Geometrie und Zahlentheorie. Ganzzahlige geometrische Objekte

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1 1 Geometrie und Zahlentheorie. Ganzzahlige geometrische Objekte Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS), Berlin 19. Tag der Mathematik 17. Mai 014, TU Berlin

2 Pythagoräische Tripel Der Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. b 90 a c = a + b α c β

3 Pythagoräische Tripel 3 Beispiele Ganzzahlige Lösungen von a + b = c. Pythagor"aische Tripel (a, b, c) Beispiel: = 5. Weitere Beispiele durch probieren? Beispiel: = 10, = 15,... (ähnliche Dreiecke) Teilerfremde Lösungen! ggt(a, b, c) = 1 = a ungerade, b gerade, c ungerade

4 Pythagoräische Tripel 4 Lösung der diophantischen Gleichung a + b = c b = c a = (c + a)(c a) = (x)(y) c + a = x = c = x + y c a = y = a = x y ggt(x, y) = 1 = x = u, y = v Lösung: u > v; u, v nicht beide ungerade, ggt(u, v) = 1 a = u v b = uv c = u + v Probe (Umkehrung) a + b = c? ( u v ) ( ) ( + uv = u + v )

5 Pythagoräische Tripel 5 Parametrische Lösung (a, b, c) ergeben sich aus zwei Parametern u und v: a + b = c ( u v ) + ( uv ) = ( u + v ) Für alle u und v mit ggt(u, v) = 1, u > v; u, v nicht beide ungerade erhält man alle unähnlichen rechtwinkligen Dreiecke. Was haben u und v für Einheiten? a = u v Wurzel aus einer Länge?

6 Pythagoräische Tripel 6 u v a = u v b = uv c = u v α β

7 Pythagoräische Tripel 7 Weitere ganzzahlige Größen 1. Kathete a = uv. Kathete b = u v = (u + v)(u v) Hypothenuse c = u + v Flächeninhalt S = uv(u v ) = uv(u + v)(u v) Halber Umfang p = u(u + v) Umkreisdurchmesser R = u + v Inkreisradius r = v(u v) Alle Längen hängen quadratisch von u und v ab. Zusammenhänge? R = c (Satz des Thales), S = p r,... Winkel? Rationale sin, cos, tan?

8 Pythagoräische Tripel 8 Rationale Größen a = u v, b = uv, c = u + v Winkel: AK H = cos α = sin β = b c = u v u +v GK H = sin α = cos β = a c = uv u +v GK AK = tan α = cot β = a b = uv u v

9 Pythagoräische Tripel 9 Additionstheoreme sin α = uv u + v, cos α = u v uv u, tan α = + v u v Additionstheoreme: tan α tan β = = uv sin α 1 + cos α = u +v 1 + u v u +v sin β u v 1 + cos β = u +v 1 + uv u +v = = uv u = v u u v u + v + uv = u v u + v Gute Idee: Tangens des halben Winkel ist rational. Und umgekehrt: tan α = sin α 1 + cos α = sin α = tan α 1 + tan α, cos α = 1 tan α 1 + tan α

10 Heronische Dreiecke 10 Allgemeine Dreiecke mit ganzahligen Seitenlängen? Allgemeine Dreiecke mit ganzahligen Seitenlängen und ganzahligem Flächeninhalt? Beispiel: a = 13, b = 14, c = 15 (beinahe gleichseitig!) Berechnung des Flächeninhaltes mit Heronscher Formel: S = 1 4 (a + b + c)( a + b + c)(a b + c)(a + b c) (Daher der Name: Heronische Dreiecke) Im Beispiel: S = = = 7 6 = 84

11 Heronische Dreiecke 11 rechtwinklige Dreiecke = 1 allgemeines Dreieck = = 5 = (3 3) + (3 4) = (3 5), = =

12 Heronische Dreiecke 1 Die Gaußsche Idee Ist auch tan γ rational? tan γ Ansatz: tan α = v u, tan β = s t, = tan 180 α β ( α = cot + β ) = u v t s 1 + u v ts = ( = tan 90 α + β ) = = cot α cot β 1 + cot α cot β su tv tu + sv =

13 Heronische Dreiecke 13 Wann sind die Seiten ganzzahlig? Wenn der Tangens von allen halben Winkeln rational ist, dann sind auch die Sinuswerte der Winkel rational. sin α = tan α = v u, tan β = s t, tan γ uv u + v, sin β = = su tv tu + sv st (tu + sv)(su tv) s, sin γ = + t (s + t )(u + v ) Sinussatz: a sin α = b sin β = c sin γ = R a = R sin α, b = R sin β, c = R sin γ = Die Seiten sind ganzzahlig bei geeignetem Umkreisradius R.

14 Heronische Dreiecke 14 Die Gaußsche parametrische Lösung a = R sin α, b = R sin β, c = R sin γ sin α = uv u + v, sin β = st (tu + sv)(su tv) s, sin γ = + t (s + t )(u + v ) Wenn: 4R = (s + t )(u + v ) dann a = uv(s + t ) b = st(u + v ) c = (tu + sv)(su tv) Ist auch der Flächeninhalt ganzzahlig?

