5.10 Der Hamilton-Jacobi-Formalismus

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1 5.10 Der Hamilon-Jacobi-Formalismus Der Hamilon-Jacobi-Formalismus Welle-Teilchen Dualismus Wir berachen die Ausbreiung von Lich in einem Medium mi veränderlicher Lichgeschwindigkei. Es sei x 0 ein Punk von dem ein Lichsrahl ausgeh. Wie können uns einen weieren Punk x 1 wählen und den Weg, den das Lich zurückgeleg ha nach dem Fermaschen Prinzip als den Weg der kürzesen Zei besimmen. Für alle x 0 besimmen wir S x0 (x) als die Zei, die das Lich nach dem Fermaschen Prinzip von x 0 nach x brauch. Wir geben uns einen Zeipunk > 0 vor und berachen die Menge aller Punke, die das Lich nach dem Fermaschen Prinzip in dieser Zei, ausgehend vom Punk x 0 gerade erreichen kann. S x0 (x) sei die kürzes mögliche Zei von x 0 zum Punk x. Die gesuche Menge is offenbar Φ x0 () = { x S x0 (x) } Sie (oder ihr Rand) wird Wellenfron genann und is wohl definier. Es is klar, daß Φ x0 () Φ x0 ( ) für <. Die Grenze dieser Menge Φ x0 () würde man auf den ersen Blick als Φ x0 () = { x Sx0 (x) = } definieren, was im allgemeinen aber falsch is, da sich Lichwege kreuzen können. Wir sezen diese Gleichhei deshalb voraus. Inuiiv kann man sich vorsellen, daß das für kleine Zeien der Fall is. Ewa wenn die Zeien kleiner sind als das Lich von x 0 zu einem Spiegel benöig. Des weieren nehmen wir an, daß sich die Wellenfronen monoon ausbreien: Es sei Φ x0 (s) Φ x0 () für s. Außerdem soll sie keine Lücken haben: Es gebe zu jedem Punk x Φ x0 () einen Punk s mi x Φ x0 (s). Wir berachen jezeinen Punk xaufdem Randdieser Menge(der eigenlichen Fron)Φ x0 () und berachen die Wellenfron Φ x (s) für ein s > 0. Es gil folgender Saz (Huygenssches Prinzip): Nach Chrisiaan Huygens ( ). Es gil Φ x0 (+s) = Φ x0 () Φ x (s) x Φ x0 () wobei Φ x0 (+s) die Wellenfron is, die sich nach einer Zei +s gebilde ha. Beweis: = Es sei x 1 Φ x0 (+s). Der Weg x 0 x 1 schneide Φ x0 () in einem Punk x 2. Das Lich brauch für den Weg x 0 x 2 die Zei und folglich für den Weg x 2 x 1 die Zei (+s) = s. Dami is x 1 Φ x2 (s) und dami in der Vereinigung aller Φ x (s). = Wir nehmen an, daß es einen Punk x 2 Φ x0 () gib, zudem es einen Punk x 1 Φ x2 (s) mi x 1 Φ x0 (+s) gib. Das heiß, die beiden Wellenfronen Φ x0 (+s) und Φ x2 (s) berühern sich nich sondern schneiden sich. Der Weg x 0 x 2 x 1 schneide Φ x0 (+s) in einem Punk x 3 Φ x2 (s). Es gib also ein s < s, sodaß der Weg x 0 x 2 x 3 in kürzerer Zei, nämlich s + < s+ zurückgeleg werden kann. Das is aber ein Widerspruch zu x 3 Φ x0 (+s). Dami können wir den Prozeß der Lichausbreiung auf zwei Weisen beschreiben: 1) Als Teilchensrahlen (kürzese Lichausbreiungswege): Der Weg wird lokal definier durch das gegebene Geschwindigkeisfeld, d.h., die lokale Geschwindigkei des Liches als Teilchen 2) Als Wellen: Bewegung von Wellenfronen.

