionen: ε (f±g) (x) = (f(x)ε f (x) ± g(x)ε g (x))/(f(x) ± g(x)) Daneben ist zu bemerken, ass für ie Elastizität einer Konstanten stets ε konst. (x) = 0 gilt, aber ie Elastizität es Proukts einer Konstanten mit einer Funktion urch ε (konst. f) (x) = ε f (x) bestimmt ist. Zuem hat ie Potenzfunktion y = x a eine konstante Elastizität ε f (x) = a un ie Exponentialfunktion y = e x geht immer mit er Elastizitätsfunktion ε f (x) = x einher. Dies reflektiert, ass ie Elastizität als logarithmische Ableitung efiniert ist. B3. Partielle Ableitungen Angenommen sei eine hinreichen oft stetig ifferenzierbare reellwertige Funktion y = f(x 1, x 2,, x i,, x n ). Die partielle Ableitung von y bezüglich einer bestimmten unabhängigen Variablen x i wir geschrieben als = f = x i x i x i f(x 1, x 2,, x i,, x n ). Sie ist ie Ableitung von f(x 1, x 2,,, x i,, x n ) nach x i unter er Annahme, ass alle aneren unabhängigen Variablen (also x j für alle j i) konstant sin. Ansonsten gelten bei er Differentiation un Interpretation ie obigen Regeln un Aussagen. Beispielsweise hat ie Funktion y = f(x 1, x 2 ) = ax bx 3 2 ie partiellen Ableitungen x 1 = 2ax 1, x 2 = 3bx 2 2. Eine partielle Ableitung informiert über ie Steigung er Tangentialhyperebene an ie Funktion f(x 1, x 2,, x i,, x n ) in er Richtung von x i. Die zweiten partiellen Ableitungen 2 y x 2 i = 2 f x 2 i = 2 x 2 f(x 1, x 2,, x i,, x n ), i ergeben sich urch partielles Differenzieren er ersten partiellen Ableitungen. Im Beispiel: 2 y x 2 1 = 2a, 2 y x 2 2 = 6bx 2. Bei einer Funktion mit mehreren Argumenten bestimmen ie jeweiligen partiellen logarithmischen Ableitungen etwaige Elastizitäten. B4. Totale Ableitungen un Differentiale Totale Ableitung un totales Differential, totales Differential zweiter Ornung, Definitheit; aneben sin ie Beingungen für strikt konkave (konvexe) un quasi-konkave (quasikonvexe) Funktionen mit mehr als einem Argeument anzugeben (siehe auch Kapitel 4)

5 Differentialrechnung 5 C. Optimierungsverfahren Die RC-Theorie beruht bekanntlich auf er Iee er Optimierung, wobei man statische un ynamische Verfahren mit un ohne Nebenbeingungen unterscheien kann. Nach einem Blick auf ie statische Optimierung ohne Restriktionen wir hier insbesonere ie statische Optimierung mit Nebenbeingungen in Gleichungsform (Lagrange-Verfahren) un Restriktionen in Ungleichungsform (Kuhn-Tucker-Verfahren) besprochen. Anere Verfahren weren ausführlich von z.b. Chiang (1992) un Intriligator (1971) vorgestellt. C1. Einfache statische Optimierung Im einfachsten Fall er Optimierung ohne Nebenbeingung ist eine hinreichen oft stetig ifferenzierbare Funktion y = f(x 1, x 2,, x i,, x n ) gegeben, ie zu minimieren oer maximieren ist. An er Stelle eines lokalen Minimums oer Maximums verschwinet ie Steigung er Tangentialhyperebene in allen Richtungen. Dies beeutet, ass ie ersten partiellen Ableitungen nach jeer unabhängigen Variablen an er Stelle es Optimums jeweils 0 sein müssen (Extremwertbeingungen 1.Ornung). Für ie Bestimmung eines Extremums sin aher alle ersten partiellen Ableitungen zu bestimmen un gleich Null zu setzen. Auflösen es entsprechenen simultanen Gleichungssystems ergibt ie optimalen Werte er unabhängigen Variablen. Danach sin ie zweiten partiellen Ableitungen er Funktion zu bestimmen. Einsetzen er optimalen oer stationären Punkte in ie Matrix er zweiten partiellen Ableitungen (Hesse-Matrix) informiert über ie Art es Optimums: Ist ie bewertete Hesse-Matrix positiv (negativ) efinit, so liegt ein lokales Minimum (Maximum) vor (Extremwertbeingungen 2.Ornung). C2. Statische Optimierung unter Nebenbeingungen Es folgt in Kürze: Lagrange-Verfahren un Kuhn-Tucker-Verfahren.