F01. Hall-Effekt. Der Hall-Effekt ist nachzuweisen und die Abhängigkeit der Hall-Spannung vom anliegenden Magnetfeld darzustellen.

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1 F01 all-effekt Der all-effekt ist nachzuweisen und die Abhängigkeit der all-spannung vom anliegenden Magnetfeld darzustellen. 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Beschreibung des all-effektes (Edwin erbert all 1879) Wird entsprechend Bild 1 eine dünne Metallplatte P von einem gleichmäßig über ihren Querschnitt verteilten Strom I durchflossen, so ist zwischen zwei Punkten A und B, die am Rande der Platte zu beiden Seiten gleich weit von der Stromzuleitung entfernt liegen, keine Potentialdifferenz vorhanden. Wirkt aber senkrecht zur Platte ein Magnetfeld vom Betrag B, so tritt zwischen A und B eine Bild 1: all-effekt Spannung auf, und es fließt durch ein an diese Punkte angeschlossenes Galvanometer ein Strom. Die Ursache hierfür liegt in einer Verbiegung der ursprünglich parallelen Elektronenbahnen in der Platte P durch das Magnetfeld. Die Äquipotentialflächen erfahren dadurch eine Drehung gegen ihre ursprüngliche Lage. Für die all-spannung U zwischen den Punkten A und B, die ursprünglich das gleiche Potential hatten, ergibt sich experimentell die Gleichung U B I = R (1) d R ist ein Proportionalitätsfaktor mit der Einheit cm 3 C -1, der all-koeffizient genannt wird. B ist die magnetische Flussdichte, d die Dicke der Platte. Der all-koeffizient R kann nach Auswertung eines Experimentes positiv oder negativ sein. Danach unterscheidet man positiven und negativen all-effekt. Die in Abschnitt 1.2 dargelegte klassische Theorie, die auf der Verbiegung der Bahnen der negativen Elektronen durch das Feld B beruht, kann nur negative Werte von R erklären, während der positive all-effekt sich einer klassischen Deutung entzieht. Experimentell wird das Vorzeichen des all-effektes folgendermaßen bestimmt: 2015

2 F01 all-effekt Man denke sich das Magnetfeld B durch einen Kreisstrom mit der Stromstärke I erzeugt, der in Bild 2 angedeutet ist, wobei I so gerichtet ist, dass das Feld B senkrecht zur Zeichnungsebene von vorn nach hinten weist. Ist I die technische Richtung des Stromes in der Platte, I die des Magnetisierungsstromes, so heißt der all-effekt positiv, wenn das obere Ende der Platte den positiven Pol der all-spannung bildet, negativ, wenn das obere Ende der Platte negativ wird. Die Messungen des all-koeffizienten hängen stark von der Reinheit der Stoffe ab. Geringe Beimengungen können die Werte verändern. In Tab.1 im Abschnitt 1.2 sind die Werte für einige Stoffe aufgeführt. Sehr groß ist der all-koeffizient für Bismut und für die albleiter Indiumantimonid und Indiumarsenid. Diese Stoffe werden für die erstellung von all-generatoren bevorzugt und für die Ausmessung von Magnetfeldern verwendet (u.a. auch in diesem Versuch). Bild 2: Kennzeichnung des positiven (a) und des negativen (b) all- Effektes 1.2 Theoretische Überlegungen zur erleitung von Gleichung (1) Die Stromdichte J in der Längsrichtung der Platte P ist J I = = n e v el, b d wenn n die Anzahl der Elektronen je Volumen, e die Ladung des Elektrons und v el die (gerichtete) Geschwindigkeit eines Elektrons bedeuten. Es ist also v el J = (2) n e Das Magnetfeld der Flussdichte B übt auf die Elektronen senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung und senkrecht zu B eine ablenkende Lorentzkraft vom Betrag F = e B v aus. Sie bewirkt solange eine = e E = e U b mit dem elektri- Querverschiebung der Elektronen, bis ihr die Coulomb-Kraft schen Transversalfeld E tr das Gleichgewicht hält. Dann gilt L F el C tr / U e b = e B v, el woraus unter Benutzung von Gleichung (2) die gesuchte Gleichung für den all-effekt folgt: U R B I = 1 J B b =. n e d Der all-koeffizient selbst ist durch die Beziehung gegeben: R = 1 n e. (3) Wird anstelle von v el in Gleichung (2) die Elektronenbeweglichkeit - 2 -

