II. Kinematik gradliniger Bewegungen

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1 II. Kinemaik gradliniger Bewegungen Kinemaik, von dem griechischen Verb kineo = ich bewege, nenn man den grundlegenden Zweig der Mechanik, der den zeilichen Ablauf einer Bewegung im Raum durch mahemaische Gleichungen, die sogenannen Bewegungsgleichungen, beschreib. Die Grundlagen der Kinemaik wurden zuers von Galileo Galilei formulier und experimenell nachgewiesen. Galileo Galilei, , war uner anderem Professor für Mahemaik in Pisa und Padua. Heue sind jedoch haupsächlich seine Verdiense in der experimenellen Physik bekann. Galilei widerlege die bis dahin geläufigen Irrümer Arisoeles. Durch die Verknüpfung mi logischen Erwägungen konne Galilei Geseze der Physik aufsellen, die bis heue wegweisend sind. Die bekannesen Beispiele sind der Freie Fall, Träghei und das Fadenpendel. In der Asronomie konne Galilei mi Hilfe eines von ihm verbesseren Fernrohrs Mondgebirge und vier Jupiermonde endecken. Abbildung II.1: Galileo Galilei. Nachdem wir in der Einleiung mi der Feslegung der Basiseinheien Länge und Zei die Voraussezungen geschaffen haben, unersuchen wir nun die Bewegung von Körpern. Dabei wollen wir zwei Einschränkungen machen: 1. Wir lassen zunächs die Ursachen für die Bewegung unbeache. Das bedeue, dass wir nur versuchen, die Bewegung wie wir sie sehen mi den beiden definieren Größen zu beschreiben. Die Ursachen für die Bewegung werden ers im nächsen Kapiel, Dynamik, berache.. Wir beschränken uns auf die Beschreibung von Körpern, deren Abmessungen gegenüber den von ihnen zurückgelegen Srecken klein sind. Dafür definier man den Massepunk, einen gedachen Körper, der seine endliche Masse in einem Punk konzenrier. Tasächlich haben naürlich selbs die kleinsen Körper eine räumliche Ausdehnung, die man jedoch uner besimmen Gesichspunken vernachlässigen kann, wenn man nur die Bewegung ihres Seie 5 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

2 Schwerpunkes berache. Diese Einschränkung führ zu erheblichen Erleicherungen und wird ers in einem späeren Kapiel aufgehoben. II.1 Skalare und Vekoren Physikalische Größen, z.b. die im ersen Kapiel eingeführe Länge L = {L} [L] heißen Skalare, wenn sie durch nur eine Messgröße gekennzeichne sind. Weiere Beispiele sind Temperaur, Masse oder Zei. Es gib jedoch noch viele andere Größen in der Physik, die zusäzlich durch eine Richung im Raum beschrieben werden müssen. Diese Größen werden am besen durch Vekoren beschrieben. Bekanne Beispiele sind hier Geschwindigkei, Kraf oder Verschiebungen. P 1 den Berag. P Als einfachses Beispiel sei eine Verschiebung dargesell von Punk P 1 nach Punk P : Dargesell wird die Verschiebung durch einen Pfeil: Die Richung des Pfeils gib die Richung der Verschiebung an, die Länge des Pfeils Noaion II.1: Den Berag eines Vekors a schreib man als a oder vereinfach als. II.1.1 Addiion von Vekoren Führ man zwei Verschiebungen von Punk P 1 über Punk P nach Punk P 3 aus, so kann man die Vekoren addieren. Vekorgrößen in der Physik lassen sich nach den gleichen Regeln addieren wie eine Verschiebung. P 3 P Die Richung der addieren Vekoren ergib sich aus a + b = c P 1 Seie 6 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

3 P 3 Für die Vekoraddiion gil das Kommuaivgesez, es gil also: a + b = b + a = c P 1 Der Berag des resulierenden Vekors läß sich mi Hilfe des Cosinussazes berechnen: c = a + b +ab cosα Als Spezialfall ergib sich α = 90 und dami c = a + b +ab cos90 c = a + b Die Vekorsubrakion wird analog zur Vekoraddiion durchgeführ, indem zuvor der zu subrahierende Vekor mi negaivem Vorzeichen versehen wird. Der Berag änder sich dann von a in - a, die Richung dreh sich um 180. Drei oder mehr Vekoren werden addier, indem man zunächs zwei Vekoren addier und den resulierenden Vekor zu dem drien Vekor erneu addier, und so for. II.1. Addiion von Vekoren in Koordinaendarsellung In einem Bezugssysem, wir wollen uns hier zunächs auf rechwinklige karhesische Koordinaensyseme beschränken, kann ein Vekor als Summe der einzelnen Komponenen längs der das Sysem aufspannenden Achsen geschrieben werden. Seie 7 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

4 Hierzu definier man Einheisvekoren längs der Achsen. Die Einheisvekoren haben den Berag 1 und sehen jeweils senkrech aufeinander. Definiion II.1: Einheisvekor e = a a Abbildung II.: Einheisvekoren Jeder dreidimensionale Vekor kann in diesem Sysem dann dargesell werden in der Form a = a + a + a = x y z a e + a e + a e x x y y z z Noaion II.: Ein Vekor wird mi a = (a x, a y, a z ) komponenenweise geschrieben. Merke: Die Länge eines Vekors in Komponenenschreibweise läß sich berechnen aus: a = a = a + a + a x y z In Koordinaenschreibweise werden Vekoren komponenenweise addier oder subrahier. Die Addiion von zwei Vekoren ergib dabei wieder einen Vekor. a + b = c mi c x = a x + b x, c y = a y + b y c z = a z + b z Abbildung II.3: komponenenweise Addiion von Vekoren Beim Wechsel des Koordinaensysems ändern sich die Komponenen a i, b i, c i, nich aber die Lage der Vekoren, b und c im Raum. Seie 8 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

