Interpretieren und Argumentieren bei Funktionsgraphen

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1 Funkionen Funkionen. Eigenscafen von Funkionen Nacfolgend eine kurze Wiederolung aus Ingenieur-Maemaik verbunden mi einigen weieren Begriffen und Eigenscafen im Zusammenang mi Funkionen. Funkionen werden zur Darsellung und Bescreibung von Abängigkeien und Zusammenängen zwiscen Größen benöig. Diese Abängigkeien lassen sic in besimmen Fällen genau oder näerungsweise durc Formeln bescreiben. In Ingenieur-Maemaik aben wir bereis den Funkionsbegriff definier: Bei einer Funkion wird jedem Elemen aus der Definiionsmenge D genau ein Elemen aus der Weremenge W zugeordne. Man screib dafür: f: D W oder f: oder = f () Man bezeicne als unabängige Variable und als abängige Variable. Die unabängige Variable wird als Argumen oder Selle und die abängige Variable als Funkionswer an der Selle bezeicne. Definiionsmenge (oder Definiionsbereic): Menge der Elemene, durc die die unabängige Variable ersez werden kann. Weremenge (oder Bildmenge): Menge der Elemene, durc die die abängige Variable ersez werden kann. Die Darsellung von Funkionen kann beispielsweise durc Wereabellen, Formeln oder grafisc im karesiscen Koordinaenssem erfolgen. Beispiel. : Inerpreieren und Argumenieren bei Funkionsgrapen C, D a) Abb.. zeig in einem Weg-Zei-Diagramm die Far eines PKW. Dabei is s der vom Ausgangsor zurückgelege Farweg und die Zeidauer nac Anri der Far. Was kann aus dem Diagramm ennommen werden? Die Gescwindigkeien werden als gleicbleibend angenommen. b) Abb.. zeig in einem Gescwindigkeis-Zei-Diagramm den Farverlauf eines LKW. Kann man daraus ablesen, dass der LKW eine Zeilang bergauf oder bergab gefaren is? c) Ein kegelsumpfförmiger Beäler, der oben weier als unen is, wird gleicmäßig mi Wasser gefüll. Welcer der Grapen A, B oder C in Abb.. zeig die Abängigkei der Füllöe von der Fülldauer? s 00 km v 00 km/ ,,,,, Abb.. Abb min Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

2 . Eigenscafen von Funkionen A B C??? Abb.. L ösung Zu a) Der PKW fär eineinalb Sunden mi einer Gescwindigkei von 00 km/ (nac einer Sunde a er 00 km zurückgeleg) und enfern sic dabei 0 km vom Ausgangsor. Nac einer Farunerbrecung von einer alben Sunde beginn die Rückreise mi einer Gescwindigkei von 0 km/. Fünf Sunden nac Anri der Far erreic der PKW wieder den Ausgangsor. Zu b) Der LKW fär einige Minuen nac Beobacungsbeginn auf ebener Srecke mi gleicbleibender Gescwindigkei von 80 km/. Danac verringer sic die Fargescwindigkei bis auf ewa 0 km/, nimm dann wieder zu und erreic scließlic den anfänglicen Wer. Dieser Gescwindigkeisverlauf kann durc eine aufreende Sraßenseigung erklär werden, die zuers zunimm, dann aber wieder zurückge. Das Diagramm läss also die Deuung zu, dass eine Bergsrecke zu überwinden war. In diesem Fall wäre die Srecke danac wieder eben, allerdings auf größerer Höe als zuvor. Zu c) Auf Grund des weier werdenden Gefäßes seig die Füllöe immer langsamer an; daer wird der Füllvorgang durc den Grapen B bescrieben. Nullsellen Die Nullsellen einer Funkion = f () sind jene Sellen (also -Koordinaen), an denen der Funkionsgrap die - Acse scneide oder berür. D.. es gil f () = 0. Die Funkion in Abb.. a zwei (versciedene) Nullsellen: = und =. Monoonieveralen (Abb..) Abb.. 0 Nullsellen einer Funkion sreng monoon seigend Abb.. sreng monoon fallend sreng monoon seigend Monoonieveralen einer Funkion Eine Funkion = f () eiß in einem Inervall sreng monoon seigend (wacsend), wenn dor für zwei beliebige Sellen, gil: Für < is ses f ( ) < f ( ). Is dagegen für < ses f ( ) > f ( ), so eiß die Funkion dor sreng monoon fallend. Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

