Physikaufgabe 104. arccos 1 2.
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- Moritz Dieter
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1 Home Sarseie Impressum Konak Gäsebuch Aufgabe: Zeigen Sie an einem Beispiel, daß die Naurgeseze universell sind, d.h. unabhängig vom gewählen Bezugssysem gelen. Zeigen Sie ferner, daß die Raumkrümmung in einem beschleunigen Bezugssysem mindesens einmal pro Periode eine Singulariä durchläuf. Lösung: Gegeben sei die Kreisbewegung eines Massenpunkes mi konsaner Geschwindigkei. Wir zeigen, daß das zweie Newonsche Gesez in einem Sysem, das mi einem Randpunk fes verbunden is, denselben Wer für die Beschleunigung liefer wie das Inerialsysem. Der Randpunk beschreibe demnach eine Zykloide, die genau dann enseh, wenn man einen Punk auf dem Kreisumfang feshäl und den Kreis wie bei der Rollbewegung eines Rades längs einer Geraden abspul. Beweg sich der Punk auf einem Kreis mi Radius R mi konsaner Winkelgeschwindigkei ω, so ensprich die Geschwindigkei des Kreismielpunks der besagen Umlaufgeschwindigkei. In karesischen Koordinaen ausgedrück lauen die Bewegungsgleichungen der Zykloide in Parameerdarsellung: ( = ( ω ω ( = ( 1 cos ω. x R sin, y R Die Bahngleichung folg daraus durch Inegraion, y ydy y x = = R Ry y Ry y R arccos 1. Da die Gleichung nich explizi nach y aufgelös werden kann, müssen in diesem Fall alle kinemaischen Größen direk aus der Parameerdarsellung hergeleie werden. Bahnkurve der Zykloide y(x x In Parameerdarsellung erhalen wir als Berag des Radiusvekors den Ausdruck ( ω ω ( ω r = x + y = R + sin 1 cos, Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 1
2 wobei der Radius mi der x-achse den Polarwinkel y 1 cosω ϕ = arcan = arcan x ω sinω einschließ. Die Kreisfrequenz ω = π T ensprich einer gewöhnlichen Kreisbewegung mi konsaner Geschwindigkei der Periodendauer T. Die Phase is anfangs 9, wird nach der halben Umlaufdauer null und geh danach auf 9 zurück. Bahnkoordinaen und Radius sind in nachfolgender Abbildung dargesell. Karesische Bahnkoordinaen und Radius 6 5 x( y( r( x(; y(; r( Die Geschwindigkeiskomponenen lauen in karesischen Koordinaen: ( = ω ( ω ( = ω sin ω. x R 1 cos, y R Daraus besimm sich die Bahn- bzw. Tangenialgeschwindigkei zu ω = + = ( 1 cos = sin. v x y ωr ω ωr In ebenen Polarkoordinaen haben wir dafür den Ausdruck v= r + r ϕ, wobei sich die Bahngeschwindigkei zusammensez aus der Radialgeschwindigkei v r ωr( ω ωcosω ( ω sinω ( 1 cosω xx + yy = r = = x + y + und der Transversalgeschwindigkei Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie
3 v ϕ Physikaufgabe 14 R( sin ( 1 cos ( ω sinω ( 1 cosω xy yx ω ω ω ω = r ϕ = = x + y Karesische Geschwindigkeiskoordinaen und Bahngeschwindigkei _x( _y( v( _x(; _y(; v( In die lezere geh wegen ω( ωsinω ( 1 cosω ( ω sinω ( 1 cosω xy yx ϕ = = + + x y die zeiabhängige Winkelgeschwindigkei ein Polarkoordinaen der Geschwindigkei v r( v? ( v( vr (; v? (; v( Dami sind alle Ableiungen bis zur ersen Ordnung vollsändig beschrieben. Im Gegensaz zur Bahngeschwindigkei sind die Komponenengeschwindigkeien nich symmerisch zur Halbperiode. Die Komponenengleichungen der Beschleunigung sind in karesischen Koordinaen gegeben durch Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 3
