8.2 Die Theorie stetiger Halbgruppen im Banachraum

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1 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum Im weieren sellen wir einige allgemeine Aussagen der Theorie seiger Halbgruppen in Banachräumen zusammen. Späer werden wir uns auf die uns eigenlich ineressierenden seigen Halbgruppen von Markowoperoren ineressieren. Es sei X ein Bannachraum, X sein dualer und x bzw. x Elemene darin. Des weieren berachen wir lineare Operaoren, die X nach X abbilden und ihre adjungieren Operaoropologien Wir berachen eine Familie von Operaoren T() mi [, T]. Für so eine Famile gib es verschiedene Seigkeisbegriffe. Wir berachen den Grenzübergang s : T() heiß gleichförmig seig, falls T() T(s). T() heiß sark seig, falls T()x T(s)x für alle x X. T() heiß schwach seig, falls T()x, x T(s)x, x für alle x X und x X. T () heiß vage seig, falls x,t ()x x,t (s)x für alle x X und x X. Da wir nur Operaoren in einem dualen Raum berachen, die einen präadjungieren haben, is eine Operaorfamilie vage seig, gdw. die präadjungiere schwach seig is Seige Halbgruppen beschränker Operaoren Die Theorie seige Halbgruppen im Banachraum is sehr gu in pazy beschrieben. Eine Familie beschränker Operaoren heiß Halbgruppe, wenn T( + 2 ) = T( )T( 2 ) = T( 2 )T( ), 2 (2) T() = I (2) In Abhängigkei von der Topologe gib es gleichförmig, sark, schwach und vage seige Halbgruppen. Wir ineressieren uns in erser Linie für sark seige Halbgruppen und sezen im weieren diese Eigenschaf voraus. Der Grund dafür is, daß nur sark seige Halbgruppen im Zusammenhang mi Differenialgleichungen im Banachraum sehen. Saz: T() is sark seig T() is sark seig für =. Das folg aus der Halbgruppeneigenschaf und Beschränkhei der Halbgruppenoperaoren. Offensichlich is auch T () eine Halbgruppe beschränker Operaoren, falls T() eine is. Allerdings muß sie nich sark seig sein. Eine Halbgruppe zusammen mi einem Anfangswer x() generier eine Trajekorie x() = T()x(). Ziel im weieren is, feszusellen, in welcher Beziehung eine Trajekorie x(), generier von einer Halbgruppe, T() zur Gleichung ẋ() = Ax() seh.

2 32 8 MARKOWOPERATOREN UND KONTINUIERLICHE ZEIT Normalerweise wird neben der Seigkei noch ein gewisses Verhalen der Halbgruppe für große Zeien verlang, ewa T() Me ω für gewisses ω < und M >. Wir beschränken uns hier auf konrakive Halbgruppen. Das sind Halbgruppen mi der Eigenschaf T() (für Halbgruppen von Markowoperaoren gil sogar T() = ). Das is keine prinzipielle Einschränkung, denn durch geeignee Skalierung und Verschiebung läß sich aus einer Halbgruppe mi T() Me ω ses eine geeignee konrakive Halbgruppe konsruieren Unbeschränke Operaoren Ein Operaor A heiß unbeschränk, wenn es eine Folge x n gib mi x n = und Ax n. Ein unbeschränker linearer Operaor is nich seig, da ein linearer Operaor genau dann seig is, wenn er beschränk is. Dich definiere Operaoren: Ein beschränker Operaor A is auf ganz X definier. Unbeschränkhei bedeue, daß A nur auf einem Unerraum D(A) (Definiionsbereich) von X definier is. Is D(A) dich in X (kein abgeschlossener Unerraum, kein Banachraum in der Norm von X), dann heiß A dich definier. Zwei unbeschränke Operaoren zählen als verschieden, falls sie verschiedene Definiionsbereiche haben, auch wenn sie auf der Schnimenge übereinsimmen. Diese Bemerkung is wichig, weil man unbeschränke Operaoren of auf verschiedene Weise forsezen kann und die verschiedenen Forsezungen völlig verschiedene Eigenschafen haben können. Wir werden im weieren nur dich definiere unbeschränke Operaoren berachen. Abgeschlossene Operaoren: Ein Operaor (x n D(A), x n, Ax n x = x = ) Bemerkungen: Abgeschlossenhei bedeue, der Graph kann unbschränk sein, ha aber keine Lücken. Abgeschlossene Operaoren sind die nächsschlechen nach den beschränken. Operaoren, die nich abgeschlossen sind, sind weigehend unineressan. Z.B. is ihre Resolvenenmenge leer. Abschließbare Operaoren: Das sind Operaoren, die eine abgeschlossene Erweierung haben. Ein Operaor is abschließbar (x n D(A), x n, Ax n x = x = ) Adjungiere Operaoren: Es sei A ein auf D(A) definierer Operaor. Wir berachen Ax, x = x, y, x D(A) Es is sinnvoll, die Abbildung y = A x den zu A adjungieren Operaor zu nennen. Das is aber nur korrek, wenn y eindeuig definier is. Das is der Fall, wenn D(A) dich in X is. Für unbeschränke nich dich definiere Operaoren läß sich ein adjungierer Operaor nich (eindeuig) definieren.