2 184 5 DYNAMIK Das Huygenssches Prinzip sag aus, daß sich Wellenfronen wie Halbgruppen verhalen oder mi anderen Woren ein Markowprinzip erfüllen. Es is klar, daß diese Ar der Beschreibungen nichs dami zu un ha, daß es sich um Lich handel. Alle maeriellen Objeke, die sich mi einer Geschwindigkei ausbreien, lassen sich so beschreiben. Bei maeriellen Teilchen is die lokale Ar der Ausbreiung offensichlich und scheinbar eindeuig. Keiner komm auf die Idee, ewa eine Billiardkugel als Welle zu beschreiben. Möche man dennoch mechanische Bewegungen al swelle beschreiben, is die Frage, welche größe man als Wellenfron inerpreieren kann. Dazu biee sich die Wirkung also das Zeiinegral über der Lagrangefunkion an. Dem Prinzip der kleinsen Wirkung ensprich dann das Fermasche Prinzip. Für den Beweis des Huygensschen Prinzips war es wichig, daß es sich um Wege der kürzesen Zei handele. Dasselbe gil für die Wirkung. Die Halbgruppeneigenschaf kann also nur für die Fronen der kleinsen Wirkung erware werden. Das zeig, daß es sich hier asächlich um ein Prinzip der kleinsen Wirkung und nich um ein Prinzip der exremalen oder saionären Wirkung handeln darf, aus dem die Lagrangegleichung hergeleie wurde. Zur Illusraion berachen wir das Problem im zweidimensionalen euklidischen Raum x R 2. Für fesen Zeipunk is die Menge Φ x0 () = { x Sx0 (x) = } eine Isolinie der Funkion S x0 (x). Im 2-D können wir uns S x0 (x) als Paraboloid im R 3 über R 2 vorsellen und Φ x0 () als Projekion der Isolinie S x0 (x) = auf den R 2. Für ein > befinde sich im R 3 die Isolinie S x0 (x) = oberhalb der Isolinie S x0 (x) =. Die Projekion der Isolinien in den R 2 erschein als eine sich ausbreiende Wellenfron. Die Richung dieser Ausbreiung im R 2 ensprich der Projekion des Gradienen von S x0 (x) (der Gradien seh senkrech auf der Isolinie!). Wir nennen ihn p = x S x0 (x). Je seiler der Gradien is, deso näher sind die Wellenfronen aneinander. Im allgemeinen is p ẋ, d.h. die Richung der Ausbreiung der Wellenfron muß nich mi der Richung der Teilchenbewegung übereinsimmen. Schon aus formalen Gründen geh das nich, denn p X und ẋ X Bemerkungen Kirchhoff ha bewiesen, daß man das Huygensche Prinzip aus den Maxwellgleichungen folgern kann. Ein Lichsrahl is die Spur oder Trajekorie eines fikiven Teilchens. Und umgekehr: Die Trajekorie eines realen Teilchens ha eine viruelle Wellenfron. Φ x0 (+s) is die Einhüllende aller Φ x (s). Die Wellenfron erfüll das Markow- oder Halbgruppenprinzip. Das deue darauf hin, daß sieeinegleichung derform d d Φ x 0 () = A ( Φ x0 () ) erfüllensollemieinemimallgemeinen nichlinearen Generaor A. So ene Gleichung gib es. Sie heiß Hamilon-Jacobi-Gleichung Definiion der Wirkung