4 ( ( = ω sin ω, x R = ω cos ω, y R wobei der Berag der Beschleunigung konsan is: a = x + y =ω R. Die Beschleunigung ensprich beragsmäßig exak der Radialbeschleunigung einer Kreisbewegung mi konsaner Geschwindigkei im Inerialsysem, und dami is gezeig, daß die physikalischen Geseze unabhängig vom jeweiligen Bezugssysem sind. 4 3 Karesische Koordinaen der Beschleunigung Bx( By( 1 Bx(; By( Die Radialbeschleunigung erhalen wir durch ensprechende Umformung der Terme bzw. zu ( xx + yy x + y + xx + yy xx + yy x y xyxy + x y r = = x + y x y x + y + x + y ( xy yx x y xyxy + x y r ϕ = = x + y x + y a r r 3 3 xx + yy R( sin ( 1 cos ( ω sinω ( 1 cosω ω ω ω ω r = ϕ = = x + y + Für die Transversalbeschleunigung folg aus. Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 4
5 ( + ( xy xy xx yy xy xy r ϕ = 3 x + y x + y und r ϕ = der Ausdruck ( xx + yy ( xy xy x 3 + y ω R( ωcosω sinω ( ω sinω ( 1 cosω xy xy aϕ = r ϕ+ r ϕ = =. x + y Polarkoordinaen der Beschleunigung a r( a? ( 1 ar (; a? ( Das bedeue für die Beschleunigung nichs anderes, als daß diese unabhängig vom jeweiligen Koordinaensysem is: ( xx + yy + ( xy xy r ϕ. a= a + a = = x + y x + y Längs einer Zykloide is die Beschleunigung also konsan, 1 und für ihre Krümmung gil xy yx 1 K = =. 3 ω x + y 4Rsin Wie man sieh, ha die Zykloide ses eine negaive Krümmung, wobei der Krümmungsradius ρ gegeben is durch den Berag des Kehrwers der Krümmung 1 Das folg aus der Kreisbewegung mi konsaner Geschwindigkei. Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 5
6 1 ω ρ = = 4Rsin. K Krümmung der Zykloide K( Man erkenn ebenfalls, daß der Krümmungsradius niemals unendlich werden kann. Für die Koordinaen ξ und η des Krümmungskreismielpunks erhalen wir dami die Ausdrücke y x = x = R( ω+ sin ω, K x + y x η = y+ = R( 1 cos ω. K x + y Der Krümmungsradius wird maximal, wo Bahngeschwindigkei und Normalbeschleunigung maximal werden, und er is null, wo die Krümmung unendlich is, d.h. in der Singulariä. 1.5 Bahnkurve des Krümmungskreismielpunks (x; y (9; 1 y(x bzw. ( x bzw. 9 Wie bei der Kreisbewegung läß sich nämlich die Beschleunigung zerlegen in eine Tangenialbeschleunigung Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 6
7 xx + yy ω cos x + y a = v= = ω R und eine Normalbeschleunigung a n = = = ω R R x + y ω sin. v xy yx Für die aufsummieren Beragsquadrae heiß das: v n ω a= a + a = v + = R, R wobei in ebenen Polarkoordinaen für die Komponenen bzw. a a n ( ϕ + ϕ( ϕ+ ϕ r r r r r r = r + r ϕ ( ϕ+ ϕ ϕ( ϕ r r r r r r = r + r ϕ gil. Tangenial- und Normalkomponene sind hierbei punksymmerisch zu den Eckweren bzw. spiegelsymmerisch um eine Achse senkrech zur Halbperiode. 4 3 Polarkoordinaen der Beschleunigung a ( a n( 1 ar (; a? ( Schließlich erhalen wir den Berag der Beschleunigung in Polarkoordinaen aus der Formel ( ϕ ( ϕ ϕ a = r r + r + r, Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 7
8 und für die Krümmung in Polarkoordinaen ergib sich ( ϕ+ ϕ ϕ( ϕ r r r r r r K = 3 r + r ϕ, womi wir die Zykloide vollsändig beschrieben haben. Jeder Punk auf dieser Zykloide durchläuf irgendwann einen Punk unendlicher Krümmung, die einem verschwindenden Krümmungsradius ensprich und mi einer Singulariä zusammenfäll. Dieser Punk kann willkürlich gewähl werden. Wir haben ihn in den zeilichen Nullpunk verleg. Wenn wir also annehmen, daß das Universum einen Drehimpuls besiz und somi ein beschleuniges Bezugssysem darsell, so komm auch für das All irgendwann ein Zeipunk, wo sich der Raum in diesem Punk zu einer Singulariä zusammenzieh. Die Frage der Gleichzeiigkei und des vierdimensionalen Raum-Zei-Koninuums, d.h. wann und wo die Singulariä im All aufri, haben wir hierbei nich berache. Sicher is nur, daß es sie aus Symmeriegründen geben muß. Nimm man umgekehr an, daß das All keinen Drehimpuls ha, könne der Raum niemals in einer Singulariä enden. Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 8