5 II.1.3 Skalarproduk und Kreuzproduk Das Punk- oder Skalar-Produk zweier Vekoren is ein Skalar. Man kann es enweder aus den Komponenen oder aus den Berägen der beiden Vekoren und dem eingeschlossenen Winkel berechnen. Merke: a b = a b cos( a, b ) is ein Skalar a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 Berachen wir wieder den Sonderfall, dann folg: a b = a b 0 = 0 oder mi a = (a,0,0) und b = (0,b,0): a b = a b = 0 Das Vekor- bzw. Kreuzproduk zweier Vekoren is ebenfalls ein Vekor. Dieser Vekor c seh senkrech auf Vekor a und. Noaion II.3: Das Vekor- bzw. Kreuzproduk schreib man als a x b =. Der Berag des Kreuzprodukes wird ebenfalls aus den Berägen der einzelnen Vekoren und dem eingeschlossenen Winkel berechne. c = c = a b sin a, b ( ) Um die Richung des Vekors c zu ermieln, müssen die Vekoren komponenenweise wie folg berechne werden: a x b = (a y b z - a z b y ) e x + (a z b x - a x b z ) e y + (a x b y - a y b x ) e z Abbildung II.4: Kreuzproduk Merke: a x b is ein Vekor, der auf den beiden Vekoren a und b senkrech seh: c a. Seie 9 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

6 Merke: Das Kreuzproduk is nich kommuaiv. Es gil: a x b = - ( b x a ) II.1.5 Differenaion und Inegraion von Vekoren Wie aus der Analysis bekann, wird bei der Differenaion der Grenzwer des Inervalls zwischen zwei Punken, hier z.b. Orsvekoren, gegen Null gebilde. dr r = lim d 0 dr r r1 = lim d 0 dr xe + ye + ze x1e + y1e + z1e = lim d 0 dr ( x x1 ex + y y1 ey + z z1 ez ) = lim ( ) ( ) ( ) d 0 dr x = x d e y lim + y 0 e z lim + z 0 e lim 0 dr dx = x d lim d e + lim dy y d e + dz lim z d e ( ) ( ) x y z x y z Merke: Vekoren werden komponenenweise differenzier, das Ergebnis is ein Vekor. dr = dx d d e dy x + d e dz y + d e z Die Umkehrung der Differenaion is die Inegraion: I = v( ) d = ex v x ( ) d + ey v y ( ) d + ez v z ( ) d Auch hier gil: Merke: Vekoren werden komponenenweise inegrier, das Ergebnis is ein Vekor. = ( ) ; I = v ( ) d ; ( ) I v d x x y y I z = v z d Seie 10 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

7 II. Orsvekoren Um den von einem Massepunk zurückgelegen Weg beschreiben zu können, muss man zunächs einen Bezugspunk definieren. Relaiv zu diesem Bezugspunk änder der Massepunk seine Posiion im Raum. Der Bezugspunk wird dabei zunächs als im Bezug zur Erdoberfläche ruhend angenommen und so geleg, dass die Bewegung des Massepunkes möglichs einfach zu beschreiben is. Meisens leg man dazu den Bezugspunk in den Ursprung eines Koordinaensysems. Dieses Sysem wird unbeweges Bezugssysem genann. In einem so gewählen Sysem sind sowohl Nullpunk als auch Basisvekoren zeilich konsan. Im Folgenden liegen den Beschreibungen ses unbewege Bezugssyseme zugrunde, bewege Bezugssyseme erfordern eine gesondere Behandlung in Kapiel II.6 Relaivbewegung. Die Lage des Körpers kann dann z.b. durch die karhesischen Koordinaen x,y,z für jeden Zeipunk angegeben werden. Der Zeipunk wird mi der reellen Variablen bezeichne. Der Vekor, der zu einer fesen Zei den Or des Massepunkes beschreib, heiß Orsvekor. Dieser Vekor is bei Bewegungen immer eine Funkion der Zei und wird deshalb mi r( ) oder x( ) bezeichne. Im 3-dimensionalen Fall beseh der Orsvekor aus drei Komponenen: r ( ) = ( x ( ), y ( ), z ( )). Noaion II.4: Wenn es nich explizi gesag wird, lieg im Folgenden immer ein karhesisches Koordinaensysem zugrunde, bei dem die x-achse parallel zur Erdoberfläche und die y-achse senkrech dazu seh. Im Gegensaz zu den bisher allgemein diskuieren Vekoren sind die Orsvekoren an einen Punk im Raum, den Ursprung gebunden. Der Differenzvekor zweier an den Ursprung gebundener Orsvekoren änder sich nich, auch wenn die anderen beiden Vekoren in ein anderes Koordinaensysem ransferier werden. Merke: r = r r 1 änder sich bei einem Wechsel des Koordinaensysems nich, wohl aber r 1 und. Seie 11 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