3 Funkionen Smmerieveralen Wir befassen uns mi zwei besonderen Fällen eines smmeriscen Veralens einer Funkion = f (), bei der mi auc zur Definiionsmenge der Funkion geör. Eine Funkion eiß gerade Funkion (Abb..6), wenn ir Grap smmerisc zur -Acse is. D.. f ( ) = f (). Eine Funkion eiß ungerade Funkion (Abb..7), wenn ir Grap punksmmerisc zum Koordinaenursprung is. D.. f ( ) = f (). f( ) f() f( ) f() Abb..6 Gerade Funkion Abb..7 Ungerade Funkion Beispiel. : Gerade oder ungerade Funkion? D Unersuce, ob die Funkion gerade oder ungerade is, und zeicne iren Grapen: a) = f () = + b) = f () = + c) = f () =. Lösung Zu a) f ( ) = ( ) + = + = f (), d.. die Funkion is gerade, ir Grap is smmerisc zur -Acse, Abb..8 a). Zu b) f ( ) = ( ) + ( ) = ; dies is weder gleic f () noc f (); die Funkion is weder gerade noc ungerade, Abb..8 b). Zu c) f ( ) = ( ) = = f (), d.. die Funkion is ungerade, ir Grap is punksmmerisc zum Koordinaenursprung, Abb..8 c). = + 0 = = Abb..8 a) Abb..8 b) Abb..8 c) 6 Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

4 . Eigenscafen von Funkionen Erema (Maima und Minima) von Funkionen Abb..9 lokales Maimum lokales Minimum lokales Maimum Eine Funkion = f () besiz an der Selle 0 ein lokales Maimum f ( 0 ) bzw. lokales Minimum f ( 0 ), wenn für alle 0 in einer gewissen Umgebung von 0 gil: f ( 0 ) > f () bzw. f ( 0 ) < f (). Im Ramen der Zeicengenauigkei lies man aus Abb..9 ab: Die Funkion besiz sowol an der Selle wie auc an der Selle 7 ein lokales Maimum. An der Selle befinde sic ein lokales Minimum. Die Maima beragen ewa 0 bzw. 7,, das Minimum ewa,. Das Wor lokal weis darauf in, dass nur eine Aussage über einen im Allgemeinen eng begrenzen Bereic gemac wird. Beispiel. : Eigenscafen von Funkionen C Lies aus dem Funkionsgrapen in Abb..0 im Ramen der Zeicengenauigkei Eigenscafen der Funkion im Zeicenbereic ab. Lösung Nullsellen:,7; 0;,7 Monoonie: Die Funkion is in den Inervallen [ ; ] und [; ] sreng monoon seigend und im Inervall [ ; ] sreng monoon fallend. Smmerie: Ungerade Funkion, weil für alle gil: f ( ) = f (), der Grap is punksmmerisc zum Koordinaenursprung., 0, 0 0,, Periodiziä: Nic periodisc. Erema: Lokales Maimum vom Wer an der Selle ; lokales Minimum vom Wer an der Selle. Abb..0 Beispiel. : Polselle einer Funkion C Unersuce den Grapen der Funkion = in der Näe der Selle = 0. Lösung Die Funkion is für alle reellen Zalen definier ausgenommen die Zal 0, da eine Division durc null nic definier is. Bei = 0 lieg also eine Definiionslücke vor. Es frag sic, wie sic die Funkion in der Näe dieser Selle veräl. Wir unersucen dies an Hand einer Wereabelle. Abb.. zeig den Grapen der Funkion. Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0 7