als Wellenfron Wir berachen jez die Dynamik eines physikalischen Sysems ewa eines Teilchens und fragen, ob es möglich is, auch für ein Teilchen soewa wie eine Wellenfron zu definieren und möglicherweise dafür eine Gleichung herzuleien. Als Analogie zum Fermaschen Prinzip des zeilich kürzesen Weges biee sich das Prinzip der kleinsen Wirkung an. Als Wellenfron können wir die Punke berachen, die von einem

3 5.10 Der Hamilon-Jacobi-Formalismus 185 Punk aus mi derselben Wirkung erreich werden. D.h., die Wellenfron is eine Funkion vom Anfangs- und Endpunk. Diese Wellenfron definieren wir ausgehend vom Lagrangeformalismus in folgenden Schrien: 1. Gegeben sei eine Lagrangefunkion L(x,y) und Anfangsposiion x( ) = x 0 und Anfangsgeschwindigkei ẋ( ) = v 0 unseres Teilchens. 2. Die Trajekorie des Teilchens, also die Kurve, die das Wirkungsfunkional minimier, genüg der Lagrangegleichung d dẋ L( x(),ẋ() ) x L( x(),ẋ() ) = 0 Uner rech allgemeinen Voraussezungen läß sich ses eine eindeuige Lösung diese Anfangswerproblems finden. Die Lösung x() häng von den Parameern der Aufgabe ab, also x() = x(;,x 0,v 0 ) Das is eine Trajekorie, die ein Teilchen beschreib, daß zum Zeipunk mi definieren Orkoordinaen und Geschwindigkei losgeschick wurde. 3. Uns ineressieren Trajekorien, die im Punk (x 0, ) saren und einen besimmen Punk x 1 zum Zeipunk 1 erreichen. D.h., wir müssen die Geschwindigkei v 0 so feslegen, daß dieser Punk erreich wird, also die Gleichung x 1 = x( 1 ;,x 0,v 0 ) (37) bezüglichv 0 lösen.angenommen,diesegleichungläßsichlösen.wirerhaleneinelösung v 0 (,x 0 ; 1,x 1 ). In die ursprüngliche Lösung eingesez, erhalen wir die Trajekorie X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = x ( ;,x 0,v 0 (,x 0 ; 1,x 1 ) ) Diese Trajekorie verbinde die Punke (x 0, ) und (x 1, 1 ) auf dem Weg mi der kleinsen Wirkung (nur solche Lösungen erfüllen die Lagrangegleichung). X(,x 0 ; 1,x 1 ) is also eine Lösung eines Randwerproblems für die Lagrangegleichung. Im Gegensaz zum Anfangswerproblem muß dieses Randwerproblem keine eindeuige Lösung besizen. Diese Frage is äquivalen zur Frage, ob die Gleichung (37) eine eindeuige Lösung besiz. Mi anderen Woren is das die Frage, ob es nur einen Weg mi kleinser Wirkung gib, der die Punke (x 0, ) und (x 1, 1 ) verbinde. Handel es sich um Lich, is klar, daß das nich der Fall sein muß. Ein ypisches Beispiel sind Kausiken, die durch Spiegelung an gebeugen Flächen ensehen. Wir nehmen im weieren an, ohne diese Frage näher zu unersuchen, daß die Lösung des Randwerproblems eindeuig is. Wir haben die Hoffnung, daß das z.b. der Fall is, wenn sich 1 nich wei von enfern is. Die Minimaliä des Wirkungsfunkionals wird im weieren nich benuz. Es wird ses angenommen, daß die reale Trajekorie die Lagrangegleichung erfüll. Das is auch der

