Numerische Behandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen Eine Einführung. Universität Hamburg SoSe07. K. Taubert

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1 Numerische Behandlung von gewöhnlichen Differenialgleichungen Eine Einführung Universiä Hamburg SoSe7 K. Tauber Besondere Aufgaben 6 UNSTETIGE-, SYMPLEKTISCHE- und ALGEBRO-DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 6.1 Einführung Es werden zunächs einige Beispiele für Differenialgleichungen mi Unseigkeien angegeben. Ein allgemeiner Exisenzsaz garanier die Exisenz von Lösungen von Differenialgleichungen mi Unseigkeien bzw. von ensprechenden mehrwerigen Differenialgleichungen. Eine sehr große Klasse von Differenzenverfahren liefer in völlig unproblemaischer Weise, ausreichend gue Näherungen für die Lösungen. Aufgaben der klassischen Mechanik führen of auf Differenialgleichungen die mi Erhalungsgrößen einhergehen. Werden diese Differenialgleichungen mi klassischen Differenzenverfahren und über längere Zeien inegrier, wird meisens die Erhalungsgröße im Laufe der numerischen Inegraion verlez. Smplekische Verfahren überwinden diese Problemaik z.b. im Bereich der Volumeninvarianz. Die formale Aufsellung der Gleichungen für mechanische oder elekrische Sseme führen meisens zu hbriden Ssemen von Differenialgleichungen und Gleichungen. Ers weiere Überlegungen führen dann zu einem vollsändigen Ssem von Differenialgleichungen. Bei modernen Simulaionsprogrammen sind solche weiergehenden Überlegungen unerwünsch oder wegen des Umfanges der Probleme sogar of nich durchführbar. Es müssen Verfahren zur Inegraion von Algebro-Differenialgleichungen eingesez werden. Algebro-Differenialgleichungen mi dem Index 1 sollen hier kurz behandel werden. 6.2 Differenialgleichungen mi Unseigkeien. Beispiele 1. Sabilisierung einer beschleunigen Masse Ein Körper mi der Masse m genüge dem Newon schen Bewegungsgesez mx'' = u 59

2 mi der äußeren Kraf u. Für den speziellen Fall einer Masse m = 1, der Kraf u = ε b (mi ε = +1 oder ε = 1) und b > ergeben sich die beiden Differenialgleichungen x'' = ε b. Für das Weiere is es zweckmäßig die Geschwindigkeien x'= v in Abhängigkei vom Or x zu besimmen: Für jede Lösung der Differenialgleichung gil d ( (1/2) x' 2 ε bx) ) = d und deshalb, mi geeigneen Konsanen C und C, nowendigerweise auch x' 2 2ε bx = C oder v 2 = 2ε b(x C ) Eine Auswahl dieser Parabeln zeigen die folgenden Bilder (Phasenporrais). Die Richung der Bewegungsabläufe (x(), x'()) wird durch die Pfeile angezeig: Die Frage nach einer Sabilisierung dieses Ssems führ sofor zu unseigen Differenialgleichungen: Beschränke Bewegungsabläufe ergeben sich z.b. mi u = - sgn(x)*b. Die Differenialgleichung x''= -sgn(x)*b führ zum Phasenporrai Die oben gewähle Orsabhängige äußere Kraf u = - sgn(x)*b führ zwar zu beschränken Bewegungsabläufen aber noch nich zu solchen Bewegungen die das Ssem ses in die Ruhelage bringen. Lezeres kann z.b. mi der Ors- und Geschwindigkeisabhängigen Kraf 6