8 Uner einer Bahn (auch Bahnkurve oder Trajekorie genann) verseh man eine Funkion r x, ( ) bzw. ( ) Abbildung II.5: Bahnkurve deren Endpunk die gewünsche Bahnkurve beschreib. Zur Beschreibung einer Bewegung in einer Ebene genügen zwei Koordinaen, die Bewegung längs einer Geraden kann mi einem Skalar beschrieben werden. II.3 Geschwindigkei Berachen wir zunächs als Beispiel einer beliebigen Bewegung den eindimensionalen Fall: die gradlinige Bewegung längs der x-achse. Der Or des Massepunkes wird nur mi dem Skalar x beschrieben. Dargesell werden soll die Bewegung des Massepunkes in seiner zeilichen Abfolge. Dazu wählen wir ein Or-Zei- Diagramm. Aufgeragen wird an der Abszisse die Zei und an der Ordinae der Or. Abbildung II.6: Or-Zei-Diagramm Seie 1 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

9 Merke: Bei Ersellen von Zei - Diagrammen wird, sowei nich anders vereinbar, die Zei ses auf der Abszisse abgeragen. Der Weg wird vom Ausgangspunk x o zur Zei o an gemessen. Dabei ermiel man verschiedene Werepaare x 1 ( 1 ), x ( ) und so for. Nun überlegen wir, wie schnell der Massepunk sich beweg ha. Dazu berachen wir zunächs zwei Bahnpunke. Die Differenz der zwei Wegsrecken x 1 und x is die Enfernung, die der Massepunk zurückgeleg ha. Er ha dazu die Zei - 1 gebrauch. Wir definieren seine Geschwindigkei als zurückgelege Srecke pro dafür gebraucher Zei. Diese Geschwindigkei is abhängig vom Zeiinervall und der Srecke. Berechne ich die Geschwindigkei für ein anderes Inervall, so erhale ich auch eine andere Geschwindigkei. Diese Tasache is bereis bekann: Auf der Auobahn kann ich kurzfrisig 150 km/h fahren, und brauche dennoch inklusive Sadverkehr über eine Sunde, um von Aachen nach Köln zu gelangen. Aus diesem Grunde sprechen wir von einer mileren Geschwindigkei und bezeichnen sie mi v M. Definiion II.: Die milere Geschwindigkei is der Quoien aus zurückgeleger Srecke und dafür benöiger Zei: vm x = x 1 1 Bedenke: - Die milere Geschwindigkei is vom Messinervall abhängig. Die milere Geschwindigkei von Punk x 0 nach x 3 is im Allgemeinen verschieden. - Die milere Geschwindigkei ensprich der Seigung der Sekane. Noaion II.5: Die Differenz zweier physikalischer Größen bezeichne man abgekürz mi. Die Differenz zweier Srecken schreiben wir somi ab jez als x, die der dazugehörigen Zeien als. Mi dieser Konvenion laue die Gleichung. Diese Form der Gleichung nennen wir Größengleichung. Sie gil unabhängig von den benuzen Einheien. Wenn die Einheien sich ändern, ändern sich auch die Maßzahlen, die Gleichung bleib aber erhalen Seie 13 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

10 Bsp: vm x km km = = 60 = 1 = h min m s Will man die Geschwindigkei in einem Punk berechnen, so muss man zunächs die Sreckeninervalle immer weier verkürzen, bis man ein infiniisimales Inervall berachen kann. Hierzu bilde man den Grenzwer der Inervalle für eine Zeidifferenz, die gegen Null sreb. v = lim 0 x x 1 1 lim = 0 x = dx d Mi diesem Grenzwer berechne man die Momenangeschwindigkei. Sie ensprich der Seigung der Sekane durch zwei infiniisimal nebeneinander liegende Punke, also der Seigung der Tangene. Definiion II.3: Die Momenangeschwindigkei is gleich der Seigung der Tangene an die Bahnkurve im ausgewählen Zeipunk v = dx d Abbildung II.7: Momenangeschwindigkei als Tangene an die Bahnkurve Achung: Diese Definiion der Momenangeschwindigkei is mahemaisch problemlos, physikalisch jedoch ewas problemaischer: 1. Wie bereis in Kapiel I erläuer, lassen sich heoreisch zwar die saisischen Fehler minimieren, das sez aber unendlich viele Messungen voraus.. Das Auflösevermögen der Messinsrumene ermöglich nich beliebig kleine Messinervalle. 3. Es gib eine prinzipielle Genauigkeisgrenze. Eine genauere Erläuerung dieses Sachverhals folg in der Aomphysik. Berache man diese Definiion im allgemeinen, d.h. 3-dimensionalen Fall, muss die Srecke x r wieder als Vekor behandel werden: vm =. Für die Rechnung ergib sich dann: Seie 14 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

11 1. Richung der Momenangeschwindigkei: r dr. Die Tangene an die Bahnkurve gib die Seigung und somi die Richung in jedem Punk an.. Berag der Momenangeschwindigkei: v r = v = lim 0 v = ( x) + ( y ) + ( z ) v = v = ( dx) + ( dy) + ( dz) dr Richung und Berag der Momenangeschwindigkei werden in einem Vekor zusammengefass: d d Definiion II.4: Die Geschwindigkei is ein Vekor, nämlich die Ableiung dr dx dy dz des Ores nach der Zei. v = = d,, d d d Noaion II.6: Der Geschwindigkeisvekor wird, sowei nich anders vereinbar, v genann, sein Berag v. Die Geschwindigkei kann also durch Differenaion des Orsvekors ermiel werden. Die erse Ableiung des Ores nach der Zei is die Geschwindigkei. In der Physik wird die Schreibweise dr dx dy dz v = = d,, ofmals abgekürz: d d d dr Noaion II.7: v = wird ofmals als r geschrieben, der Berag v analog. d Analog kann man aus einer gegebenen Geschwindigkei den Or berechnen, indem man den Vekor v inegrier. Die Umkehroperaion zu dr v = laue folglich: r( ) = v( ) d + r0 d. Um über die Inegraion des Geschwindigkeisvekors den Or zu berechnen, muss also ein konsaner Fakor r 0 bekann sein. Dieser Vekor kennzeichne den Anfangsor der Bewegung, also die Verschiebung vom Nullpunk des Bezugssysems. Durch geschickes Definieren des Bezugssysems kann der Anfangsor in den Ursprung geleg werden. 0 Seie 15 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