4 186 5 DYNAMIK Fall, wenn die reale Trajekorie nich das globale Minimum des Wirkungsfunkionals sondern ein beliebiger lokaler Exremwer is. Das is der Grund, warum der Hamilon-Jacobi- Formalismus auch dann angewende werden kann, wenn (37) eigenlich nich eindeuig lösbar is. Wie of in der Physik leien wir uner speziellen Bedingungen eine Gleichung her, die wir dann in allen Fällen, in denen sie und ihre Lösung einen Sinn haben, anwenden, auch wenn das Fälle sind, für die die Herleiung nich gerechferig is. 4. Die Trajekorie X(;,x 0 ; 1,x 1 ) ha folgende Eigenschafen, die zum Teil offensichlich sind oder die man sich leich klar machen kann. Zu beachen is, daß X,x 1 X, sodaß im Fall, daß ;,x 0 ; 1 fes sind, X : X X. Dami is die Frecheableiung X : X X ein linearer Operaor. X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = x 0 =0 X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = x 1 =1 X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = X( ;,x 0 ; 1,x 1 ) = x 0 = O =0 X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = X( 1 ;,x 0 ; 1,x 1 ) = x 1 = I =1 X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = X( ;,x 0 ; 1,x 1 ) = x 0 = 0 1 =0 1 1 X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = 1 =1 X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = v 1 =1 Die leze Gleichung mach man sich schnell an einem Bild klarmachen. Wir berachen X zu drei Zeien = 1 ε, 1, 1 + ε. Außerdem berachen wir eine andere Lösung X(;,x 0 ; 1 ε,x 1 ),fürdiederpunkx 1 zurendzei 1 εerrecihwurde.dannisx( 1 ε;,x 0 ; 1 ε,x 1 ) = x 1. Wir nehmen an, daß diese Trajekorie für = 1 ewa (modulo kleiner Unerschiede bezüglich ε) denselben Punk erreich ha, wie X(;,x 0 ; 1,x 1 ) zum Zeipunk = 1 +ε. Es sei also X( 1 +ε;,x 0 ; 1,x 1 ) X( 1 ;,x 0 ; 1 ε,x 1 ) Dann erhäl man X(;,x 0 ; 1,x 1 ) 1 =1 1( = lim X(1 ;,x 0 ; 1,x 1 ) X( 1 ;,x 0 ; 1 ε,x 1 ) ) = ε 0 ε 1( = lim X(1 ;,x 0 ; 1,x 1 ) X( 1 +ε;,x 0 ; 1,x 1 ) ) = ε 0 ε = X(;,x 0 ; 1,x 1 ) = v 1 =1 5. Ausgehend von der Lösung X(;,x 0 ; 1,x 1 ) berechnen wir die Wirkung S( 1,x 1 ;,x 0 ) = L ( X(;,x 0 ; 1,x 1 ),Ẋ(;,x 0 ; 1,x 1 ) ) d

5 5.10 Der Hamilon-Jacobi-Formalismus 187 Das is die asächliche Wirkung unserer realen Trajekorie. Sie is also das Minimum über alle viruellen Trajekorien. Wie erwähn benuzen wir das nich sondern benuzen nur die Lagrangegleichung. Ganz genau formulier, bedeue das: L(x, y) is gegeben. Es sei A(x,y) = L(x,y), B(x,y) = L(x,y). In A und B sezen wir die reale Trajekorie y x ein. Es sei a() := A ( X(;,x 0 ; 1,x 1 ),Ẋ(;,x 0 ; 1,x 1 ) ) b() := B ( X(;,x 0 ; 1,x 1 ),Ẋ(;,x 0 ; 1,x 1 ) ) (die