3 u = -sgn(x + k* x')*b, k > erreich werden. Diese Wahl ergib dann die Differenialgleichung x'' = -sgn(x + k* x')*b mi dem Phasenporrai Außerhalb der Geraden x +k*x' beweg sich das Ssem auf den oben angegebenen Parabeln und (klar!) mi zunehmender Zei gegen den Nullpunk. Is die Gerade x + k*x' sehr flach, dann muss der zu erwarender Bewegungsablauf ewas genauer unersuch werden. Es kann dann passieren, dass sich das Ssem ab einem gewissen Zeipunk enlang der Geraden x + kx' = bewegen muss. Dann muss x() = x( )e -(- )/k. sein. Soll schließlich das Ssem nich nur gegen Null sreben, sondern den Nullpunk auch noch möglichs schnell (zeiopimal) erreichen, dann biee sich der Übergang von einer Parabel zu einer durch Null gehenden Parabel an. Auch dann enseh ein Ssem x' = ' = Ψ (x,) mi einer unseigen Funkion Ψ (x,) oder eine unseige Differenialgleichung. 2. Erzwungene Schwingungen mi rockener Reibung. Erzwungene Schwingungen mi rockener Reibung führen auf die Differenialgleichung (D, ω,µ > ) x'' + 2Dω x' + µ sgn(x') + ω 2 x = α cos ( ) Ω. Wenn die äußeren Kräfe und die Rücksellkraf die rockene Reibung nich überwinden können, kann das Ssem zeiweilig ruhen. Ore möglicher Ruhezusände x sind dann -µ + α cos ( Ω ) ω x +µ + α cos ( ) 2 Ω. 61

4 Auch hier lieg eine unseige Differenialgleichung z' = F(,z) vor: x'= '= -2Dω - µ sgn() - ω x + α cos( ) 2 Ω. Die unseige Funkion F : R*R 2 R erfüll übrigens die Monooniebedingung für alle,u,v R. 1 ( F(,u) F(,v), ( u v )) 1/ ω 2 Es war eine Idee von A.F. Filippov (196) unseige Differenialgleichungen als mehrwerige Differenialgleichungen zu inerpreieren. Gegeben sei also jez eine (mehrwerige) Differenialgleichung der Form ' F(,), ( ) =. Dabei sei F eine Abbildung F : R*R n P(R n ) und P(R n ) die Menge aller nichleeren, konvexen und abgeschlossenen Teilmengen aus R n. Definiion Eine Funkion : [, ) R n heiß Lösung der mehrwerigen Anfangsweraufgabe sofern ' F(,), ( ) =, 1. ( ) = 2. (.) absolu seig is und 3. für fas alle gil '() F(,()). Definiion Eine Funkion : [, ) R n heiß absolu seig, wenn die folgenden Eigenschafen gegeben sind: 1. (.) is fas überall differenzierbar, 2. '(.) is summierbar und 3. () = ( ) + (s)ds. Beispiel Jede seig differenzierbare Funkion () is absolu seig. Aber auch jede Funkion : [, ) R n mi ha diese Eigenschaf. () - ( ) K - Beispiel Gegeben sei die (unseige) Differenialgleichung 62

5 '= -sgn() + α, -1 < α < 1 Viele Gründe sprechen dafür, ansa dieser Aufgabe die folgende mehrwerige Differenialgleichung zu berachen. ' F() = {1 + α} [ 1 + α,1 + α] { 1 + α} für für für < = > Die folgende Tabelle zeig die Lösungen der mehrwerigen Differenialgleichung zu verschiedenen Anfangsbedingungen F(,), () =. = 1 = = -1 1+(-1+ α ) für 1/(1- α ) für 1/(1- α ) () = für alle -1+(1+ α ) für 1/(1+ α ) für 1/(1+ α ) Dass die angegebenen Funkionen auch wirklich Lösungen der Anfangsweraufgaben sind, kann schnell eingesehen werden: Lediglich die Abschnie mi () = sind ewas ungewöhnlich. Für diese gil aber ( 1 < α < 1) die Relaion '() = '() = F() = [-1+α,1+α ]. Bemerkung Im Beispiel is die mehrwerige Differenialgleichung offenbar dadurch ensanden, dass der Graph von -sgn() + α abgeschlossen wurde. 63

