Der Quanten-Hall-Effekt (QHE) Präsentation am von Kai Frye Im Rahmen des Seminars Probleme der Quantenmechanik bei Prof. G.

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1 Der Quanten-Hall-Effekt (QHE) Präsentation am von Kai Frye Im Rahmen des Seminars Probleme der Quantenmechanik bei Prof. G. Wolschin

2 Die Entdeckung 2 Die Entdeckung Februar 1980, 2 Uhr morgens in Grenoble Untersuchungen von Materialeigenschaften von Silizium- Feldeffekttransistoren Starke B-Felder und tiefe Temperaturen

3 Gliederung 3 Gliederung 1. Erinnerung: Der klassische Hall-Effekt 2. 2-dimensionales Elektronengas 3. Der integrierte QHE 4. Der fraktionierte QHE und mehr! 5. Bedeutung

4 Der klassische Hall-Effekt 4 1. Der klassische Hall-Effekt F = m dv dt = e (E + v B)

5 Klassischer Hall-Effekt F = m dv dt = e (E + v B) Zyklotronfrequenz ω = eb/m, v Drift = E y B Kristallfeldpotential m 0,07 m e Streuung Relaxationszeit τ Spiralbahn F = dp dt Streuung + dp dt Felder = mv e (E + v B) τ Statischer Limes F = 0, B = B e z E x m τe B E = y B m τe v x v y

6 Der klassische Hall-Effekt 6 Hall-Formel Erinnerung: Ohmsches Gesetz E = ρj bzw. j = σe Stromdichte j = e v n e spezifisch Leitfähigkeit σ 0 = e2 n e τ E x m m 1 τe1 B ωτ E = σ 0 y B ωτ m 1τe vj x vj y Längsrichtung ρ xx = ρ yy = σ 0 1 Querrichtung ρ yx = ρ yx = σ 0 1 ωτ = B 1 en e = B K H

7 Der klassische Hall-Effekt 7

8 DEG dimensionale Elektronengase (2DEG)

9 DEG 9 Experimentelle Erzeugung von MOSFETs 2DEG Halbleiter Heterostrukturen

10 DEG 10 Metal-Oxid-Semiconducter- Fieldeffect-Transistors (MOSFETs) U G ~ n

11 DEG 11 MOSFETs

12 IQHE Der integrierte QHE Da U G ~ n und B I U H = K d H = BI d U H 1 U G 1 en Hall-Leitwert: S H I x /U H

13 IQHE 13 Hall-Leitwert: 3. Der integrierte QHE S H = l e² h Unabhängig von: Probegeometrie Material Magnetfeldstärke R SD = 0 ρ 1 xx = σ = n e e 2 τ m Keine Streuung

14 IQHE 14 Erklärungsansatz Elektronen in Kreisbewegung Radius so klein, dass keine Streuung stattfinden kann (ωτ 1) Elektronen interferieren mit sich selbst Landau-Niveaus

15 IQHE 15 Landau-Quantisierung E Landau,l = ħω l (l = 0,1,2,3,... ) ψ(x, y) = e ik yy u(x) ω = eb m x 0 = h eb k y r 2 = l ħ mω

16 IQHE 16 Elektronendichte (vollbesetzt) Ohne Spinentartung Mit Spinentartung n e,l = l N el L x L y = l eb h n e,l = 2 l N el L x L y = 2 l eb h = ν eb h 2l = ν

17 IQHE 17 Hall-Leitwert, Hall-Widerstand Erinnerung: K H = 1 en, ρ xy = B K H S H = 1 K H B = e n e,l B = l e2 h bzw. R H = 1 S H = 1 l e 2 h

18 IQHE 18 Fertig? Woher kommen die Plateaus? Warum wird der Längswiderstand 0? Woher kommen die Maxima im Längswiderstand? Randkanalmodell

19 IQHE 19 Fermi-Energie Bei T = 0K gilt: Für E < E 0F sind die Energieniveaus mit 2 Elektronen besetzt Für E > E 0F sind die Energieniveaus unbesetzt. Nur Elektronen nahe der Fermi-Energie eignen sich für Stromtransport

