Der Raum C liegt dicht in L p

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1 Universiä Posdam Vorlesung Funkionalanalysis, SS (Dr. Seen Frölic Maias Ludewig Marikelnummer Daum: Der Raum C lieg dic in L p Überblick Aus der Vorlesung is bekann, dass der Raum der seigen Funkionen mi kompakem Träger C 0 0 dic in L p lieg für p : Saz zur Approximierbarkei mi seigen Funkionen. Sei R ein oenes becränkes oder unbescränkes Inervall sowie p <. Dann gil a Der Raum C 0 0 ( dic in L p (. b L p ( is separabel. Für einen Beweis siee beispielsweise Dobrowolski. In diesem Papier soll gezeig werden, dass der Raum der unendlic of dierenzierbaren Funkionen C ebenfalls dic in L p lieg. Wir beweisen also folgenden Saz zur Approximierbarkei mi glaen Funkionen. Sei R ein oenes becränkes oder unbescränkes Inervall sowie p <. Dann lieg der Raum C ( dic in L p (, das eiÿ, zu jedem f L p ( und jedem ɛ > 0 exisier ein c C ( mi Falls bescränk is, bekomm man diesen Saz direk gescenk, sobald man den ersen Approximaionssaz beweis. Denn um zu zeigen, dass L p separabel is, approximier man eine L p -Funkion bekannlic mi einem Polynom mi raionalen Koezienen, welces dann naürlic scon beliebig of dierenzierbar is. Dieser Weg funkionier aber nic bei einem unbescränken Inervall, da die Polynome im unendlicen ausbrecen und nac ± sreben. Die L p -Funkionen fallen aber sclieÿlic auf Null. Man muss also einen Weg nden, beispielsweise die Polynomfunkionen irgendwie gla auf die Null zu füren. Die Idee bese darin, eine sogenanne Gläungsfunkion ϕ C mi einer Funkion f L p zu falen. Durc die Falung erb die Funkion die Dierenzierbarkei und das Falproduk f φ unersceide sic nur gering von der ursprünglicen Funkion f. Sowei die Grundzüge der Idee, wir wollen sie nun exak fassen, um sclieÿlic obigen Saz zu beweisen. Im folgenden is R ses ein bescränkes oder unbescränkes Inervall. p is eine fes gewäle relle Zal mi p, mi q bezeicnen wir die zu p konjugiere Zal, das eiÿ, diejenige Zal q, die p + q erfüll. Wir nemen nun eine Funkion f L p ( und wollen zeigen, dass es für jedes ɛ > 0 eine Funkion c C ( mi gib. Zunäcs noc eine kurze Bemerkung: Um von einer Menge T sagen zu können, dass sie dic in einer Menge M lieg, muss eigenlic zunäcs einmal T M sein. Im Allgemeinen gil aber gar nic C L p. Wenn wir also sagen, C liege dic in L p, so is naürlic sreng genommen gemein, dass C L p dic in L p lieg. Siee Dobrowolski: Angewande Funkionalanalysis. Heidelberg 2006, S.72

2 2 Die Gläungsfunkion Lemma. Die Funkion ψ : R R vermöge ψ ( is beliebig of dierenzierbar, also ψ C (R. Beweis. Zunäcs is ψ seig im Nullpunk, da { e, wenn > 0 0, wenn 0 lim ψ( lim 0 0 e 0, was mi dem linksseiigen Grenzwer übereinsimm. Zu zeigen bleib, dass die recsseiige Ableiung im Nullpunk mi der linksseiigen übereinsimm. ( Wir werden zeigen, dass im Fall > 0 für die Ableiungen gil ψ (k ( P 2k e, wobei P 2k ein Polynom vom Grade 2k is. Daraus folg dann die Beaupung, denn wegen lim ψ( lim P 2k 0 0 ( e 0 für alle Polynome P 2k is der recsseiige ses Grenzwer gleic dem linksseiigen Grenzwer. Nun der Beweis der Beaupung zur Ableiung mi Indukion über k. Für k 0 is die Beaupung oenbar war. Für > 0 sei nun f (k ( P 2k ( e. Dann is ψ (k+ ( ( 2 P 2k ( [P 2 2k P 2(k+ ( e + P 2k ( e ( 2 P 2k ] e e Wegen verscwinde die recsseiige Ableiung von ψ im Nullpunk ses, simm also mi der linksseiigen Ableiung überein. Dami is ψ im Nullpunk beliebig of dierenzierbar. Wir denieren nun sowie ϕ ( aψ ( 2 ( mi a ψ ( s 2 ds. ϕ η ( η ϕ ( η Der Fakor a sicer ϕ η. Oenbar is ϕ η eine gerade Funkion und genau wie ψ beliebig of dierenzierbar (Verkeung von zwei C -Funkionen is selber C. Der Clou is aber, dass ϕ η im Gegensaz zu ψ bescränk is und einen kompaken Träger besiz, es gil nämlic supp (ϕ η [ η, η]. Wir wollen dies kurz fesalen. Lemma 2. Für die oben deniere Funkion ϕ η gil a ϕ η is bescränk. b supp (ϕ η [ η, η]. 2