Abhängigkeien von,x 0 ; 1,x 1 in a und b seienn weggelassen). Die Lagrangegleichung laue jez: d d a() b() = 0 Der Saz: X(;,x 0 ; 1,x 1 ) erfülle die Lagrangegleichung, bedeue: Wenn man mi X die angegebene Procedure ausführ, und dann a () b() berechne, komm raus Herleiung der Hamilon-Jacobi-Gleichung Im weieren suchen wir eine Gleichung, der die Funkion S( 1,x 1 ;,x 0 ) für variable Were 1,x 1 und fese Were,x 0 genüg. Dazu berechnen wir die pariellen Ableiungen von S bezüglich 1 und x 1. Wir erhalen: S = L ( X( 1 ;,x 0 ; 1,x 1 ),Ẋ( 1 ;,x 0 ; 1,x 1 )+ 1 [ ] + X, 1 L + Ẋ, 2 L d = 1 1 [ ] = L(x 1,v 1 )+ X, 1 L + Ẋ, 2 L d 1 1 Hier is mi 1 L und 2 L die Gaeaux-Ableiung von L bezüglich des ersen bzw. zweien Argumenes gemein. Anschließend werden dor die Argumene X bzw. Ẋ eigesez. Beide Ausdrücke sind Funkionale aus X, die mi Elemenen aus X gepaar werden. Imweierenwirdverwende, daßx dielagrangegleichungerfüll.deshalbkannansellevon 1 L auch d d 2L gesez werden. Mi der formalen Gleichung 1 L = d d 2L is ja 0 = d d ẊL L, X also die Lagrangegleichung gemein. Außerdem wird Ẋ = dx und d 1 Ẋ = d d 1 X benuz. Das ergib:

6 188 5 DYNAMIK 1 S = L(x 1,v 1 )+ 1 = L(x 1,v 1 )+ = L(x 1,v 1 )+ = L(x 1,v 1 ) [ ] X, 1 L + Ẋ, 2 L d = 1 1 [ X, d ] d 1 d 2L + X, 2 L d = d 1 d X, 2 L d = d 1 X, 2 L 1 1 X, 2 L = 1 = L(x 1,v 1 ) v 1,p( 1 ) 0,p( 1 ) = H(p 1,x 1 ) = = Im lezen Schri wurde verwende, daß ẊL gerade der Impuls an der Selle X( 1;,x 0 ; 1,x 1 ) is, also p( 1 ). Wir sezen p 1 = p( 1 ). Als nächses berechnen wir die parielle Ableiung von S bezüglich x 1 und machen weigehend dieselbenumformungen.dabeibeachenwir,daßdiepariellefreche-ableiung X : X X [ ein linearer Operaor is, dessen adjungiere X] : X X bei der Keenregel auf das ensprechende Funkional (Gaeux-Ableiung) wirk. 1 [[ ] [ ] S = X 1 L+ Ẋ 2 L] d = [[ ] [ ] d = X d 2L+ Ẋ 2 L] d = [ ] d = X 2 L d = d [ ] [ ] = X 2 L X 2 L =1 = I p( 1 ) Op( 1 ) = p 1 =0 Sez man jez diesen Ausdruck für p 1 in H(p 1,x 1 ) oben ein, erhäl man abschließend 0 = ( ) S +H S,x 1 1 Diese Gleichung heiß Hamilon-Jacobi-Gleichung. Sie is eine nichlineare parielle Differenialgleichung erser Ordnung und läß sich zusammen mi einem Anfangswer S(x 1, ) = S 0 (x 1 ) lösen. Im weieren lassen wir die Indizes weg und berachen folgendes Problem bezüglich einer gesuchen Funkion S(x, ) ( ) 0 = S(x,)+H x S(x,),x S(x,0) = S 0 (x) Hier haben wir einen allgemeinen Anfangswer S 0 (x) eingeführ. Ursprünglich sind wir von einem Teilchen, das im Punk x 0 sare ausgegangen. Bevor wir unersuchen, was für eine Funkion S 0 (x) in diesem Fall gesez werden muß und in welchem Sinne wir von allgemeinen Anfangsweren S 0 (x) sprechen können, berachen wir ein Beispiel.