9 Anhang % Zykloide clear all R = 1; % Kreisradius T = 1; % Periodendauer n = 11; % Zahl der Süzsellen omega = *pi/t; % Kreisfrequenz for i = 1:n (i = (i-1/(n-1*t; % Zei x(i = R*(omega*(i-sin(omega*(i; % x-koordinae y(i = R*(1-cos(omega*(i; % y-koordinae r(i = sqr(x(i^ + y(i^; % Radialer Absand xp(i = R*omega*(1-cos(omega*(i; % Geschwindigkei in x-richung yp(i = R*omega*sin(omega*(i; % Geschwindigkei in y-richung v(i = sqr(xp(i^ + yp(i^; % Bahngeschwindigkei vr(i = (x(i*xp(i+y(i*yp(i/r(i; % Radialgeschwindigkei vphi(i = (x(i*yp(i-y(i*xp(i/r(i; % Transversalgeschwindigkei xp(i = R*omega^*sin(omega*(i; % Beschleunigung in x-richung yp(i = R*omega^*cos(omega*(i; % Beschleunigung in y-richung ar(i = (x(i*xp(i+y(i*yp(i/r(i; % Radialbeschleunigung aphi(i = (x(i*yp(i-y(i*xp(i/r(i; % Transversalbeschleunigung a(i = (xp(i*xp(i+yp(i*yp(i/v(i; % Tangenialbeschleunigung an(i = (xp(i*yp(i-yp(i*xp(i/v(i; % Normalbeschleunigung K(i = an(i/v(i^; % Krümmung rho(i = abs(1/k(i; % Krümmungsradius xi(i = x(i-yp(i/k(i/v(i; % x-koordinae des Krümmungskreismielpunks ea(i = y(i+xp(i/k(i/v(i; % y-koordinae des Krümmungskreismielpunks end % Nichdefiere Grenzwere vr(1 = ; ar(1 = 4*pi^; aphi(1 = ; a(1 = 4*pi^; an(1 = ; xi(1 = ; rho(1 = ; % Abbildungen figure(1 plo(x,y xlim([ *pi*r] ylabel('$y(x$','inerpreer','laex' xlabel('$x$','inerpreer','laex' ile('bahnkurve der Zykloide' figure( plo(,x xlim([ T] ylim([ *pi*r] xlabel('$$','inerpreer','laex' ylabel('$x(, y(, r($','inerpreer','laex' Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 9
10 plo(,y,'r' plo(,r,'k' ile('karesische Bahnkoordinaen und Radius' legend({'$x($','$y($','$r($'},'inerpreer','laex'; figure(3 plo(,xp xlim([ T] xlabel('$$','inerpreer','laex' ylabel('$\do x(, \do y(, v($','inerpreer','laex' plo(,yp,'r' plo(,v,'k' ile('karesische Geschwindigkeiskoordinaen und Bahngeschwindigkei' legend({'$\do x($','$\do y($','$v($'},'inerpreer','laex'; figure(4 plo(,xp xlabel('$$','inerpreer','laex' ylabel('$\ddo x(, \ddo y($','inerpreer','laex' plo(,yp,'r' ile('karesische Koordinaen der Beschleunigung' legend({'$\ddo x($','$\ddo y($'},'inerpreer','laex'; figure(5 plo(,vr xlim([ T] xlabel('$$','inerpreer','laex' ylabel('$v_{r}(, v_{\phi}(, v($','inerpreer','laex' plo(,vphi,'r' plo(,v,'k' ile('polarkoordinaen der Geschwindigkei' legend({'$v_{r}($','$v_{\phi}($','$v($'},'inerpreer','laex'; figure(6 plo(,ar xlabel('$$','inerpreer','laex' ylabel('$a_{r}(, a_{\phi}($','inerpreer','laex' plo(,aphi,'r' ile('polarkoordinaen der Beschleunigung' legend({'$a_{r}($','$a_{\phi}($'},'inerpreer','laex'; figure(7 plo(,a xlabel('$$','inerpreer','laex' ylabel('$a_{r}(, a_{\phi}($','inerpreer','laex' plo(,an,'r' ile('polarkoordinaen der Beschleunigung' Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 1
11 legend({'$a_{}($','$a_{n}($'},'inerpreer','laex'; figure(8 plo(,k xlim([ T] ylim([-8*r ] ylabel('$k($','inerpreer','laex' xlabel('$$','inerpreer','laex' ile('krümmung der Zykloide' figure(9 plo(x,y xlim([ *pi*r] xlabel('$x$ bzw. $\xi$','inerpreer','laex' ylabel('$y(x$ bzw. $\ea(\xi$','inerpreer','laex' plo(xi,ea, 'r' ile('bahnkurve des Krümmungskreismielpunks' legend({'$(x, y$','$(\xi, \ea$'},'inerpreer','laex'; figure(1 plo(,rho xlim([ T] ylabel('$\rho($','inerpreer','laex' xlabel('$$','inerpreer','laex' ile('krümmungsradius der Zykloide' Copyrigh 18, Manfred Hiebl. Alle Reche vorbehalen. Seie 11
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