6 -sgn() + α F() Das dieses sehr vernünfig is zeig sich daran, das () = die Beziehung '= -sgn() + α nur dann erfüll, wenn sgn() = α is. D.h. sgn() muss dem Wer von α angepass werden. Die Mehrwerigkei von sgn() erledig diese Aufgabe von selber. Saz 6.1 (Exisenz- und Eindeuigkei) Gegeben sei eine (mehrwerige) Differenialgleichung der Form Dabei sei ' F(,), ( ) =. F : [, )*R n P (R n ) eine nach oben halbseige mengenwerige Abbildung in die Menge der nichleeren, konvexen und abgeschlossenen Teilmengen aus R n. Genüg die Abbildung F außerdem noch der Monoonieeigenschaf (K R) ( ξ η, u v) K (u v, u v) für alle u,v R n und alle ξ F(,u) und besimme Lösung für alle. η F(,v), dann besiz die Aufgabe eine eindeuig Gegeben sei nun die unseige Differenialgleichung mi einer unseigen Funkion '= f(,) f : [, )*R n R n. Es war ein Vorschlag von A.F. Filippov, durch die Konsrukion F(,) = Ι Ι Konf (, U () N) δ> σ( N) = δ diese Aufgabe in eine mehrwerige zu überführen. 64

7 Von großer prakischer Bedeuung is, dass i.a. die Ermilung von Lösungen von unseigen Differenialgleichungen ohne eine Überführung in die ensprechende mehrwerige Differenialgleichung möglich sein wird. Differenzenverfahren liefern regelhaf eine Lösung des ensprechenden mehrwerigen Problems. Saz 6.2 (Tauber/1975) Die mehrwerige (unseige) Anfangsweraufgabe genüge den Bedingungen des Exisenzsazes. F sei außerdem lokal beschränk, d.h. es exisier eine Konsane K, so dass für alle (,u) [, +T]*R und alle s F(,u) gil s K. Gegeben sei das explizie Euler Verfahren n+1 = n + hg n, g n+i F( n+i, n+i ). Dann gil auf jedem kompaken Inervall [, +T] d.h., es lieg Konvergenz vor. lim h n + nh h = (), Abschließende Bemerkungen Im Allgemeinen können für die Inegraion von unseigen Aufgaben die folgenden Verfahren gewähl werden: 1. Explizie RKV 2. Explizie und sark sabile MSV. Bei den folgenden Mehoden is Vorsich geboen: 1. Implizie RKV und sark sabile implizie MSV können verwende werden, allerdings können die Verfahren bei der Auflösung der implizien Gleichungen versagen 2. Exrapolaionsverfahren auf der Basis der Mielpunkformel (nich sark sabil) sind ungeeigne. 3. Schriweienseuerungen können die Inegraion behindern oder sogar ausschließen. 6.3 Smplekische Inegraion Die Bewegung eines Körpers in einem Kraffeld mi dem Poenial V führ auf die Hamilonfunkion H(q,p) = p 2 2m + V(q) mi der verallgemeineren Koordinaen q und den verallgemeineren Impuls p = mq&, m>, Die oale Ableiung von H nach der Zei d d H = H(q, p)q&+ H(q, p)p&. 65