12 Merke: Die Geschwindigkei eines Massepunkes läß sich aus der Bahnkurve über Differenaion errechnen: dr v =. d Merke: Der Or des Massepunkes läß sich über Inegraion aus der Geschwindigkeisgleichung und der Randbedingung r 0 ermieln: r( ) = v( ) d + r 0 0. II.4 Beschleunigung: Definiion II.5: Die Beschleunigung is ein Vekor, nämlich die Änderung der Geschwindigkei mi der Zei. dv dv dv x y dv z a = = d,, d d d Der Beschleunigungsvekor zeig in Richung der Geschwindigkeisänderung. Beschleunigung heiß also Änderungen des Berags der Geschwindigkei, z.b. gradlinig immer schneller fahren oder bremsen, oder die Richung der Geschwindigkei zu ändern, z.b. mi gleichbleibender Frequenz auf einem Kreis fahren. Der allgemeine Fall beinhale naürlich eine Änderung des Berags und der Richung. Analog zur Berachung der Geschwindigkei aus der Bahnkurve kann mi dieser Definiion die Beschleunigung aus der Geschwindigkei errechne werden. Noaion II.8: Der Beschleunigungsvekor wird, sowei nich anders vereinbar, a genann, sein Berag a. Die Beschleunigung kann also durch Differenaion des Geschwindigkeisvekors ermiel werden. Die erse Ableiung der Geschwindigkei nach der Zei is die Beschleunigung. Auch diese Schreibweise dv dv dv x y dv z a = = d,, kann ofmals abgekürz werden: d d d Noaion II.9: dv a = wird ofmals als v geschrieben, der Berag a analog. d Seie 16 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

13 Auch hier kann man aus einer gegebenen Beschleunigung die Geschwindigkei berechnen, indem man den Vekor a inegrier. Die Umkehroperaion zu dv a = laue folglich: d v( ) = a( ) d + v0. 0 Um über die Inegraion des Beschleunigungsvekors die Geschwindigkei zu berechnen, muss hier der konsane Fakor v 0 bekann sein. Dieser Vekor kennzeichne die Anfangsgeschwindigkei der Bewegung. Im Gegensaz zum Anfangsor, der ja in einem unbeweglichen Bezugssysem als ruhend und dami zeilich konsan angesehen wird, kann die Anfangsgeschwindigkei durchaus eine Funkion der Zei sein. Merke: Die Beschleunigung eines Massepunkes läß sich aus der Geschwindigkei über Differenaion errechnen: dv a =. d Merke: Die Geschwindigkei des Massepunkes läß sich über Inegraion aus der Beschleunigungsgleichung und der Randbedingung v 0 ermieln: v( ) = a( ) d + v ( ) 0 0. Berache man nun die Folgerungen aus Definiion II.3 und Definiion II.4 nebeneinander, so folg: Aus dv( ) a( ) = und dr( ) v( ) = folg: dr a( ) = d d d Noaion II.10: Die zweie Ableiung des Ores nach der Zei wird mi dr r = a( ) = d bezeichne. Merke: Die Beschleunigung is die zweie Ableiung des Ores nach der Zei. Seie 17 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

14 II.5 Versuche und Berechnungen zur Kinemaik Berachen wir im Folgenden eine eindimensionale Bewegung in x-richung. Diese Bewegung läß sich, wie bereis gezeig, in einem Weg-Zei-Diagramm darsellen. Gegeben sei nich die exake Bewegungsgleichung, sondern das Weg-Zei-Diagramm: Über Differenaion der Funkion x() kann jez die Funkion v() errechne werden. Analog kann mi der ersen Ableiung der Geschwindigkeisfunkion nach der Zei auch die Beschleunigungsfunkion errechne werden. Nimm man die Funkion a() als gegeben, so kann man über Inegraion v() und x() errechnen. Als Beispiel: a() e a()= 0 a() - e a() = 0 v() ed + v 0 v() v 0 v() ed + v 0 v() v 0, v 0 = 0 v() v() v 0 dx d - dx d 0 x() d + x 0 x() v0d + x 0 x() d + x 0 x() x 0 x() x() x() - x() x 0 Seie 18 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

15 II.5.1 Geradlinige Bewegung mi konsaner Geschwindigkei: Versuch II.1: Die Lufkissenbahn Eine Bewegung längs einer Geraden wird gradlinige Bewegung genann und kann mi dem Skalar x() und beschrieben werden. Bei dem Versuch mi der Lufkissenbahn wird auf einer Schiene ein Wagen angeschoben. Bei einer fesen Geschwindigkei wird der Wagen losgelassen: Da der Wagen auf einer Schiene geführ wird, änder er seine Richung nich. Die Reibung kann vernachlässig werden; die Geschwindigkei is folglich nach Richung und Berag konsan. In gleichen Absänden moniere Lichschranken messen nun die Zei, die der Wagen benöig, um die Srecke x zurückzulegen. Die Messung ergib immer gleiche Zeispannen. Das besäig die folgende Rechnung: Randbedingung: v = consan Aus v = dx d x = v x - x 1 =( - 1 ) v x =( - 1 ) v + x 1 Das gil für die Srecke x i - x 0 zwischen zwei beliebigen Schranken. Also gil für alle : x = x 0 + ( - 0 ) v Merke: Das Weg-Zei-Gesez für die 1-dimensionale gradlinige Bewegung mi konsaner Geschwindigkei v laue: x = x 0 + ( - 0 ) v Verallgemeinerung für dreidimensionale Bewegungen mi konsaner Geschwindigkei: Die Geschwindigkei bleib auch hier in Richung und Berag gleich, wird aber als Vekor v geschrieben. Der Anfangsor der Bewegung is gekennzeichne durch den Vekor r0 = (x 0, y 0, z 0 ) Es gil v ( v x v y v z ) und Aus =,, = consan r = (x, y, z). dr = v d folg dann x = v x y = v y z = v z Seie 19 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