5 Funkionen = f () 0, 0, 0, 0 0,0 00 0, , ,0 00 0, 0 0, Abb.. Näern sic die -Were von links der Selle 0, so werden die -Were unendlic groß im negaiven Bereic. Näern sic die -Were von recs der Selle 0, so werden die -Were unendlic groß im posiiven Bereic. Die ier vorliegende Definiionslücke bei 0 wird eine Unendlickeisselle oder Polselle der Funkion = genann. Die -Acse und auc die -Acse sind so genanne Asmpoen der Funkion =. Eine Asmpoe einer Funkion is eine Gerade, welcer der Grap dieser Funkion beliebig nae komm, one sie zu berüren. Periodisce Funkion (Abb..) p p Eine Funkion = f () eiß periodisc, wenn es eine Zal p > 0 gib, so dass gil: f () = f ( + p). Eine solce Zal wird Periode der Funkion genann. Abb.. Periodisce Funkion Mi p is auc p, p usw. Periode der Funkion. Ire kleinsmöglice Periode wird primiive Periode oder meis kurz nur Periode genann. Beispiel. : Versciebung eines Funkionsgrapen in -Ricung C, D a) Gegeben sind die drei Funkionen () = () = ( ) () = ( + ). Die Grapen () und () geen aus dem Grapen () durc Versciebung ervor. Begründe dies miilfe der Wereabellen und zeicne danac die drei Grapen. b) Versciebe den Grapen der Funkion = + + um drei Eineien in -Ricung nac recs und die Gerade = + um eine Einei nac links. Wie lauen die neuen Funkionsgleicungen? 8 Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

6 . Eigenscafen von Funkionen L ösung Zu a) Die drei Funkionen besizen die gleicen Funkionswere, jedoc an unersciedlicen Sellen. Diese reen bei der Funkion = ( ) um zwei Eineien nac recs, bei der Funkion = ( + ) um zwei Eineien nac links in -Ricung verscoben auf. Abb.. a) und Abb.. b) zeigen die Versciebungen der Grapen. = = ( ) = ( + ) = = ( ) 0 Abb.. a) Versciebung nac recs = ( + ) Abb.. b) Versciebung nac links Zu b) Das Argumen in = + + is durc zu ersezen: = ( ) + ( ) + = Das Argumen in = + is durc + zu ersezen: = ( + ) + = +. Zeicne die Grapen vor und nac der Versciebung! Verallgemeinernd kann fesgesell werden: 0 = Für a > 0 verscieb sic der Grap von = f () in -Ricung um a nac recs, wenn = f ( a) um a nac links, wenn = f ( + a) Wie kann man angeben, wie sark sic eine Funkion änder? Gegeben is eine Funkion = f (), die im Inervall [a, b] definier is, ewa die Tagesemperaur über eine gewisse Zeispanne oder der Preis eines Arikels über eine besimme Anzal von Jaren. f (a) und f (b) sind ire Were am Anfang und Ende dieses Inervalls, kurz ir Anfangswer und ir Endwer. Wie fragen nac einem Maß für die Änderung der Funkion im beraceen Inervall. Üblice Änderungsmaße sind nacfolgend zusammengesell. Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0 9

7 Funkionen Änderungsmaße einer Funkion = f () in einem Inervall [a, b]: f (b) f (a) absolue Änderung, kurz: Änderung f (b) f (a) f (a) = Endwer Anfangswer Anfangswer f (b) f (a) b a relaive Änderung (absolue Änderung relaiv zum Anfangswer); of in % ausgedrück und dann als prozenuelle Änderung bezeicne Differenzenquoien: Maß, wie sark die Funkion im Miel pro Einei in [a, b] seig bzw. fäll. Der Differenzenquoien sag nics über den genauen Verlauf der Funkion in [a, b] aus! Er is auc gleic der Seigung der Geraden durc die Punke des Funkionsgrapen an den Sellen = a und = b Beispiel.6 : Änderungsmaße B, C Gegeben is die Funkion = + 6 (Abb..). Gib die absolue Änderung, die relaive Änderung und den Differenzenquoien im Inervall [, 8] an. Lösung Anfangswer f () = + 6 = ; Endwer f (8) = 6. Absolue Änderung: f (8) f () =. Endwer Anfangswer Relaive Änderung: = 6 =. Anfangswer Wegen = 00 = 00 % is dies eine prozenuelle Änderung von 00 % des Anfangsweres. 00 Differenzenquoien: 6 = 0,. Man kann daer 8 sagen, dass die Funkion im Inervall [,8] im Miel um 0, pro Einei seig, insgesam auf Grund der Länge 6 des Inervalls also um 6 0,. Der Differenzenquoien is gleic der Seigung der Geraden g (Abb..) durc die beiden Punke P und Q an den Randsellen des Inervalls. Aufgaben.7 A Ein Farzeug fär drei Sunden lang gleicbleibend mi einer Gescwindigkei von 90 km/. Zeicne für diesen Zeiraum ein passendes Weg-Zei- und ein Gescwindigkeis-Zei-Diagramm der Far..8 C Angenommen, der Sar einer PKW-Far erfolg so, wie es das Gescwindigkei-Zei- Diagramm in Abb.. zeig. Welces der drei nacfolgenden Weg-Zei-Diagramme A, B oder C komm dann für diese Bewegung in Frage? Begründe, warum die anderen Diagramme nic möglic sind. v s A s B s C 7 6 P Abb.. Periodisce Funkion g Q = + 6 Abb.. 0 Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