7 5.10 Der Hamilon-Jacobi-Formalismus Formale Herleiung der Gleichung Es sei L(x,ẋ) = ẋ,p H(p,x) und S(x,) = L(x( ),ẋ( ))d Hieraus folg einerseis ds d = L(x,ẋ) = ẋ,p H(p,x) und andererseis ds d = S(x,)+ ẋ, x S(x,) Hieraus folg 0 = S(x,)+ ẋ, x S(x,) ẋ,p +H(p,x) sez man hier p = x S(x,) ein, erhäl man 0 = S(x,)+H( x S,x) Bemerkungen In diesem Kapiel is häufig von Welle-Teilchen Dualismus die Rede. Tasächlich sollen wir eher von Wellenfron-Teilchen Dualismus sprechen. Mi dem Fermaschen Prinzip und seiner Ensprechung, dem Prinzip der kleinsen Wirkung. bewegen wir uns nach wie vor im Rahmen der geomerischen Opik. Typische Charakerisika von Wellen wie Wellenlänge oder Frequenz gib es hier nich. Berache man allgemeine Wellenprozesse, so sell sich die HJE in ewa als Grenzfall sehr kleiner Wellenlängen heraus. In diesem Fall bewegen sich Wellen wie Teilchen. Die Berechnung der Wirkung S(x, ) ausgehend von der Lösung liefer ses die spezielle Lösung mi Anfangswer χ {x0 }(x). Es gib ersmal keine Herleiung für einen allgemeinen Anfangswer, da es im Gegensaz zu linearen Gleichungen hier kein addiives Superopsiionsprinzip gib. Es is ers einmal nich klar, wie verschiedenen Anfangswere gekoppel werden müßen. Deshalb wird die Gleichung mi einem allgemeinen Anfangswer posulier. Späer sell sich heraus, daß das richige Superopsiionsprinzip die inf-falung is.

8 190 5 DYNAMIK 5.11 Explizie Lösung der HJE fürs poenialfreie Teilchen Wir berachen den Fall der Bewegung eines Teilchens ohne äußeres Poenial, also die Lagrangefunkion L(x,y) = T(y) mi einer glaen und konvexen Funkion T mi T (0) = T(0) = 0, deren konvex adjungiere T (p) die Rolle der kineischen Energie spiel. Der Hamilonian is in diesem Fall H(p,x) = T (p). Der poenialfrei Fall is physikalisch wenig ineressan. Aus mahemaischer Sich sell er aber eine ineressane Aufgabe dar, die für in viele Bereiche der Mahemaik als Illusraion dien. Die HJE in diesem Fall wird auch sae-independen HJE genann. Das sae-independen bezieh sich darauf, daß H(p, x) nich von Zusand x abhäng. Bevor wir Hamilon-Jacobi-Gleichung ( ) 0 = S(x,)+T x S(x,) S(x,0) = f(x) mi einem allgemeinen Anfangswer lösen, berechnen wir für ein poenialfreies Teilchen mi Anfnagsor x 0 die Wirkung. Diese solle äquivalen zur Lösung der HJE mi dem S(x,0) = χ {x0 }(x) sein Die explizie Berechnung der Wirkung Die Lagrangegleichung is 0 = d d T (ẋ) = T (ẋ)ẍ Das führ auf die allgemeine Lösung (weil T > 0) x() = ( )v 0 +x 0 Das is die Lösung des Anfangswerproblems. Wir suchen mi seiner Hilfe die Lösung des Randwerproblems. D.h., wir suchen das v 0, sodaß x( 1 ) = x 1 gil. Das ergib sich aus der Gleichung ( 1 )v 0 +x 0 = x 1 Es exisier eine eindeuige Lösung v 0 = x 1 x 0 1 Das ergib für die Wirkung S(x 1, 1 ;x 0, ) = T ( Ẋ() ) ( ) x1 x 0 d = T ( 1 ) 1 Im weieren sezen wir = 0, 1 = x 1 = x und esen, ob diese Größe die Hamilon-Jacobi- Gleichung erfüll, die in diesem Fall folgende Form ha: 0 = S(x,)+T ( x S(x,))