20 IQHE 20 Randkanalmodell: Stark Vereinfacht Skipping Orbits B Geschlossene Elektronenbahn

21 IQHE 21 Randkanalmodell Endliche Ausdehnung berücksichtigen 1 2m iħ ea 2 + U x = E ψ(x, y) ψ x, y

22 IQHE 22 Randkanalmodell E n, k = ħω n n, k U(x) n, k Annahme: Kleiner Radius, geringe Änderung von U(x) E n, k = ħω n U x 0 mit x o = ħk eb

23 IQHE 23 Randkanalmodell Gruppengeschwindigkeit der Elektronen: v = ω k = 1 E(n, k) ħ k = 1 ħ U(x 0 ) k = 1 ħ U(x 0 ) x 0 x o k E F = 1 eb U(x) x Zwei getrennte Kanäle Unterschiedliche Richtung Keine Streuung, kein Widerstand

24 IQHE 24 Landauer-Büttiker-Formalismus Kontakte mit chemischen Potentialen µ j Strom fließt immer über Kanäle Transmissionswahrscheinlichkeit T ml (vom Kontakt l in Kontakt m) Reflexionswahrscheinlichkeit sei R mm

25 IQHE 25 Einfaches Beispiel µ 1 beliebiger Wert µ 2 = µ 1 + eu 12 U 12 = µ 2 µ 1 e T 12 = T 21 = 1 R 11 = R 22 = 0 D E = g S πħ m 2E 1/2 = 1 πħ 1 v E = 2 h 1 v E µ 1 µ 2 µ 1 I 1 = e D E v E de e T 12 D E v E de + R 11 D E v E de = 2e h µ 2 µ 1 = 2e2 h U 12 Analog: I 2 = I 1 = 2e2 h U 12 S = 2 e2 h

26 IQHE 26 Allgemein für ideale Systeme T=0 oder T=1, R=0 i Randkanäle I l = g s e h iµ l it ml µ m m l

27 IQHE 27 Formalismus auf QHE anwenden T 14 = T 21 = T 32 = T 43 = 1 Sonst T ml = 0 B I 1 I 2 e = 2 I 3 h I 4 i 0 0 i i i i i i i µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 Spannung zwischen µ 1 und µ 3 angelegt Hall-Spannung zwischen µ 2 und µ 4 I 2 = I 4 = 0 µ 2 = µ 1 und µ 4 = µ 3

28 IQHE 28 Formalismus auf QHE anwenden I 1 I 2 e = 2 I 3 h I 4 i 0 0 i i i i i i i µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 B µ 2 = µ 1 und µ 4 = µ 3 I 1 = I 3 = 2i e h µ 1 µ 3 = 2i e² h U 13 U 13 = µ 1 µ 3 e R H = U H I 1 = U H 2i e² h U 13 = µ 2 µ 4 e = 1 2i h = U 24 U H e 2 = 1 ν h mit ν = 2,4,6,. e2

29 IQHE 29 Längswiderstand I 1 = I 2 = I 3 µ 1 = µ 2 = µ 3 U = 0 R SD = U I = 0 wenn die Fermi-Energie zwischen zwei Landau- Niveaus liegt!!!

30 IQHE 30 Lokalisierte Störzustände Bisher: Fermi-Energie liegt immer auf dem höchsten Landau-Niveau B-Feld, Energie Landau-Niveau, Entartungsgrad Mehr Elektronen in den unteren Niveaus weniger Elektronen im obersten Landau-Niveau Fermi-Energie sinkt sprungartig, wenn oberstes Niveau leer ist

31 IQHE 31 Landau-Fächer

32 IQHE 32 Lösung Randkanäle? NEIN! Fluktuationen in realen Proben Kein δ-potential mehr

33 IQHE 33 Lokalisierte Zustände lokalisiert tragen nicht zum Ladungstransport bei Können Fermi-Energie stabilisieren

34 IQHE 34 Lokalisierte Zustände B-Feldstärke

35 IQHE 35 Probenqualität Störstellen sind wichtig! Zu wenig Störstellen und zu hohe Beweglichkeit Keine Plateaus und schwach ausgeprägter QHE Zu viele Störstellen und niedrige Beweglichkeit: Kein QHE, da keine Bildung von Landau- Niveaus