3 F01 all-effekt v µ = el E eingeführt und beachtet, dass allgemein J = σ E (σ : elektrische Leitfähigkeit, σ = 1/ρ mitρ: spezifischer Widerstand) ist, so folgt weiter mit Rücksicht auf das Vorzeichen von e 1 µ = = ρ µ. (4) n e σ Damit ergibt sich für den all-koeffizienten die weitere Beziehung µ R = ρ µ = (5) σ Erfolgt der Stromtransport durch Elektronen, muss R negative Werte annehmen (negativer all- Effekt). Aus Messungen von R und ρ bzw. σ kann man daher sowohl n, die Zahl der Elektronen pro Volumen des Metalls, als auch ihre Beweglichkeit µ bestimmen. Die Tabelle 1 gibt in der zweiten Spalte für einige Metalle die beobachteten Werte von R, in der dritten den spezifischen Widerstand ρ, in Spalte 4 die daraus berechnete Elektronenbeweglichkeit μ und in der Spalte 5 die ebenfalls aus R berechnete Elektronenzahl n je cm 3 an. Zum Vergleich ist in der sechsten Spalte die Atomzahl je cm 3 angeführt. Metall R / m 3 C -1 ρ / Ωcm µ / cm 2 V -1 s -1 Elektronenzahl / cm 3 Atomzahl / cm 3 Cu -5, , , , Ag (technisch) -8, , , , Au -7, , , , Bi -9, , , , Zn (technisch) +10, , , , Cd +5, , , , W 11, , Tabelle 1: Ergebnisse einiger all-messungen Einige Metalle wie Zn, Cd und W zeigen einen positiven alleffekt mit R > 0. Der Stromtransport erfolgt hier nicht durch Elektronen, sondern durch so genannte Defektelektronen (Löcher) mit positiver Elementarladung

4 F01 all-effekt 2.Versuch 2.1 Vorbetrachtung Aufgabe: Wie entsteht ein all-efekt? Was verstehen Sie unter Elektronen- bzw. Löcherleitung? 2.2 Versuchsdurchführung Verwendete Geräte all-effekt-geräte (Silber, Wolfram), Spulen mit U-Kern und verstellbaren Polschuhen, Netzgerät bis 40A DC mit Anzeige, Messgerät bis 10A DC, Teslameter, Mikrovoltmeter, Netzgerät bis 10A DC Versuchshinweise Überprüfen Sie den Aufbau gemäß Bild 3, wobei sich zunächst das verkabelte all-effekt-gerät noch nicht zwischen den Polschuhen befindet. Zur Durchführung der Messung zur Aufgabe 1 befindet sich hier eine Isolierplatte mit der Dicke der Trägerplatte des all-effekt-gerätes. Bild 3: Schaltskizze zum all-effekt Achtung: inweis: Stromkreise bei einem Querstrom über 15A bzw. bei Magnetstromstärke über 5A nur kurzzeitig zur Messung einschalten (Erwärmung der Experimentierkabel bzw. Überlastung der für 5A ausgelegten Spulen)! Im Querstromkreis bereitgestelltes Kabel benutzen, das eine Belastung von 20A zulässt. Quantitative Versuche mit dem Wolfram-Gerät stellen, materialbedingt, besondere Anforderungen an Sorgfalt und Geschick beim Experimentieren. Luftzirkulationen bei eingeschaltetem Querstrom können zu beträchtlichen Nullpunktschwankungen führen (Thermospannung an den Messkontakten für die all-spannung). Wegen des höheren elektrischen Widerstandes von Wolfram sind dort die thermischen Effekte und damit die Nullpunktschwankungen größer als bei Silber