8 und Nullsezen führ zu den Hamilonssem q& = H p (q, p) p& = H (q, p). Enlang einer Lösung des Hamilonssems gil dann (Erhalungsgröße) q H( ξ ) = cons Die Praxis zeig, dass es mi Differenzenverfahren i.a. nich möglich sein wird, diese Erhalungsgröße über längere Zeien zu gewährleisen. Ersaunlicherweise kann aber eine andere Erhalungsgröße eingehalen werden. Gegeben sei jez eine zweimal seig differenzierbare Funkion H : R 2 R 2 und das zugehörige Hamilon Ssem. H(q, p) Es bezeichne q(;, (q,p )) und p(;, (q,p )) die Lösung des Hamilonssems zu den Anfangsbedingungen q( ) = q und p( ) = p. Der Fluss ϕ des Hamilonssems wird dann definier als mi ϕ : R 2 R 2 ϕ (q,p ) = (q(;, (q,p )), p(;, (q,p ))) Für eine Menge von Anfangsweren A R 2, heiß dann der Fluss von A zur Zei. ϕ (A) = { ϕ (a) / a A } Ein Theorem (Liouville) besag, dass für solche Sseme der Fluss Volumeninvarian is, d.h.: Vol ( ϕ (A)) = Vol (A) Es soll lediglich angedeue werden, wie dieses bewiesen werden kann: Is = (q,p) und '=f() das Hamilonssem, dann gil Vol ( ϕ (A)) = d = ϕ (A) A de( (,, )) d. Über bekanne Säze über Differenialgleichungen kann dann gezeig werden, dass 66

9 de (,, )) = exp( Spur (f ((s,, )) ds ) Bei Hamilonsseme is die Spur (f (.)) ses gleich Null und dami die Volumeninvarianz gezeig. Diese Erhalungsgröße bleib auch bei einer numerischen Inegraion mi der one-leg Version der Trapezregel erhalen. In diesem Zusammenhang wird dieses Differenzenverfahren häufig auch als implizie Mielpunksregel bezeichne Für das Hamilonssem ' = f(), () = ha die one leg Trapezregel die Form n+1 = n + hf(( n+1 + n )/2) oder n+1 = n + hk mi k = f( n +(1/2)hk) Ähnlich wie im koninuierlichen Fall, benöig der Nachweis der Volumeninvarianz einige bekanne Säze aus der Theorie der Differenialformen. Unermüdliches Rechnen führ zum Ziel. Wir wollen hier darauf verzichen und sadessen ein Beispiel angeben. Beispiel An einen massenlosen Band der Länge l, sei eine Punkmasse der Masse m befesig. Wir wollen das Pendel durch den Winkel α zwischen dem Band und dem Lo zum Boden beschreiben. J bezeichne das Trägheismomen des Massenpunkes. Mi der Erdbeschleunigung g wirk dann ein Drehmomen M = g m sin( α ). Dami laue die Bewegungsgleichung Jα& = gmsin( α) l,. Die Gesamenergie des Ssems is gegeben durch E( α, α& ) = (1/2)J 2 α& + mg(l-cos( α )l) Mi den Bezeichnungen p = J α& (Drehimpuls) und q = α ergib sich die Hamilonfunkion p 2 H(q,p)= + mg( l cos(q) l) 2J Mi g, l und m = 1 ergib sich das Hamilonssem q & = p p& = sin(q) Wird diese Aufgabe mi der implizien Mielpunksformel inegrier, dann ergib sich * : * Die Bilder wurden von Herrn Eike Scholz im Rahmen eines Proseminars im SS23 angeferig. 67

10 Der zugehörige Phasenplo ha die Form Die Volumeninvarianz zeig das folgende Bild 68

11 6.4 Algebro-Differenialgleichungen Wir berachen ein Ssem von Gleichungen ( F : R n *R n *R R n ) F(u',u, ) = (*) und nehmen an, dass f hinreichend of differenzierbar is. Die Gleichung (*) ha enlang einer Lösung den Differeniaionsindex m, wenn m die kleinse Anzahl von Differeniaionen m d d F(u',u, ) =, F(u', u, ) =,., F(u', u, ) = (**) m d d is, so dass aus den n*m Gleichungen (**) ein explizies Ssem von n Differenialgleichungen enseh. u' = ϕ (u, ) Beispiel Mi f,g : R*R R sei F(, z,, z) = = = f (, z) g(, z) Is ((),z()) eine Lösung dieser Algebro-Differenialgleichung, dann gil Andererseis is () f ((), z()) g((), z()) =. = 69