16 Die Umformungen von oben für alle drei Komponenen ausgeführ ergib die Bewegungsgleichung für den dreidimensionalen Fall: x = x 0 + ( - 0 ) v x y = y 0 + ( - 0 ) v y z = z 0 + ( - 0 ) v z Merke: Das Weg-Zei-Gesez für die 3-dimensionale Bewegung mi konsaner Geschwindigkei v laue: r = r0 + ( - 0 ) v 0 Die eindimensionale Bewegung is ein Sonderfall der dreidimensionalen Bewegung mi v =, 0, 0 und r = (x, 0,0). ( ) v x II.5. Geradlinige Bewegung mi konsaner Beschleunigung: Versuch II.: Freier Fall Empirisch läß sich besäigen, dass auf der Erde alle Körper dieselbe Beschleunigung in Richung der Erde erfahren, die Beschleunigung durch die Schwerkraf. Sie wird üblicherweise mi g bezeichne und kann als Skalar beschreiben werden, da sie nur in Richung der Erdoberfläche, also in y-richung wirk. Als Vekor dargesell gil: g = (0, -g, 0). Der Berag der Erdbeschleunigung is g = 9,81 m / s. Gegeben sei also nur a = g = consan. Unersuchen wir nun die Geschwindigkeisfunkion eines Körpers im freien Fall längs einer Achse: v() = a( ) d + v 0 0 v() = a d + v 0, da a() = a konsan is 0 v() = a ( - 0 )+ v 0, mi d = ( - 0 ) Die Geschwindigkei wächs also linear mi der Zei. Die Konsane v 0 bezeichne die Anfangsgeschwindigkei, die der Körper hae, bevor er losgelassen wurde. War der Körper zur Zei 0 in Ruhe, also v 0 = 0 m/s, dann gil: v() = a ( - 0 ). Sezen wir die Zei, in welcher der Körper losgelassen wird, als Anfangszei der Messung, also 0 Seie 0 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

17 0 = 0 s, dann gil: v() = a + v 0. Diese Funkionen sind jedoch nur Spezialfälle der allgemeinen Lösung und sezen besimme Randbedingungen voraus. Aus der Funkion für die Geschwindigkei läß sich jez das Weg-Zei-Gesez berechnen: x() = v( ) d, mi v() = a ( - 0 ) + v 0 0 x() = [ ( 0 ) + 0 ] 0 a v d x() = a( 0 ) d + v0d 0 0 x() = a ( ) v 0 ( - 0 ) + x 0 x() = a ( - 0 ) + v 0 ( - 0 ) + x 0 Diese Funkion is quadraisch, der Weg nimm also quadraisch mi der Zei zu. Die neu hinzugekommene Konsane bezeichne die Verschiebung des Anfangsores vom Ursprung des Bezugssysems. Durch geschickes Sezen der Randparameer, 0 = 0 s, v 0 = 0 m/s und x 0 = 0 m kann diese Gleichung in die sark vereinfache Form x() = a gebrach werden. Merke: Bei der gradlinigen Bewegung mi konsaner Beschleunigung gil: x() = a ( - 0 ) + v 0 ( - 0 ) + x 0 v() = a ( - 0 )+ v 0 a() = consan Dami gil insbesondere für den Freien Fall: Beschleunigung: a = - g Randbedingungen: 0 = 0s, v 0 = 0 m/s und x 0 = 0m x() = - g Differenaion v() = - g Inegraion mi Randbedingungen a() = - g. Seie 1 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

18 Bei dem Laborversuch des Freien Falls werden Kugeln verschiedener Größe, Masse und verschiedenen Maerials eine vorher gemessene Srecke x ohne Anfangsgeschwindigkei fallen gelassen. Eine Uhr miss die Zei, die der Körper brauch, um die Srecke zurückzulegen. Aus x = - g können wir eine Gleichung für die Zei umformen: = g x Diese Gleichung häng nur von der Konsanen g und der Srecke ab. Der Versuch besäig: Die Fallzei der Kugeln is unabhängig von Größe, Masse und Maerial. Sie häng nur von der Srecke ab. Dieses Ergebnis is keinesfalls selbsversändlich: Vor allem Kinder vermuen, dass schwere Körper schneller fallen müssen als leiche. Bis zu den Endeckungen Galileis Ende des 16. Jh. gal die Vorsellung Arisoeles ( v. Chr.) als richig, schwere Körper würden schneller fallen als leiche. Die nebensehende Abbildung zeig eine sroboskopische Aufnahme zweier Kugeln unerschiedlicher Masse und Größe, die zur selben Zei auf gleicher Höhe losgelassen wurden. Abbildung II.8: Freier Fall Merke: Alle Körper fallen mi derselben Beschleunigung g = 9,81 m/s unabhängig von Masse, Größe oder Maerial. Seie II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