5 F01 all-effekt Aufgabe 1: Ermittlung der Kalibrierkurve Entmagnetisieren Sie das Eisen des Elektromagneten vor der Aufnahme der I B - B-Kalibrierkurve sowie vor jeder Flussdichtebestimmung aus dieser Kurve. Legen Sie kurzzeitig etwa 25V Wechselspannung an die Spulen an. Stecken Sie dazu das Spulenanschlusskabel am Stromversorgungsgerät um. Schalten Sie am Strommessgerät den Messbereich auf AC um und drehen Sie die Spannung langsam zurück. Schieben Sie zur Messung der Flussdichte die all-sonde des Teslameters in den Spalt zwischen den Polschuhen. Messen Sie die magnetische Flussdichte B in Abhängigkeit von dem Magnetstrom I B von 0 A bis 8 A in 0,5 A-Schritten. (Nach dem Magnetisieren das Umstecken des Spulenanschlusskabels und die Umschaltung des Messbereiches auf DC des Strommessers nicht vergessen!) Aufgabe 2: U als Funktion von B bei drei Querströmen I Q Weisen Sie durch die Verwendung der all-effekt-geräte (Silber und Wolfram) die Proportionalität zwischen der all-spannung U und der magnetischen Flussdichte B bei unterschiedlichen Querströmen I Q nach. Bauen Sie das all-effekt-gerät (Silber) gemäß Bild 3 im Elektromagneten ein. Schieben Sie die Polschuhe unmittelbar an die Trägerplatte heran. Wählen Sie den Luftspalt so eng wie möglich (gleiche Breite wie Aufgabe 1). Schließen Sie das all-effekt-gerät gemäß Bild 4 an das Mikrovoltmeter und das Stromversorgungsgerät für I Q an. Die Feldrichtung ist auf der Trägerplatte aufgedruckt. Entmagnetisieren Sie die Elektromagneten analog zur Aufgabe 1. Stellen Sie einen Querstrom I Q von 10 A ein. Korrigieren Sie vor dem Einschalten des Spulenstromes I B bei eingeschaltetem Querstrom die Anzeige am Messinstrument für die all-spannung U auf Null (eingestellter Verstärkungsfaktor: 10 5 ). Nehmen Sie die Nullpunktkorrektur mit dem Taster des Mikrovoltmeters vor. Bild 4: Elektrische Verbindung des all-effekt-gerätes Variieren Sie den Spulenstrom I B analog zur Aufgabe 1 und lesen Sie die jeweilige all- Spannung U ab. Wiederholen Sie die Messreihe für den Spulenstrom I Q = 15 A und 20 A. Bauen Sie am Versuchsplatz das all-effekt-gerät von Silber auf Wolfram um. Die Messungen erfolgen analog zum all-effekt-gerät (Silber)

6 F01 all-effekt 2.3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: Erstellung der Kalibrierkurve Stellen Sie sehr sorgfältig die Kalibrierkurve in einem Diagramm der Funktion B = f(i) graphisch dar, denn sie dient als Grundlage für die weiteren Aufgaben. Aus diesem Diagramm wird in den folgenden Aufgaben die magnetische Flussdichte B zum gemessenen Spulenstrom I bestimmt. Aufgabe 2: U als Funktion von B bei drei Querströmen I Q Stellen Sie die Messergebnisse in je einem Diagramm für Silber und Wolfram der Funktion U = f(b) mit I Q als Parameter graphisch dar. Tragen Sie dazu die Fehlerbalken ein. Aufgabe 3: Bestimmung des Vorzeichens der Ladungsträger Bestimmen Sie für die gewählte Stromrichtung das Vorzeichen der all-spannung unter Verwendung der Richtungsangaben in den Bildern 2 und 4. (Anwendung der Rechte-and-Regel auf die am all-effekt-gerät angegebenen Richtungen von B, I Q und U ) Aufgabe 4: Berechnungen Berechnen Sie den all-koeffizienten R unter Verwendung der in Aufgabe 2 durchgeführten Messungen und den Darlegungen in Abschnitt 1.2. Führen Sie die Berechnung für I Q = 10A, 15A und 20A durch. Verwenden Sie den Anstieg der gezeichneten Graphen U =f(b) (geg.: d = m). Schätzen Sie die Messunsicherheit aus den Abweichungen (Fehlerbalken) der graphischen Darstellungen ab und bestimmen Sie daraus die Messunsicherheit der all-koeffizienten R. Berechnen Sie unter Verwendung des gewichteten Mittelwertes für Silber und Wolfram den mittleren all-koeffizienten R und vergleichen Sie diesen mit den Tabellenwerten. Bestimmen Sie die Ladungsträgerkonzentration n für Silber und Wolfram. Diese Berechnung erfolgt nur unter Verwendung des jeweiligen gewichteten Mittelwertes der all-konstanten R. 3. Ergänzung 3.1 Vertiefende Fragen Was verstehen Sie unter Elektronenleitung und was unter Löcherleitung? - 6 -

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