8 . Eigenscafen von Funkionen.9 Eine Kugel roll auf einer unebenen Unerlage wie in A Abb..6. im Querscni gezeig. Wie könne das Gescwindigkeis-Zei-Diagramm dieser Bewegung ausseen? Abb..6.0 Versciedene Gefäße werden gleicmäßig mi Wasser gefüll. Für jedes Gefäß ergib C sic eine andere Abängigkei der Füllöe von der Fülldauer. Welcer Grap der Füllöe geör zu welcem Gefäß? A B C D E F 6. Ein Gefäß wie abgebilde wird gleicmäßig A mi Wasser gefüll. Skizziere einen dazu passenden Grapen der Füllöe in Abängigkei von der Fülldauer. a) b). Prüfe, ob die Funkion = f () gerade oder ungerade is, und zeicne iren Grapen: D a) f () = b) f () = c) f () = ( ) ( + ) d) f () = +. Lies aus dem Funkionsgrapen im Ramen der Zeicengenauigkei Eigenscafen C der Funkion im Zeicenbereic ab. a) b) c) d) Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

9 Funkionen e) f). Gegeben is die Funkion a) = b) = ( ) ( ). Selle die Selle(n) fes, an denen die Funkion nic definier is. Unersuce sodann an Hand einer Wereabelle, wie sic die Funkion in der Näe einer solcen Definiionslücke veräl und zeicne iren Grapen. Was kann daraus über die Funkion gesag werden?. Ermile die Periode folgender ausscnisweise grafisc dargeseller Funkionen. C a) b) Versciebe die Gerade = + um a) Eineien nac recs b) eine Einei B nac links. Wie laue die Gleicung der neuen Gerade? Zeicne die Gerade!.7 Die Funkion = + (Abb. B.7) besiz ein Minimum an der Selle =. Versciebe den Grapen dieser Funkion so, dass das Minimum an der Selle a) b) 0 lieg. Wie laue die Gleicung der neuen Funkion?.8 Ermile die absolue Änderung, die 0 B relaive Änderung und den Differenzenquoienen = + in den Inerval- len [0, ] und [, ] für die Funkion Abb..7 a) = +, b) = +, c) = Der Preis eines Arikels berug anfänglic 0. Nac einem Jar sieg er auf, B, D im darauffolgenden Jar auf 0. Wie oc war die relaive Preisänderung im ersen, wie oc im zweien Jar? Begründe an Hand dieses Beispiels, dass die relaive Preisänderung über die beiden Jare nic gleic der Summe der relaiven Preisänderungen des ersen und zweien Jares is. Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