19 Verallgemeinerung für dreidimensionale Bewegungen mi konsaner Beschleunigung Analog kann bei einer dreidimensionalen Bewegung das Weg-Zei-Gesez aus einer gegebenen Beschleunigung und den Randbedingungen errechne werden. Wie bei der Rechnung für die Bewegung mi konsaner Geschwindigkei gezeig, können die Komponenen der Vekoren a = (a x, a y, a z ), v = (v x, v y, v z ) und r = (x, y, z ) gerenn inegrier bzw. differenzier werden. Die Randbedingungen werden auch durch Vekoren, v 0 = (v 01, v 0, v 03 ) und r 0 = (x 0, y 0, z 0 ), beschrieben. In Vekorschreibweise gil somi: v( ) = a( ) d + v 0 0 da a ( ) = a konsan v( ) = a d 0 + v 0 mi d = ( - 0 ) 0 v( ) = a ( - 0 )+ v 0 mi v ( ) = a ( - 0 ) + v 0 folg r( ) = v ( ) d 0 r a v d ( ) = [ ( 0 ) + 0 ] r( ) = a ( ) d + v0d 0 a r ( ) = ( ) v 0 ( - 0 ) + r 0 a r( ) = ( - 0 ) + v 0 ( - 0 ) + r 0 In Komponenenschreibweise werden die einzelnen Komponenen a i, v i, x i und von den Randbedingungen v 0i und x 0, y 0 bzw. z 0 berache. Noaion II.11: x i bezeichne die i-e Komponene von. Seie 3 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

20 v i () = a i ( ) d + v 0 i mi a i () = a i konsan v i () = a i d + v 0 i 0 0 mi d = ( - 0 ) v i () = a i ( - 0 )+ v 0 i 0 mi v i () = a i ( - 0 ) + v 0 i folg x i () = vi ( ) d 0 x i () = [ i ( 0 ) + 0i ] 0 a v d x i () = a i ( 0 ) d + v0id 0 0 x i () = a i ( ) v 0 i ( - 0 ) + x 0 x i () = a i ( - 0 ) + v 0 i ( - 0 ) + x 0 Auch hier is die gradlinige Bewegung ein Sonderfall der dreidimensionalen Bewegung mi i = 1, und den Vekoren a = (a 1, 0, 0), v = (v 1, 0, 0 ) und r = (x, 0, 0 ), v 0 = (v 01,0, 0) und r0 = (x 0, 0, 0 ). II.5.3 Geradlinige Bewegung mi konsaner Beschleunigung: schiefe Ebene Versuch II.3: Schiefe Ebene Ein weierer Versuch zur gradlinigen, eindimensionalen Bewegung mi konsaner Beschleunigung is die schiefe Ebene. Bei diesem Versuch wird ein Wagen auf der um den Winkel α geneigen Lufkissenbahn bei einer fesen Höhe losgelassen und durch die Graviaion beschleunig. Abbildung II.9: schiefe Ebene Srecke x in LE Zei in Ze Seie 4 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

21 Diesmal können wir, nachdem wir schon berechne haben, dass das Weg-Zei-Gesez quadraisch mi der Zei verlaufen wird, die Lichschranken ensprechen in den Absänden 1Längeneinhei (1LE), 4LE, 9LE usw. aufsellen. Jez müssen die Zeien zum Durchlauf der einzelnen Wegsrecken je 1 Zeieinhei (1 ZE) beragen, die Zeien gemessen vom Loslaufen bei = 0 ensprechen 1 = 1ZE, = ZE, 3 = 3ZE, usw. Besäig sich diese Theorie, so is demonsrier, dass x 1 / x = 1 / gil. Anhand der schiefen Ebene läß sich auch die Zerlegung eines Vekors in seine Komponenen und die Wahl eines geeigneen Bezugssysems verdeulichen. Die Graviaion wirk bei diesem Versuch nich im rechen Winkel zur Bewegungsrichung. deshalb dreh man zur Berechnung das Koordinaensysem, dami die x-achse in Bewegungsrichung zeig. Der Vekor a muss dann in diesem Sysem dargesell werden. Eine Skizze des Problems, in der die Vekoren, ihre Komponenen und die wesenlichen Winkel eingezeichne sind, zeig bereis die Lösung des Problems: y a x is die Komponene des Beschleunigungsvekors in x-richung und kann bereis abgelesen werden: α a y = - g cos α. a = g x a x = g sin α. α a x = g sin α. Analog: a y = - g cos α. Da es sich bei der schiefen Bahn um ein zweidimensionales Modell handel, gil a z = 0. In Vekorschreibweise laue der Vekor a also: a = (g sin α., - g cos α., 0 ) II.5.4 Beispiel einer nichlinearen Bewegung Versuch II.4: Der horizonale Wurf Der horizonale Wurf is eine Überlagerung zweier Bewegungen in der Ebene: 1. Der Körper wird von der Erde beschleunig und führ somi einen freien Fall aus in Richung der Erde.. Der Körper wird mi einer fesen Geschwindigkei horizonal zur Erde losgeworfen und führ eine Bewegung mi konsaner Geschwindigkei in dieser Richung aus. Beschleunigung und Geschwindigkei sind also gegeben durch Seie 5 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