3 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum 33 Der adjungiere eines unbeschränken Operaors is ebenfalls unbeschränk, muß aber nich dich definier sein. Hieraus folg: Unbeschränke Operaoren haben im allgemeinen keinen doppel adjungieren. Of werden die Begriffe dual und adjungier als Synonyme berache. Für Generaoren von Halbgruppen werden die Begriffe dual und bidual allerdings in einem anderen Sinn als adjungier und doppel adjungier verwende Generaoren seiger Halbgruppen Es sei T() eine sark seige Halbgruppe. Wir definieren die Menge D(A) = { x C lim (T()x x)} Die Menge D(A) is ses nichleer und linear. Auf D(A) definieren wir den Operaor A durch Ax = lim (T()x x) und nennen ihn Generaor der Halbgruppe T(). D(A) heiß Definiionsbereich des Generaors. Für ein λ ϱ(a) definieren wir die Resolvene R(λ) = (λi A) Es gil folgender Haupsaz der Halbgruppenheorie: Es sei T() eine sark seige konrakive Halbgruppe und A ihr Generaor mi dem Definiionsbereich D(A). Dann gil:. x D(A) = T()x D(A) für > 2. Die Abbildung x() x() = T()x() is sark differenzierbar gdw. x() D(A). 3. Es gil ẋ() = d x() = T()x() = AT()x() = T()Ax() = Ax() (22) d 4. Für alle x, > is T(s)xds D(A) und A T(s)xds = T()x x (23) 5. Für x D(A) gil T()x x = AT(s)xds 6. D(A) = X (A is dich definier)

4 34 8 MARKOWOPERATOREN UND KONTINUIERLICHE ZEIT 7. A is abgeschlossen 8. Für λ mi Re λ > exisier die Laplaceransformaion e λ T()xd und es gil λ ϱ(a) und R(λ) = (λi A) = e λ T()xd Der Beweis kann in pazy eingesehen werden. Bemerkungen: Der Saz sell einen Zusammenhang zwischen der Funkionalgleichung (2), der Exponenialfunkion und der Diifferenialgleichung (22), der aus der eindimensionalen Theorie gu bekann is. Im unendlich-dimensionalen Raum reen Besonderheien auf, weil A unbeschränk sein kann. Das äußer sich darin, daß die Diifferenialgleichung (22) nur für Elemene aus dem Definiionsbereich von A gil. Die allgemeine Gleichung is (23). Die Zuordnung zwischen Generaor und Halbgruppe is eineindeuig: Falls zwei Halbgruppen denselben Generaor haben (mi demselbe Definiionsbereich!), sind sie idenisch (für jedes dieselben Operaoren). Solle eine seige Halbgruppe sogar gleichmäßig seig sein, is ihr Generaor ein beschränker Operaor und umgekehr Wann is ein Operaor ein Generaor. Yoshida-approximaion Aus Sich der Anwendung is naürlich die umgekehre Frage von Ineresse: Wann is ein gegebener Operaor ein Generaor einer Halbgruppe oder: Welche Eigenschafen eines Operaors sind hinreichend um ein Generaor einer Halbgruppe zu sein. Beschränke Operaoren sind ses Generaor, da die Reihe e A gleichmäßig konvergier. Für unbeschränke Operoren gib es folgenden Saz (Hille-Yosida): Es sei A ein dich definierer abgeschlossener Operaor, Ê+ ϱ(a) und λr(λ). Dann is er Generaor einer seigen konrakiven Halbgruppe. Der Beweis dieses Sazes is in pazy enhalen. Er is konsrukiv. Kernpunk is die Definiion eines beschränken Operaors, der sogenannen Yosida-Approximaion A(λ) = λar(λ) = λ 2 R(λ) λi von A, deren Were auf D(A) sark gegen die Were von A konvergieren. Insbesondere gil lim λr(λ)x = x, x X λ lim A(λ)x = Ax, x D(A) λ e A(λ) x e A(µ) x A(λ)x A(µ)x lim λ ea(λ) x = T()x, x X