15 Heronische Dreiecke 15 Der Flächeninhalt ist ganzzahlig S = a + b + c a + b + c a b + c a + b c a = uv(s + t ), b = st(u + v ), c = (tu + sv)(su tv) p = a+b+c = su(tu + sv) = stu + s uv p A = a+b+c = tu(su tv) = stu t uv p B = a b+c = sv(su tv) = s uv stv p C = a+b c = tv(tu + sv) = t uv + stv S = p p A p B p C = = = (su(tu )( )( )( ) + sv) tu(su tv) sv(su tv) tv(tu + sv) = (stuv) (tu + sv) (su tv) = stuv(tu + sv)(su tv)

16 Heronische Dreiecke 16 Die Gaußsche parametrische Lösung. Zusammenfassung a = uv(s + t ) b = st(u + v ) c = (tu + sv)(su tv) 4R = (s + t )(u + v ) S = stuv(tu + sv)(su tv) p = su(tu + sv) p A = tu(su tv) p B = sv(su tv) p C = tv(tu + sv) Parametrisierung mit vier Parametern u, v, s, t. Was ist der Unterschied zwischen drei Strecken und einem Dreieck? Einheiten: s, t = [A], u, v = [B], Länge = [A B ] Jede neu gefundene Länge muß die Einheit [A B ] haben. Einfache Methode zum Beweis von Formeln im Dreieck. S setzt sich aus Produkten zusammen, z.b. ( )( ) S = stuv(tu + sv)(su tv) = su(tu + sv) tv(su tv) = p r

17 Heronische Dreiecke 17 Formeln für den Flächeninhalt r Radius des Inkreises r A, r B, r C Radii des Ankreises p halber Umfang p A, p B, p C Seitenabschnitte p C = a+b c p C C p B pc r A I A p A r I r r p B p C r A r A A p A I C p B B p C A B S = pr = p A r A = p B r B = p C r C

18 Heronische Dreiecke 18 Herleitung von Formeln a = uv(s + t ) b = st(u + v ) c = (tu + sv)(su tv) 4R = (s + t )(u + v ) S = stuv(tu + sv)(su tv) 4RS = abc 1 h C = S/c = stuv

19 Heronische Dreiecke 19 Weitere Formeln S = pr = p A r A = p B r B = p C r C S = stuv(tu + sv)(su tv) p = su(tu + sv) = r = tv(su tv) p A = tu(su tv) = r A = sv(tu + sv) p B = sv(su tv) = r B = tu(tu + sv) p C = tv(tu + sv) = r C = su(su tv) [A B ] : s u = stuv + (s u stuv) = 1 h C + r C t v = stuv (t v stuv) = 1 h C r s v = (s v + stuv) stuv = r A 1 h C t u = (t u + stuv) stuv = r B 1 h C r A + r B + r C r = s u + t v + s v + t u = (s + t )(u + v ) = 4R

20 Verallgemeinerungen I 0 Drei frei gewähle Winkel? 1 Winkel + Umkreisradius = rechwinkliges Dreieck tan α = v u = sin α = uv u + v, R = u + v Winkel + Umkreisradius = allgemeines Dreieck tan α = v u, tan β = s t, 4R = (s + t )(u + v ) =... 3 Winkel + Umkreisradius =??? tan ψ = v u, tan θ = t s, tan ϕ = y x 4R = (s + t )(u + v )(x + y ) Welches Objekt hat drei frei wählbare Winkel und einen Umkreis? Das Sehnenviereck. Aber was sind die drei Winkel?

21 Ganzahlige Sehnenvierecke 1 tan ψ = v u, tan θ = t s, tan ϕ = y x 4R = (s + t )(u + v )(x + y ) Sinussatz im Sehnenviereck mit drei (???) Diagonalen e, f, g R = e sin ψ = f sin ϕ = g sin θ e = (s + t )uv(x + y ) f = (s + t )(u + v )xy g = st(u + v )(x + y ) Flächeninhalt ist ganzzahlig? Ja! S = efg/(4r) S = st(s + t )uv(u + v )xy(x + y )

22 Ganzahlige Sehnenvierecke Verschiedene Sehnenvierecke Aus vier Strecken a, b, c, d kann man drei nichtkongruente Sehnenvierecke mit gleichem Flächeninhalt bilden. Jedes dieser drei Sehnenvierecke besitzt zwei von drei Diagonalen e, f, g, die sich unter einem der Winkel ϕ, θ, ψ schneiden. d c f θ e a b c g d ϕ a e b d b f ψ g a c

23 Verallgemeinerungen II 3 Ganzahlige Quader? Gibt es Quader mit ganzahligen Seitenlängen a, b, c, ganzahligen Flächendiagonalen d a, d b, d c und ganzahliger Raumdiagonalen D? Oder: Gibt es ganzahlige Lösungen (a, b, c, d a, d b, d c, D) des Gleichungssystems: d a = b + c d b = c + a d c = a + b D = a + b + c Nein! Bis jetzt noch nicht. Auch kein Gegenbeweis! Quader mit ganzahliger Raumdiagonalen D gibt es nat"urlich: = = 13 Aber und sind nicht ganz.

24 Verallgemeinerungen III 4 Ganzahlige Parallelepipede?