10 . Umkerfunkion. Umkerfunkion In der Prais komm of folgendes Problem vor: Gegeben is der Zusammenang zwiscen einer Größe mi einer anderen Größe in Form einer Funkionsgleicung = f (). Diese gesae die Berecnung von, wenn gegeben is. Gesuc is nun die Form des Zusammenanges, welce umgeker die Berecnung von ermöglic, wenn gegeben is. Beispiel.0 : Farenei-Temperaurskala C, D Bei der in den USA und einigen anderen engliscspracigen Ländern üblicen Farenei-Temperaurskala wird der Gefrierpunk des Wassers mi F und der Siedepunk mi F bezeicne. a) Ein Amerikaner, der Öserreic besuc, wünsc sic eine Umrecnungsformel von C in F. Wie laue sie? b) Welce Formel würde ein Öserreicer in den USA benüzen? Lösung Zu a) Wir bezeicnen mi die Temperaur in Grad Celsius ( C) und mi jene in Grad Farenei ( F). Dann is der (lineare) Zusammenang = k + d zwiscen den beiden Skalen gesuc. Für = 0 C is = F, für = 00 C is = F. Dies ergib ein einfaces lineares Gleicungsssem für die beiden Unbekannen k und d: I: = k 0 + d II: = k 00 + d Daraus: d = und k = 9. Dami laue die Funkionsgleicung, unsere gewünsce Umrecnungsformel: = f () = 9 +, in C, in F. Zu b) Um aus einer Temperaur in F die Temperaur in C zu besimmen, lösen wir die Gleicung = 9 + nac auf: = Dadurc is wieder eine lineare Funkion = f* () = 9 60 gegeben, die in 9 anderer Form den Zusammenang zwiscen der Temperaur in F und der Temperaur in C ausdrück. bezeicne aber nun die unabängige Variable und die abängige Variable. Man kann nun umgeker aus einer gegebenen Temperaur in F die Temperaur in C berecnen. Aus diesem Grund eiß = f* () = die Umkerfunkion von = f () = 9 +. Sa f* screib man of das Smbol f, also f () = Die Bezeicnung f nimm Bezug auf Umkerung der Funkion f wie ewa auc der Kerwer in einem gewissen Sinn die Umkerung von is. Tasäclic is aber bei f keine Kerwerbildung gemein! Bevor man den Grap einer Umkerfunkion zeicne, verausc man die Bezeicnungen der Variablen: die unabängige Variable wird wieder wie üblic genann, die abängige. In unserem Beispiel is nun die Temperaur in C, die Temperaur in F. Die Gleicung der Umkerfunkion laue nun: = f* () = Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

11 Funkionen Was bedeue die Verauscung der Benennungen und geomerisc? Verausc man z. B. beim Punk P ( ) die - mi der -Koordinae (Abb..8), so eräl man den Punk Q ( ). Man überzeug sic leic, dass P und Q in einem Koordinaenssem mi gleicen Zeiceneineien spiegelbildlic zur Geraden = liegen, der Winkelalbierenden des. Quadranen, die auc. Mediane genann wird. Verauscung der -Koordinae mi der -Koordinae aller Punke einer geomeriscen Figur bedeue somi in einem karesiscen Koordinaenssem grafisc eine Spiegelung der Figur an der. Mediane. Ein Punk, der auf der. Mediane (Spiegelungsacse) lieg, bleib bei der Spiegelung gleic. P(/). Mediane Q(/) 0 Abb..8 Verauscung der Koordinaen = +. Mediane 60 = Abb..9 Funkion der Umkerfunkion Abb..9 zeig scließlic die Grapen der Funkion f () = 9 + ( in C, in F) und irer Umkerfunkion nac Koordinaenverauscung = f* () = 9 60, nun in F 9 und in C. Konrolle: Der Scnipunk S der beiden Grapen muss auf der. Mediane liegen. Häe man die Variablen in der Gleicung der Umkerfunkion nic umbenann, so äen Funkion und Umkerfunkion denselben Grapen! Besiz eine gegebene Funkion ses eine Umkerfunkion? Wenn ja, wie ermiel man die Umkerfunkion? = f () besiz eine Umkerfunkion, wenn sic die Gleicung = f () eindeuig nac auflösen läss. Dies is beispielsweise bei einer linearen Funkion = k + d mi k 0 der Fall. verausc man die Benennungen der Variablen und eräl als Gleicung der Umkerfunkion = f* (). Die Umkerung einer Funkion eräl man grafisc, indem man iren Grap an der. Mediane spiegel (bei gleicen Eineien auf den beiden Acsen). Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