3 3 Die Falung Da ϕ η bescränk is und einen kompaken Träger besiz, is ϕ η in L r ( für alle r, insbesondere also in L q (, dem konjugieren Raum zu unserem fesgewälen Raum L p (. Die Maÿeorie ler, dass das Produk f ϕ η (zur Erinnerung: f L p ( war unsere zu approximierende Funkion messbar is und aus der Hölderscen Ungleicung folg, dass f ϕ η in L ( lieg. Also exisier f ϕ η und die Funkion T η f ( f(sϕ η ( sds is woldenier. Dieser Vorgang nenn sic Falung von f und ϕ η, man screib T η f f ϕ η. Die Falung is eine Operaion auf der Menge der messbaren Funkionen, sie is assoziaiv, kommuaiv und disribuiv, was nic scwer zu beweisen is. Diese Resulae benöigen wir für unsere weieren Unersucungen auc nic. Uns ineressier vielmer folgendes: Lemma 2 sag insbesondere, dass ses gil +ɛ f(sϕ η ( sds f(sϕ η ( sds Der Funkionswer von T η f an der Selle is also eine Ar gewicee Mielung über das Inervall [ η, + η], das bedeue, die Falung von f mi ϕ η merz Ausreiÿer aus und wirk gläend auf f. Es gil sogar folgendes Lemma 3. Die Funkion T η f is auf ganz seig und beliebig of dierenzierbar, es gil also in T η f C. Für die Ableiung gil (T η f (k ( f(sϕ (k η ( sds. ɛ Beweis. Da Translaion und Spiegelung seig sind 2 und das Lebesgue-Inegral ein seiges Funkional is, is T η f seig. Wir bilden den Dierenialquoienen. [ lim (T ηf( + T η f( lim lim lim f(sϕ η ( + sds f(s [ϕ η ( + s ϕ η ( s] ds [ ] ϕη ( + s ϕ η ( s f(s ds ] f(sϕ η ( sds Wir braucen nun ein Argumen, Grenzwerbildung und Inegraion zu verauscen. Nac dem Mielwersaz der Dierenialrecnung gil ϕ η ( + s ϕ η ( s ϕ η( s + ξ für ein ξ [0, ]. Die erse Ableiung ϕ η is oenbar ebenfalls bescränk und a kompaken Träger, so dass ϕ η exisier. Wir bilden einfac einen Kasen um ϕ η und muliplizieren dann mi f, dann aben wir eine inegrierbare Majorane gefunden. Ausfürlic aufgescrieben is das dann f ϕ η χ x [ η,++η]. (Acung: f ϕ η is im allgemeinen keine Majorane, da zwar f L p, aber nic unbeding in L lieg. Auf einer kompaken Teilmenge is f aber normal inegrierbar. Nun können wir den Saz von Lebesgue über majorisiere Konvergenz anwenden. Dami gil mi 0 ξ lim [ ] ϕη ( + s ϕ η ( s f(s ds lim f(sϕ η( s + ξds f(s lim ϕ η( s + ξds f(sϕ η( sds 2 Vgl. Dobrowolski: Angewande Funkionalanalysis. Heidelberg 2006, S.73 3