22 a = g = (0, -g, 0). Es exisier nur eine Beschleunigung in y-richung, in x-richung wird in diesem Versuch die Kugel mi konsaner Geschwindigkei unbeschleunig geworfen, die z- Komponene is in der Ebene rivialerweise null. v = (v x, v y, 0) v x is die konsane Geschwindigkei, mi welcher der Körper geworfen wird und sei für die Rechnung gegeben. Als Randbedingung legen wir fes: Anfangsor der Bewegung sei der Or x 0 = 0, also der Ursprung des Bezugssysems. Zei des Abwurfs sei die Zei 0 = 0, die Uhren messen die Zei ers ab Beginn der Bewegung. Berachen wir nun komponenenweise die Bewegung, die z-komponene wird nich berücksichig, bzw. gleich null gesez: x-komponene y-komponene a () = ( 0, - g ) v () = ( v x ( ) = v 0 (= consan), v y ( ) = a y d 0 ) = ( v 0, g d = ( v 0, - g ) 0 ) r () = ( x( ) = v x ( ) d, y( ) = v y ( ) d ) 0 0 = ( v 0, g d 0 ) = ( v 0, 1 g ) Der Orsvekor zur Zei laue also: r () = (v 0,, 0). Durch Eliminierenen von aus den x- und y- Komponenen kann eine Funkion der x-komponene in Abhängigkei von der y-komponene aufgesell werden: aus x = v 0 und y = 1 g g folg y(x) = x v0 Diese Funkion gib die Bahnkurve des horizonalen Wurfs an, sie beschreib die Wurfparabel. Seie 6 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

23 Abbildung II.9: Sroboskopische Aufnahme zweier Kugeln im freien Fall und horizonalem Wurf Um die Unabhängigkei der Bewegung in die verschiedenen senkrech zueinander sehenden Richungen zu demonsrieren, kann man eine Kugel im Freien Fall und eine Kugel im horizonalen Wurf beobachen, die beide zur selben Zei am selben Or ihre Bewegung beginnen. Eine sroboskopische Aufnahme zeig die Bewegung der Kugeln. In der Vorlesung wurde eine andere Variane des Versuchs gezeig: Man läß die Kugeln zur selben Zei auf derselben Höhe, also y-komponene, ihre Bewegung saren, verschieb die Kugel für den freien Fall jedoch einige Zenimeer in Wurfrichung der zweien Kugel. Auf diese Weise müssen die Kugeln sich reffen. Unser Demonsraionsversuch besäige die Annahme für Kugeln unerschiedlicher Maerialien und Größen. II.6 Relaivbewegung Seie 7 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

24 Bisher haen wir die Einschränkung gemach, dass die Berechnungen der Bewegungsgleichung nur mi der Beschreibung durch ein ruhendes Bezugssysem Güligkei besizen. Es is jedoch auch ineressan zu fragen, wie man die Bewegung in einem bewegen Sysem beschreiben kann. Als Beispiel selle man sich einen Menschen vor, der in einem Zug engegen der Fahrrichung geh. In welche Richung beweg er sich, und wie sieh diese Bewegung für einen Beobacher im Zug, für einen Beobacher draußen oder sogar für einen Beobacher in einem engegenkommenden Zug aus? Diese gradlinige Bewegung kann man sich noch aus verschiedenen Blickposiionen vorsellen, bei einer Kreisbewegung wird es schwieriger. In der Vorlesung wurde als Beispiel ein Punk auf einem Kreis gezeig, der sich um die Mie des Kreises drehe, während der Wagen sich mi konsaner Geschwindigkei geradeaus bewege. In beiden Fällen beobachee man eine Kreisbewegung. Die nebensehende Graphik zeig eine solche Kreisbewegung für zwei Punke auf konzenrischen Kreisen, beobache in einem relaiv zum Beobacher ruhenden Bezugssysem. Abbildung II.11: Kreisbewegung in einem ruhenden Sysem Die Projekion der Bewegung des Punkes auf eine Ebene aber zeige, dass es sich dabei um eine Täuschung handel. So sieh die Kreisbewegung auf einem mi konsaner Relaivgeschwindigkei zum Beobacher fahrenden Sysem wirklich aus: Abbildung II.1: Kreisbewegung von einem mi konsaner Geschwindigkei fahrendem Sysem aus. Wie sieh eine Bewegung also allgemein für einen mibewegen Beobacher aus? Wie bereis zuvor eingeführ, erforder auch hier eine analyische Beschreibung ein Koordinaensysem. Als Laborsysem wähl man zumeis das Sysem, indem der Beobacher ruh. Bezeichnen wir dieses Laborsysem S jez wie gewohn mi den Koordinaen (x, y, z. Dazu definieren wir ein beweges Bezugssysem S, welches wir mi den Koordinaen ( x, y, z ) beschreiben. Als Vereinfachung sezen wir den Nullpunk der beiden Koordinaensyseme auf den Ursprung, der zur Zei 0 übereinsimmen soll. Ferner gehen wir davon aus, dass die Zei invarian gegenüber einem Sysemwechsel is. Die Uhr soll also in beiden Sysemen ses Seie 8 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