36 FQHE 36 Der fraktionierte QHE Integraler QHE von integer ν = p/q q ungradzahlig Hohe Beweglichkeit Niedrige Ladungsträger- Konzentration Sehr tiefe Temperaturen (0,1K) Sehr starke B-Felder AlGaAs/GaAs

37 FQHE 37 Erklärung 1 Laughlin: Ansatz für die W-Funktion Quantenflüssigkeit: inkompressibel, superfluide Anregungen von (Laughlin-) Zustände: e = e q Anyonen: ψ 1 ψ 2 = ψ 2 ψ 1 e iθ θ = π q Können wieder angeregt werden (Hierarchie)

38 FQHE 38 Erklärung 2 Elektronen gehen gebundene Zustände mit Magnetfeldquanten ein und bilden ganzzahlig geladene Composite Fermionen FQHE wird dann als QHE von Composite Fermions verstanden 1/3, 2/5, 3/7 analog QHE mit ν = 1,2,3 Wurden auch schon in anderen Zusammenhängen beobachtet

39 FQHE 39 FQHE Aktuelles Forschungsgebiet ν = 5 ist noch komplett ungeklärt 2 Tsui, Strömer und Laughlin erhielten 1998 den Nobelpreis

40 Bedeutung 40 Bedeutung des QHE Festkörperphysik Graphen Metrologie Alle Messungen fanden: R 21 = h = 25812, ± 0, Ω e 2 Entspricht Messgenauigkeit von 3, definierte man R K = 25812,807 Ω als Widerstandsnormal. Eingereicht unter dem Titel: Realization of a Resistance Standard based on Fundamental Constants

41 Bedeutung 41

42 Bedeutung 42 Feinstrukturkonstante α = µ 0 c 2 e 2 h = µ 0 c 2 R H 1 c und µ 0 sind beide Normgrößen Kompatibilitätstest von Festkörperphysik und QED Stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit von 10^-7 überein

43 Zusammenfassung QHE IQHE ist gut verstanden (Landau- Quantisierung, Entartung) Rand- und Störeffekte sind essentiell FQHE durch Vielteilchen-Effekte Große Bedeutung für die Metrologie, Festkörperphysik und Physik allgemein!

44 Bildquellen Quellenverweise Literatur Physical Review Letter, Volume 45, Page Praktikum-Quanten-Hall-Effekt.pdf Effekt.pdf Horst Hänsel / Werner Neumann - Physik. Moleküle und Festkörper Spektrum Akademischer Verlag GmbH Praktikum-Quanten-Hall-Effekt.pdf Siegfried Hunklinger, Festkörperphysik, Oldenbourg Verlag Physical Review Letter, Volume 45, Page Effekt.pdf Horst Hänsel / Werner Neumann - Physik. Moleküle und Festkörper Spektrum Akademischer Verlag GmbH D.Yoshioka: The Quantum Hall Effekt, Springer Der Quanten Hall Effekt. Klitzing, sdw 1986, S46 Klaus von Klitzing, Rolf Gerhardts und Jürgen Weis: 25 Jahre Quanten-Hall-Effekt, Physik Journal (2005) Nr. 6, Seite 37-44

45 DEG 45 AlGaAS/GaAS Vorteile Glatte Grenzfläche Hohe Beweglichkeit µ = eτ/m Fermi-Kante verschoben Donatorelektronen sammeln sich an Grenzschicht Dreieckspotential 2DEG

46 Ergänzungen 46 Magnetischer Fluss N Zustände pro Landau Niveau = eb h L xl y = = N Anzahl der magnetischen Flussquanten φ e/h Im Plateauzustand rotiert um jedes Magnetflussquant also die gleiche Anzahl von Elektronen.

47 Ergänzungen 47 1/B-Verlauf R xx über 1/B auftragen n e = 2e h 1 B 1 µ e = 1 br xx B = 0 1 en e

48 Ergänzungen 48 Laughlin-Funktion Mit der Position, dem Normalisierungsfaktor und ν = 1 n, n 2Z + 1