2 Das Quadratische Reziprozitätsgesetz

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1 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Anna Sökeland, Natalie Graßmuck Vorbemerkungen 3 mod 13, d.h. modulo 13 ist 3 ein Quadrat. Definition : Sei eine Primzahl. x F y F mit ist Quadrat modulo, wenn x y 1 Frage : Welche ganze Zahlen sind modulo Quadrate? Das Quadratische Rezirozitätsgesetz.1 Quadrate in F q Im Folgenden sei q n, n N und rim. Dann gilt folgender Satz : a Ist, dann sind alle Elemente von F q Quadrate. b Ist, dann gilt : #{x F q y F q : y x} q 1 a Folgt aus der Tatsache dass f : F n F n mit fx x ein Automorhismus auf F n ist. b Sei Ω eine algebraische Abgeschlossenheit von F q ;wennx Fq dann soll y Ω, sodass y x. Man hat : y q 1 x q 1 ±1 dax q 1 1. Damit x ein Quadrat in F q ist es notwendig und hinreichend, dass y zu Fq gehört, d.h. y q 1 1. Deshalb ist Fq der Kern von x x q 1. D.h. also, wenn x Fq dann y Fq mit y x. x x q 1 y q 1 1 x Kern. x Kern x q 1, d.h. im Kern sind die Elemente die auf 1 abgebildet werden. Daraus folgt, das Polynom x q 1 1hathöchstens q 1 Nullstellen 1

2 bzw. die # Elemente im Kern q 1.* Außerdem wissen wir, dass Fq zyklisch ist und die Ordnung q 1hat. Das bedeutet : Fq : {a, a,a 3,...,a q 1 },mita Fq. Man sieht, dass Fq q 1 mindestens Quadrate hat, d.h. # Quadrate q 1. ** Aus * und ** #{x Fq y F q : y x}. Legendre Symbol Definition : Sei und x F. Das Legendre Symbol x durch { x : x 1 +1, x ist Quadrat modulo 1, sonst ist definiert 3 Satz..1 : Das Legendre Symbol ist multilikativ, d.h. es gilt für x, y F : xy x y Aus voriger Definition folgt : xy xy 1 x 1 y 1 x y 5.3 Das QRG und seine Ergänzungssätze Das Quadratische Rezirozitätsgesetz ist einer der wichtigsten Sätze der elementaren Zahlentheorie. Euler vermutete es bereits um 170, lieferte jedoch keinen Beweis. Die vereinfachte Formulierung des QRGs stammt von Legendre, aber erst Gauß gelang der erste vollständige Beweis. Satz.3.1 : Seien l, zwei verschiedene Primzahlen. Dann gilt : l 1 l l Sei S F,sodasssichF als disjunkte Vereinigung schreiben lässt : F 1 S S. Im Folgenden setzen wir S : {1,..., }.Für a F, s S ist auch a s F, d.h. es gibt eindeutig bestimmte Zahlen e s a {+1, 1} und s a S mit a s e s a s a 7

3 Dann gilt : i Gaußlemma : a e s a 8 Beweis von i : Beh. : Die s a sind aarweise verschieden, d.h. für s, t S mit s t gilt s a t a. Denn angenommen s a t a,dannwürde gelten : a s s a t a a t 9 Mit a F folgt s t,alsos ±t. Die Behautung ergibt sich daher nach Definition von S. Aufgrund der Endlichkeit von S und der gezeigten Injektivität der Abbildung s s a ist diese eine Bijektion von S in sich selbst. Zur Erinnerung : a s e s a s a 10 Durch Produktbildung über alle s S liefert dies folgende Gleichung : a 1 s e s a s a e s a s 11 Daher gilt Beachte s F : Mit a a 1 a 1 folgt die Behautung. e s a 1 ii Ergänzungssätze : Im Folgenden sei eine Primzahl. 1.Ergänzungssatz : { 1 +1, +1 mod 1, 1mod 13 Es gilt Die Behautung folgt nun aus der Tatsache, dass 1 gerade +1 mod. 3

4 .Ergänzungssatz : { +1, ±1mod8 1, ±5mod8 1 Nach dem Gaußlemma gilt für a F : e s 15 Betrachte s e s s.für s 1 ist s S. Setze s : s, dann folgt e s +1. Andernfalls ist s / S, alsos s,das S. Alsoe s 1. Also gilt für s S : e s { +1, s 1 1, s > 1 16 Definiere { n : # s Z, 1 <s 1 } 17 Dann gilt : 1 n 18 Fallunterscheidungen : Fall 1 1 mod, d.h. k +1für k N Dann ist n #{s Z, k < s k} k k k. Also gilt : { 1 k +1, +1 mod 8 1, +5 mod 8 19 Denn für k gerade gilt : l+18l +1, und für k ungerade gilt : l +1+18l +5. Fall 1 mod, d.h. k +3für k N Dann ist n # { s Z, k+ 1 <s k +1} k +1 k k +1. Also gilt : { 1 k+1 +1, 1mod8 1, 5mod8 0 Denn für k +1gerade,d.h.k ungerade gilt : l +1+38l +7,

5 und für k + 1 ungerade, d.h. k gerade gilt : l+38l +3. Damit folgt die Behautung : { +1, ±1mod8 1, ±5mod8 1 Dies ist äquivalent zu iii Trigonometrisches Lemma Zum Beweis des QRGs benötigen wir folgende Identität : sinmx sinx m 1/ 1 j m 1/ sin x sin πj m 3 wobei m eine ungerade ganze Zahl ist. Der Leser möge sich das im Buch von H.-D. Ebbinghaus et al. : Zahlen Grundwissen Mathematik 1, Sringer veranschaulichen. iv Beweis des quadratischen Rezirozitätsgesetzes Seien l und zwei verschiedene Primzahlen und l,. Sei S { 1,..., 1 } wie vorher. Nach dem Gauss Lemma gilt : l e s l. Nun ergibt sich aus der Gleichheit von ls e s ls l : sin π ls e slsin π s l 5 Formt man diese Gleichung um und unter Beachtung, dass s s l eine Bijektion ist, ergibt sich folgender Ausdruck : l e s l sin πls /sinπs 6 Unter Verwendung des Trigonometrischen Lemmas mit m l können wir die Gleichung auch schreiben als : l l 1/ sin πs πt sin l t T l 1 1/ sin πs πt 7 sin l,t T 5

6 wobei T die Menge der ganzen Zahlen zwischen 1 und l 1/ kennzeichnet. Vertauscht man l und, erhält man einen ähnlichen Ausdruck : l 1 1/ sin πt sin πs 8 l l,t T l und l sind identisch bis auf ihr Vorzeichen. Da es l 1 Faktoren davon gibt, unterscheiden sich die Gleichungen nur um den Faktor 1 1 1l 1, womit das quadratische Rezirozitätsgesetz bewiesen wäre.. Beisiel 9 i 3 iv ii 1 iii ii i 7 9 v 1 9 Hierbei wurde verwendet : i QRG 9 1mod a ii ist nach Definition nur von der Restklasse a modulo abhängig iii Satz..1 Multilikativität des Legendre Symbols iv Satz.3.1 Teilii :.Ergänzungssatz 9 5mod8 v 1 ist als Quadratzahl für jede Primzahl Quadrat modulo 6