12 . Umkerfunkion Beispiel. : Ermilung einer Umkerfunkion B, D Besimme die Umkerfunkion der linearen Funkion = f () = + und zeicne die Grapen der beiden Funkionen. L ösung Abb..0. Scri: Auflösung von = f () = + nac : = + 8. Scri: Verauscung der Benennungen und ergib die Gleicung der Umkerfunkion: = f* () = + 8. Konrolle: Die beiden Grapen scneiden einander auf der. Mediane = + 8. Mediane = Abb..0 Funkion und Umkerfunkion 8 Aufgaben. Gegeben is die Gleicung einer linearen Funkion. Wie laue ire Umkerfunkion? B a) = b) = + c) + = 6 d) + =. In Abb.. is der Grap einer Funkion = f () gezeicne. B, D a) Erselle an Hand der Punke A bis E eine Wereabelle der Funkion. b) Spiegle den Grapen an der. Mediane. Benüze dazu die Punke A bis E. c) Sell der gespiegele Grap eine Funkion dar? Begründe die Anwor! A = f() E = B D C 0 Abb.. Funkion und Umkerfunkion?. Ein Lebensmielmark verkauf pro Mona ewa 00 Sück eines besimmen B, C Energiedrinks zu einem Sückpreis von,0. Man scäz, dass jede Preisredukion um 0,0 den Absaz gleicmäßig um 0 Sück seiger. a) Wie groß sind die erwareen Sückzalen, wenn der Preis,0 oder,0 beräg? b) Gib den Zusammenang zwiscen der Nacfrage und dem Sückpreis p durc eine Funkion = f (p) ( Nacfrage-Funkion ) an. Beace, dass ier die abängige Variable (sons üblicerweise mi bezeicne!) und p die unabängige Variable is. c) In der Prais wird die Frage of auc umgeker gesell. Gib den Zusammenang zwiscen und p als Umkerfunkion p = f* () an ( Preis-Absaz-Funkion ). Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0

13 Funkionen Im Überblick: Funkionen Bei einer Funkion wird jedem Elemen aus einer Definiionsmenge (Definiionsbereic) genau ein Elemen = f () aus einer Weremenge (Bildmenge) zugeordne. Nullsellen einer Funkion sind jene Sellen, an denen f () = 0 is. Eine Funkion = f () eiß in einem Inervall sreng monoon seigend (wacsend), wenn < f ( ) < f ( ); sreng monoon fallend, wenn < f ( ) > f ( ). Gerade Funkion: Grap smmerisc zur -Acse; d.. f ( ) = f (). Ungerade Funkion: Grap punksmmerisc zum Koordinaenursprung; d.. f ( ) = f (). Eine Funkion = f () besiz an der Selle 0 ein lokales Maimum f ( 0 ) bzw. lokales Minimum f ( 0 ), wenn für alle 0 in einer gewissen Umgebung von 0 gil: f ( 0 ) > f () bzw. f ( 0 ) < f () 0 eiß Polselle oder Unendlickeisselle der Funkion, wenn der Funkionsgrap an der Selle 0 eine parallel zur -Acse verlaufende Asmpoe a. Periodisce Funkion: f () = f ( + p) mi p > 0. p eiß Periode der Funkion. Is a > 0, so is der Grap von = f ( a) um a Eineien nac recs, der Grap von = f ( + a) um a Eineien nac links gegenüber dem Grapen von = f () verscoben. Änderungsmaße einer Funkion im Inervall [a, b]: f (b) f (a): absolue Änderung; f (b) f (a) : relaive oder prozenuelle Änderung; f (a) f (b) f (a) : Differenzenquoien; Maß für Änderung im Miel pro Einei. b a Zu einer Funkion = f () gib es eine Umkerfunkion = f* (), of = f () gescrieben, wenn sic die Funkionsgleicung = f () eindeuig nac auflösen läss. Die Grapen der Funkion und irer Umkerfunkion liegen aufgrund der Verauscung der Benennungen der Variablen und spiegelbildlic zur. Mediane. Lineare Funkionen = k + d mi k 0 besizen eine Umkerfunkion. Den Grap der Umkerfunkion eräl man, wenn man den Grap der Funkion an der. Mediane spiegel (bei gleicen Eineien auf den Koordinaenacsen). 6 Ingenieur-Maemaik, Lerplan 0