12 d d F(, z,, z) = g f f z = + g z =. z z Is g z, dann kann ein zugehöriges Ssem von Differenialgleichungen erser Ordnung erzeug werden z = g 1 z = g f (, z) = g 1 z g f (, z). Die folgende Tabelle gib Sellverreer für Algebro-Differenialgleichungen vom Index 1-3 an: Index Nichlinear Bedingungen Linear 1 ' = f(,z) = g(,z) g z a 22 ' = a 11 +a 12 z = a 21 +a 22 z 2 ' = f(,z) = g() g f z a 12 a 21 ' = a 11 +a 12 z = a 21 3 ' = f(,z) z' = k(,z,u) = g() g f z k u a 12 a 31 a 23 ' = a 11 +a 12 z z' = a 21 +a 22 z+a 23 u = a 21 Neben dem Differeniaionsindex gib es bei Algebro-Differenialgleichungen noch den Perurbaionsindex: Die Gleichung F(u',u, ) = ha den Perurbaionsindex m enlang einer Lösung u(.) auf [,T], wenn m die kleinse Zahl is mi û () - u() C ( û () - u() + Max ξ T δ (ξ) + + m Max δ 1 ( ξ) ) ξ T für alle û mi F( û (), û (), ) = δ (). Bemerkung Differeniaionsindex und Perurbaionsindex können sich im Fall m>1 unerscheiden. Für lineare Sseme mi konsanen Koeffizienen simmen Sie aber überein. Algebro-Differenialgleichungen können sich im Unerschied zu gewöhnlichen Differenialgleichungen merkwürdig Verhalen. Dieses zeigen die folgenden Beispiele: 7

13 Ax' + Bx = f() 1 1 x' + f x = f 1 2 () () 5 1 x' + x = sin() 1 1 x' + f x = 1 f 1 2 () () I.a. nich lösbar Lösbar nur für besimme Anfangswere Lösungen hängen von Ableiungen ab (f ' 2 ) Die einfachse Mehode zur numerischen Inegraion einer Algebro-Differenialgleichung F(u',u, ) = beseh darin, dass implizie Euler Verfahren zu benuzen Bei einem linearen Ssem F( n h n n 1, n, n ) =. Au' + Bu = f() enseh das lineare Gleichungsssem (A+h n B) n = A n-1 +h n f( n ). Dami ergib sich für n i.a. ein Ssem von n nichlinearen Gleichungen. Leider funkionier diese Mehode nich immer (!), jedoch bei Index 1 Problemen gu. Saz 6.3 Die kanonische Index 1 Aufgabe ' = f(,z,) = g(,z,) werde mi dem implizien Euler Verfahren gelös. Der Anfangsfehler sei von der Größenordnung O(h), dann gil für den globalen Fehler n ( n ) = O(h) und z n z( n ) = O(h) für n - = nh < K. Dieses Ergebnis is leich einsehbar. Die numerische Inegraion mi dem implizien Euler Verfahren ensprich einer Inegraion von gewöhnlichen Differenialgleichungen mi diesen Verfahren (!): Berache ' = f(,z,) = g(,z,) 71

14 mi inverierbarem g z. Mi dem Saz über implizie Funkionen gil dann Das implizie Euler Verfahren ha die Form ' = f(, h(,), ). n h n n 1 = f( n, z n, n ) = g( n, z n, n ). Auflösung der zweien Gleichung nach z n liefer n h n n 1 = f( n, h( n, n ), n ). Dami lieg aber eine bereis bekanne Siuaion vor. Bemerkungen: Auf zwei Probleme soll noch hingewiesen werden: Bei der prakischen Inegraion einer Algebro-Differenialgleichung sind Anfangsbedingungen i.a. nich bekann (!) Bei der Auflösung der Gleichungen mi dem Newon-Verfahren (nichlinearer Fall) ha die Funkionalmarix die Neigung singulär zu werden (!) In der Regel sind (implizie) Verfahren für die Inegraion von seifen Ssemen auch für die Inegraion von Algebro-Differenialgleichungen gu. 72