25 dieselbe Zei anzeigen. Für große Geschwindigkeien is dies keinesfalls immer gegeben. Wird die Geschwindigkei nahezu so groß wie die Lichgeschwindigkei, gil die relaivisische Mechanik; der Effek der verschieden laufenden Uhren wird z.b. im sogenannen Zwillingsparadox behandel. Das Sysem S bewege sich jez mi konsaner Relaivgeschwindigkei v 0 = (v x0, v y0, v z0 ) gegenüber S. Wie in Kapiel II. gezeig, kann der Orsvekor r bei Kennnis der Geschwindigkei dargesell werden als r = r + v 0. Der Orsvekor vom Ursprung des Sysems S is hier der Vekor r. In Vekorschreibweise gil: r'( ) = r( ) v0 Mi dr v( ) = folg d v' = v v 0. Abbildung II.13: Inerialsyseme Nochmaliges Differenzieren liefer a'= a wegen v 0 = consan. In Komponenenschreibweise gil dann: x = x - v xo v x = v x - v xo a x = a x y = y - v yo v y = v y - v yo a y = a y z = z - v zo v z = v z - v zo a z = a z Die Beschleunigung änder sich also nich bei dem Wechsel in ein mi konsaner Relaivgeschwindigkei beweges Bezugssysem. Diese Ar der Transformaion von Orsvekoren in ein anderes Sysem heiß Galilei-Transformaion. Wie der Film zeige, is keines der Syseme, die sich mi konsaner Relaivgeschwindigkei zueinander bewegen bevorzug. Alle zueinander gradlinig gleichförmig bewegen Syseme sind äquivalen, man bezeichne sie als Inerialsyseme. Definiion II.6: Inerialsyseme sind gradlinig gleichförmig gegeneinander bewege Bezugssyseme. Seie 9 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

26 Merke: Die Beschleunigung is invarian gegenüber Galilei-Transformaionen. Versuch II.5: Auffangricher eines Wagens Bei diesem Versuch soll gezeig werden, wie zwei Körper in verschiedenen (Inerial-)sysemen sich bei verschiedenen Bewegungsformen zueinander bewegen. Hierzu wird ein Wagen mi einer Abschussvorrichung und mi Auffangricher senkrech zur Bodenplae eine Kugel mi v y und a y abschießen. Sobald die Kugel den Wagen verlassen ha, wirk auf sie nur noch die Graviaion. Unersuch werden soll, wo die Kugel lande. Abbildung II.14: Versuchsskizze zum Abschußversuch 1. Abschuss im Sand: Für den ersen Versuchseil verläuf die Schiene parallel zur Erde. Die Kugel wird im Sand abgeschossen, also mi v x = 0 und a x = 0. Wie nich anders zu erwaren, fäll die Kugel in den Tricher zurück.. Der Wagen fähr mi konsaner Geschwindigkei: Die beiden Bezugssyseme, Laborsysem und mibeweges Wagensysem, sind Inerialsyseme, da mi a x = 0 keine Beschleunigung längs der Bewegungsrichung exisier. Keines der Syseme is bevorzug, im mibewegen Sysem läuf der Vorgang wie bei Versuchseil 1. ab und die Kugel fäll folglich in den Tricher zurück. Seie 30 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

27 3. Der Wagen wird beschleunig in x-richung: Das mibewege Bezugssysem is kein Inerialsysem, da der Wagen mi a x 0 längs der Bewegungsrichung beschleunig wird. Die Bewegung der Kugel is nich invarian gegenüber einer Transformaion in dieses Sysem und die Kugel fäll hiner den Wagen. 4. Abschuss senkrech zur schiefen Ebene: Für diesen Versuch wird die Schiene um einige Grad geneig. Der Wagen roll jez von der Erdanziehung beschleunig nich mehr mi konsaner Geschwindigkei die schiefe Ebene hinab. Die Kugel wird senkrech zur Bodenplae, also senkrech zur schiefen Ebene abgeschossen, als der Wagen die Geschwindigkei v 0w ha. Obwohl es sich um kein Inerialsysem mehr handel (der Wagen wird beschleunig), fäll die Kugel in den Tricher zurück. Das kann miels komponenenweiser Berachung mahemaisch verifizier werden: v 0 x x Der Wagen wird längs der schiefen Ebene beschleunig mi g g sin α y w d x d = g sin α. Dami errechne sich die Geschwindigkei als v w () = g sinα + v 0w. Der Wagen leg dami die Srecke 1 x w ( ) = g sin α + v0w zurück. Die Kugel wird längs der schiefen Ebene ebenfalls mi beschleunig. k d x d = g sin α Ihre Geschwindigkei errechne sich dann als v k () = g sinα + v 0. Da die Geschwindigkeiskomponenen von Kugel und Wagen in Richung der schiefen Ebene gleich 1 sind, folg mi v 0w = v 0 x k ( ) = g sin α + v0w. Es gil als x k () = x w (). Kugel und Wagen sind zur Zei an derselben Komponene des Ores längs der schiefen Ebene. Da die Kugel zusäzlich noch eine Bewegung senkrech zu dieser Seie 31 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I

28 Graden ausführ, riff sich den Wagen genau an der Selle, wo die Bewegungskomponene senkrech zur Bewegungsrichung des Wagens null wird. 5. Abschuss von der schiefen Ebene senkrech zur Erde: Bei diesem Versuchseil wird die Kugel nich mehr senkrech zur Bewegungsrichung des Wagens, sondern senkrech zur Erde abgeschossen. Die Geschwindigkeiskomponenen längs der schiefen Ebene simmen dami nich mehr überein. Die Differenaion zweier verschiedener Geschwindigkeis-Zei-Gleichungen führ zu zwei differierenden Ors-Zei-Gleichungen. Die Kugel und der Wagen sind zur Zei nich an derselben Orskomponene längs der schiefen Ebene und reffen sich folglich nich mehr. Die Kugel fäll hiner den Wagen. Fazi aus den Versuchseilen 3, 4 und 5.: Falls das mibewege Sysem kein Inerialsysem is, kann man keine einfache Vorhersage über den Vorgang im mibewegen Sysem mehr machen. Seie 3 II. Kapiel: Kinemaik Skrip Experimenalphysik I