9 5.11 Explizie Lösung der HJE fürs poenialfreie Teilchen 191 Wir haben ( ) x x0 S(x,) = T x x 0 ( ) x S(x,) = T x x0 ( ) ( ( )) T x x0 = T T x x0 Hierbei wurde die Darsellung der Legendreransformaion T (T (ξ)) = ξt (ξ) T(ξ) benuz. Um die Rolle des Anfangsweres zu versehen, unersuchen wir in S(x 1, 1 ;x 0, ) den Grenzwer 1. Offensichlich is dieser Ausdruck singulär. Im Fall x 1 = x 0 gil S(x 1, 1 ;x 0, ) = 0 für alle 1. Falls x 1 x 0 geh das Argumen in T gegen, wird aber mi einem linearen Ausdruck ( 1 ) 0 muliplizier. Da T konvex is, und deshalb särker als linear wächs, geh das Produk insgesam aber gegen. Wir haben also abschließend S(x 0 ) = S(,x 1 ;,x 0 ) = χ x0 (x 1 ) Das kann man physikalisch so versehen. S(,x 1 ;,x 0 ) = 0 is die Wirkung, die nöig is, um das Sysem vom Punk x 0 zum Punk x 1 zu überführen ohne das Zei vergeh. Diese Wirkung kann nur 0 werden für x 1 = x 0 ansonsen solle sie sein Die Hopfsche Lösungsmehode Eberhard Frederich Ferdinand Hopf (Hopf-Bifurkaionen, Wiener-Hopf-Mehode) enwickele folgende Mehode zur Lösung der Hamilon-Jacobi-Gleichung im poenialfreien Fall. Zur Lösung der Gleichung 0 = ( ) S(x,)+T x S(x,) S(x,0) = f(x) wird die Hilfsfunkion v y,q (x,) = f(y)+ x y,q T (q) berache. Offensichlich is v y,q(x,) = T (q) x v y,q(x,) = q Dami is v y,q (x,) für alle y,p Lösung der Gleichung. Allerdings is der Anfangswer nich erfüll. Es is v y,q (x,0) = f(y)+ x y,q Es müssen jez die Were y und q so gewähl werden, daß v y,q (x,0) = f(x). Offensichlich is y = x. Aber dami wird q nich fesgeleg, was bedeue, daß v y,q (x,) nich eindeuig is.

10 192 5 DYNAMIK Eine Möglichkei, y und q feszulegen, liefer die Formel aus der konvexen Analysis inf sup ( ) ( f(y)+ x y,q = inf f(y)+χ{0} (x y) ) = f(x) y y q Dami erhalen wir als Lösung S(x,) = inf sup v y,q (x,) = inf sup ( f(y)+ x y,q T (q) ) = y q y q ( ( )) x y = inf f(y)+ T y Die Probe Wir machen für X = R 1 die Probe: ( ( )) x y S(x,) = inf f(y)+t y Das inf wird an der Selle y angenommen, die Lösung der Gleichung ( ) x y f (y) T = 0 (38) is. Angenommen, diese Gleichung läß sich bezüglich y auflösen. Die Lösung sei y = g(x, ). Dann is ( ) x g(x,) S(x,) = f(g(x,))+t Wir esen, welche Gleichung diese Funkion erfüll. Davor berechnen wir noch T. Es is ( ) T (y) = sup xy T(x) x Hieraus folg 0 = ( ) xy T(x) = y T (x) = y = T (x) = x = T 1 (y) x Es is also T (y) = yt 1 (y) T ( T 1 (y) ) oder T ( T (x) ) = xt (x) T(x) (39) Jez können die Ableiungen von S berechne werden: S(x,) = f (g(x,)) ( ) x g(x,) g(x,)+t ( ) ( ) x g(x,) x g(x,) x g(x,) T g(x,) T = ( ( )) x g(x,) = f (g(x,)) T g(x,)+ ( ) ( ) x g(x,) x g(x,) x g(x,) + T T = [ ( )] x g(x,) = T T

11 5.11 Explizie Lösung der HJE fürs poenialfreie Teilchen 193 Hier wurde (38) und (39) benuz. Andererseis is x S(x,) = f (g(x,)) ( x g(x,) x g(x,)+t ( ( x g(x,) = f (g(x,)) T ) Das ergib zusammen S(x,) = T = T ( x g(x,) ( ) x S(x,) ) 1 g(x,) x )) x g(x,)+t = ( ) x g(x,) =