4 das eiÿ f C. Der Res der Beaupung, f C k für alle k N folg mi Indukion über k. 4 Approximaion Wir wollen nun zeigen, dass die Gläung T η f von f in der Norm nic sark von f abweic. Dazu dien zunäcs folgendes Lemma. Lemma 4. Für f L p ( gil T η f L p ( und T η f p f p. Beweis. Wir benuzen die Hölder-Ungleicung. T η f ( f(sϕ η ( sds f(sϕ η ( s ds f(sϕη ( s p ϕη ( s q ds Hölder ( ( f(s p p ϕ η ( sds ϕ η ( sds ( f(s p p ϕ η ( sds } {{ } Wir bilden auf beiden Seien die p-norm, ereben die Ungleicung in die p-e Poenz und folgern mi dem Saz von Fubini T η f p p T η f p ( d f(sϕ η ( sds d f(s p ϕ η ( sds d Fubini f(s p ϕ η ( sd ds f(s p ϕ η ( sd ds f(s p ds f p p Wir wollen nun zeigen, dass T η f f p 0 für η 0. Hier ergib sic jedoc die Scwierigkei, dass der Beweis auf dem Mielwersaz der Inegralrecnung beru, der naürlic nur für seige Funkionen auf einem Inervall gil. Wir zeigen die Beaupung also zunäcs für seige Funkionen mi kompakem Träger. Dies is aber nic weier sclimm, da jede inegrierbare Funkion bekannlic durc C 0 0-Funkionen approximier werden kann. Zur Erinnerung 3 : Mielwersaz der Inegralrecnung. Seien f, ϕ : [a, b] R seige Funkionen und ϕ 0. Dann exisier ein ξ [a, b], so dass b a f(xϕ(xdx f(ξ b a ϕ(xdx. q Lemma 5. Sei u C 0 0. Dann gib es zu jedem ɛ > 0 ein η η(ɛ, so dass gil T ηu u p < ɛ. T η u konvergier also in der p-norm gegen u. 3 Siee Forser: Analysis. Wiesbaden 2006, S.72 4

5 Beweis Es gil T η u u p ( u(sϕ η ( sds u( u(sϕ η ( sds u( ϕ η ( sds }{{} +η (u(s u( ϕ η ( sds (u(s u( ϕ η ( sds MWS η +η (u(ξ u( ϕ η ( sds mi ξ [ ɛ, + ɛ] η u(ξ u( 0 für η 0. Die Funkionenfamilie T η u konvergier also punkweise gegen u. Da aber u und dami auc T η u einen kompaken Träger aben, is die Konvergenz sogar gleicmäÿig. Daraus folg T η u u p 0 für η 0. 5 Scluss Wir aben nun alles beisammen um den Saz aus dem ersen Abscni zu beweisen. Wir wiederolen in noc einmal: Saz zur Approximierbarkei mi glaen Funkionen. Sei R ein oenes becränkes oder unbescränkes Inervall. Dann lieg der Raum C ( dic in L p (, das eiÿ, zu jedem f L p ( und jedem ɛ > 0 exisier ein c C ( mi Beweis. Seien f L p (, ɛ > 0 gegeben. Da C0 0 ( dic in L p ( lieg, können wir ein u C0 0 ( wälen, so dass f u p < ɛ 3. Zunäcs bemerken wir, dass wegen Lemma 4 gil: T η f T η u p f(sϕ η ( sds u(sϕ η ( sds p (f(s u(s ϕ η ( sds p T η (f u p f u p Wegen Lemma 3 is T η f C (. Zu zeigen bleib, dass es ein η gib, so dass T η f f p < ɛ. Dies ergib sic mi der Dreiecksungleicung. Wir wälen η so klein, dass T η u u p < ɛ 3. Dann gil T η f f p T η f T η u + T η u u + u f p T η f T η u p + T η u u p + u f p f u p + ɛ 3 + ɛ 3 ɛ ɛ 3 ɛ, wobei am Ende noc einmal Lemma 5 angewand wurde. 5