5 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum 35 Bemerkung zur Generaor-Eigenschaf: Die Frage, ob ein Operaor A ein Generaor is, bedeue lezlich, wann für einen gegebenen Operaor A das Cauchyproblem d d x() = Ax(), x() = x (24) lösbar is (wenn es lösbar is, wird die Lösung von einer Halbgruppe generier). Der obige Saz sag, daß das der Fall is, wenn die Resolvenenmenge nich leer is, wenn also die Gleichung (λ A)x = y für jedes y X eine Lösung x X besiz. Tasächlich is dami die Frage nach der Lösbarkei einer zeiabhängigen Gleichung auf die Lösbarkei einer zeiunabhängigen, aber von einem komplexen Parameer abhängigen Gleichung geführ worden. Das is beinahe eine Tauologie. Beide Gleichungen gehen durch die Laplaceransformaion ineinander über. Muliplizier man (24) mi e λ und inegrier über von bis erhäl man nach parieller Inegraion falls A nich explizi von der Zei abhäng die Gleichung λˆx(λ) x = Aˆx(λ) (also die Resolvenengleichung) wobei ˆx(λ) = e λ x()d die Laplaceransformaion von x() is. Die richige Definiion eines unbeschränken Operaors kann eine schwere mahemaische Aufgabe sein, die gleichbedeuend mi der Unersuchung der Lösbarkei von Gleichungen is. Das is gu bekann in der Theorie parieller Differenialgleichungen. Dor müssen insbesondere für Differenialoperaoren Randbedingungen richig gesell werden. Ers das definier den Operaor so, daß ensprechende Gleichungen lösbar werden. Der Beweis der Lösbarkei einer Gleichung läß sich aber nich auomaisieren. Das häng vom konkreen Operaor ab und davon, wie wir ihn definier haben. Wir können ungeschick sein und ihn so definieren, daß die Gleichung keine Lösung ha (z.b. zuviele oder zuwenige Randbedingungen). Wir ineressieren uns in erser Linie für die allgemeinen Eigenschafen von Halbgruppen und ihren Generaoren und nehmen deshalb im weieren ses an, daß ein gegebener Operaor in einer Gleichung vom Typ (24) ein Generaor is Einige Zusammenhänge Wir führen hier einige Zusammenhänge zwischen den Haupgrößen A, T() und R(λ) an, die im weieren häufig verwende werden. Die Formeln sind geschrieben als Zusammenhänge zwischen Operaoren. Diese gelen in dieser Form nur, wenn der Generaor beschränk is. Im allgemeinen gelen sie im sarken Sinn angewende auf Elemene des Definiionsbereiches von A bzw. angewende auf beliebige Elemene für die Operaoren T() und R(λ). Alle Operaoren kommuieren. λr A (λ) = λ e λ T()d = λ T() = e A = lim n ( n R A ( n A = T () = lim e (λ A) d = λ(λ A) (25) )) n = lim n ( I n A ) n (26) (T() I) = lim AλR(λ) (27) Der Grenzwer (26) is der Beweis der Konvergenz des implizien Eulerverfahrens.

6 36 8 MARKOWOPERATOREN UND KONTINUIERLICHE ZEIT Die Halbgruppeneigenschaf von T() führ auf eine analoge Beziehung zwischen verschiedenen Resolvenen (Hilber-Ideniä) T()T(s) = T( + s) (28) R(λ) R(µ) = (λ µ)r(λ)r(µ) (29) aus der weiere Eigenschafen der Resolvene folgen: R (λ) = R 2 (λ) R (n) (λ) = ( ) n n!r n+ (λ) Beweis von (29) aus (28): Es sei µ > λ T(s)T() = T( + s) T(s)R(λ) = R(λ) e µs T(s)ds = R(λ) e λ T( + s)d = ( = e λs e λ T()d s = e λs R(λ) e λs e λ T()d = R(λ) µ λ e(λ µ)s e λ e λs T()d = ) e λ T()d = e µs e λs ds e µs e λs e λ T()d = e λ T()d λ µ + R(µ) λ µ R(λ)R(µ) = R(λ) µ λ + R(µ) λ µ Asympoisch gelen folgende Zusammenhänge zwischen den Grenzweren der Resolvene und der Halbgruppe: lim lim λ λr(λ) = limt() = T() = I T() = T( ) λr(λ) = lim Insbesondere die zweie Zeile is eine brauchbare Mehode um die saionären Punke einer Halbgruppe zu berechnen. T( ) is der Projekor in den linearen Raum der saionären Punke. Für die Yosida-Approximaion gil außerdem T()g = lim e λ (λ) k k= k! ( λr(λ) ) kg = lim e λ e λ2 R(λ) g = = lim e (λ2 R(λ) λ) g = lim e λar(λ) g = lim e A λ g Sarke, schwache und vage Halbgruppen Für allgemeine Operaorfamilien gelen die üblichen Zusammenhänge der Toplogien: gleichmäßig = sark = schwach = vage. Die Halbgruppeneigenschaf is allerdings eine so sarke Vorraussezung, däs für Halbgruppen von beschränken Operaoren auch umgekehre Implikaionen gelen. Das is gu bekann aus der Theorie der Funkionalgleichungen im Ê. So folg aus der lokalen Beschränkhei einer Funkion f(x) zusammen mi der Funkionalgleichung f(x + y) = f(x)f(y) sofor die Analyiziä von f (siehe Abschni 3.2.). Für Halbgruppen in Banachräumen gil insbesondere

7 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum 37 T() is schwach seig = T() is sark seig à sei der schwache Generaor von T(). Dann is à = A. Zusammen mi der Äquivalenz von schwacher Seigkei von T() und vager Seigkei von T (). Folg aus der vagen Seigkei von T () auch die sarke Seigkei von T(). Die adjungierer T () einer sark seigen Halbgruppe is wieder eine Halbgruppe, allerdings nich unbeding eine sark seige. Zu T () läß sich der vage Generaor (mi Hilfe des vagen Grenzweres lim (T () I )) definieren. Außerdem läß sich zum Generaor A von T() der adjungiere Operaor A definieren. Beide Operaoren sind idenisch. A und A haben dieselbe Resolvenenmenge und es gil R(λ,A ) = R (λ,a). Aus der vagen Seigkei von T () folg nich die schwache (oder sarke) Seigkei von T (). Insbesondere muß A nich einmal dich definier sein. Deshalb is es im Allgemeinen auch nich möglich, eine Differenialgleichung für T () in X zu formulieren. Ineressier man sich für T (), gib es zwei Möglichkeien: ) Man lös die Gleichung (22) in D(A) und besimm auf diese Weise T(). Hieraus bilde man T () durch Adjunkion. Für gegebenen Anfangswer x erhäl man die Trajekorie in X dann aus x () = T ()x. Im allgemeinen läß sich die Halbgruppe T() nich explizi aus dem Generaor besimmen. Für Näherungsverfahren is zur Besimmung der Trajekorie mi Anfangswer x die folgende Mehode zu verwenden: 2) Gleichung (22) gil für x D(A) sark. Dami gil auch die Gleichung d d T()x, x = T()Ax, x hieraus erhäl man durch Adjunkion d d x, x () = Ax, x (), x D(A) (3) Das is eine Differenialgleichung in vager Form (nich zu verwechseln mi der schwachen Formulierung von Differenialgleichungen in reflexiven Banachräumen) Sörungsheorie Weiß man von einem Operaor A, daß er ein Genraor is, läß sich das auch von anderen Operaoren B beweisen, die in gewissem Sinn von A dominier werden. Dazu gib es eine Reihe von Sörungssäzen, die man z.b. in pazy nachlesen kann. Insbsondere is A + B Generaor, wenn B beschränk is. Is B unbeschränk, dann is grob gesag A + B Generaor, wenn D(B) D(A) und eine Abschäzung in der Ar von Bx Ax + c x möglich is.