Parameterdarstellung von Kurven

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1 Parameerdarsellung von Kurven Ebene Kurven In der, -Ebene wird der Vekor R in Abhängigkei eines Parameers dargesell. Man kann die Kurve auch als Bewegung eines Massepunkes in Abhängigkei von der Zei inerpreieren. R Beispiel.: Kreis mi Radius r um den Mielpunk 0 0 : R Algebraische Gleichung: r cos r sin r 0 + r cos 0 + r sin R Beispiel.: Ellipse mi den Halbachsen a, b und Mielpunk 0 0 Gedeue als affine Verzerrung des Kreises 0 + a cos R 0 + b sin Algebraische Gleichung: Kreis mi Mielpunk und Radius r 0 a + 0 b Beispiel.: Kreisevolvene Modell: Abwickeln eines Fadens von Rolle Vekor zu Punk auf Kreisperipherie: R cos r sin Vekor von Kreisperipherie zum Fadenende : R sin r cos Parmeerdarsellung R R + R cos + sin r sin cos

2 Kreisevolvene mi r Beispiel.4: Zkloide: Bahnkurve eines Punkes auf einem rollenden Kreis Vekor zum Kreismielpunk: R r Vekor vom Mielpunk zu Punk auf Kreisperipherie: R cos r sin Nun gil: cos cos + sin ; sin sin + cos Parameerdarsellung: R R + R sin r cos

3 Berache man einen Punk mi Absand d vom Mielpunk erhäl man die Parameerdarsellung: R R + R r d sin r d cos Zkloide mi r und d.5 Zkloide mi r und d 0.7 Tangenenvekor Der Differenzenquoien benachbarer Vekoren wird berache: R R + R { } R + R Für die Komponenen erhäl man: { + + } + + Sind die Komponenenfunkionen und differenzierbar, so erhäl man als Grenzwer: R lim 0 { + + } + lim 0 lim 0 + ẋ

4 Die Differeniaionsvorschrif überräg sich auf die beiden Komponenen der Parameerdarsellung der Kurve. R + R R Beispiel.: Parameerdarsellung der Zkloide: R R + R sin r cos Tangenenvekor: cos R r sin Die beiden Komponenenfunkionen sind beliebig of differenzierbar. Trozdem ha die Kurve bei k eine Spize! Dor is der Tangenenvekor gleich dem Nullvekor. Wir müssen deshalb noch die zusäzliche Bedingung R 0 hinzunehmen, um das Erscheinungsbild einer glaen Kurve zu erzielen. Dann kann auch der Tangeneneinheisvekor gebilde werden, der bei vielen heoreischen Berachungen eine wichige Rolle spiel. Die folgende Skizze zeig die Tangenenvekoren an eine Zkloide mi den Parameerweren r und d 0.6. Kurvenlänge Wir approimieren die Kurve durch einen Polgonzug P 0, P,..., P n. Bei bekannen Koordinaen der Teilpunke i i läss sich die Summe der Längen der Geradensücke miels Phagoras berechnen. Wir erhalen dadurch eine Näherung für die Kurvenlänge s. s n k k k + k k Die folgende Skizze zeig eine solche Approimaion mi den zugehörigen rechwinkligen Dreiecken. 4

5 R R n R 0 Nun gil mi i ẋ i i i i i die Näherung: i + i [ẋ i i ] + [ i i ] [ẋ i ] + [ i ] i Bei zunehmender Verfeinerung der Unereilung sreb die Näherungssumme gegen einen Grenzwer das Inegral. In der nebensehenden Skizze soll dieser Approimaionsprozess deulich gemach werden. i ẋ i i i i i n k k k + k k s b a [ẋ] + [] d Bogenlänge einer Kurve zwischen den zu den Parameerweren a und b gehörenden Punken. 5

6 4 Krümmung und Krümmungsradius Umparamerisierung Eine Orskurve R kann durch jede sreng monoone Funkion τ umparamerisier werden. Inerpreieren wir R als Bahnkurve eines Massenpunks, so bedeue ein Umpamerisierung, dass dieselbe Kurve mi einer anderen Bahngeschwindigkei durchlaufen wird. Beispiel 4.: Die Orskurve R cos ; 0 kann als Bewgung eines Massenpunkes auf dem Einheiskreis mi der konsanen Winkelgeschwindigkei ω inerpreier sin werden. Miels der Umparamerisierung τ 0 ; τ 0 ergib sich Rτ Rτ cos τ sin τ ; 0 τ Bei dieser Bewegung änder sich die Winkelgeschwindigkei. Wir erhalen eine Bewegung mi konsaner Winkelbeschleunigung. Für die Bahngeschwindigkei ergib sich: dr sin τ dτ cos τ τ d R τ dτ Im vorangegangenen Abschni ergab sich ein Zusammenhang zwischen Bogenlänge s einer Kurve und einer beliebigen Parameerdarsellung dieser Kurve miels s [ẋu] + [u] du a Diese Funkion s is sreng monoon und besiz deshalb eine Umkehrfunkion s. Dami läss sich jede Kurve in naürlicher Weise bezüglich der Bogenlänge umparamerisieren. Man erhäl dami eine bis auf den Durchlaufsinn eindeuige Darsellung. Rs Rs Bogenlängendarsellung Die eplizie Berechnung der Bogenlänge s miels des oben angegebenen Inegrals sowie die Besimmung der Umkehrfunkion s is nur in wenigen Fällen möglich. Es gil jedoch der folgende differenielle Zusammenhang: d [ẋ] + [] Diese Größe wird auch als Bahngeschwindigkei bezeichne. Beispiel 4.: R cos sin r ; R r ; 0 Kreis um Ursprung sin cos s [ sinu] + [cosu] du [ru] 0 r s s r 0 Rs Rs cos s r r sin s r ; R s sin s r cos s r 6

7 Bei diesem Beispiel gil: R s [ sin s ] [ + cos s ] r r Diese Eigenschaf gil bei jeder Kurve, die bezüglich der Bogenlänge paramerisier is: dr d R d ẋ ẋ d Krümmung einer Kurve d Als Krümmungsmaß erklären wir die Veränderung des Richungswinkels α der Tangene bezüglich der Bogenlänge. an α ẋ bzw. α arcan ẋ O ẋ + Rs + s k dα dα d d + ẋ ÿẋ ẍ ẋ d Rs α ÿẋ ẍ ẋ + Für eine eplizi dargeselle Kurve f erhäl man daraus sofor: k [ + ] Is k > 0, so befinden wir uns in einer Linkskurve ; gil k < 0, so krümm sich die Kurve nach rechs. Beispiel 4.: Krümmung der Kreisevolvene mi r. cos + sin cos cos sin R ; R ; R sin cos sin sin + cos k sin + cos cos cos sin sin cos + sin Für die Sandardparamerisierung Rs s Bogenlänge erhäl man noch einen zweien Zusammenhang zur Krümmung: d R k Der Zusammenhang ergib sich direk durch eine rech mühsame Anwendung der Keenregel auf Rs: 7

8 dr d R d d R d d R ẋ d R d R d ẍ ÿ ẋ + + R d d + R d d ẋ + + ẋ ẍ ẋ + ẋÿ ÿẋ ẋẍ ẋ + d ẋẍ + ÿ ẋ + ẋ + Nun gil: ẍ ẋÿ + ÿẋ ẋẍ ẍ ẍ ẋ + und dami d R ÿẋ ẍ ẋ +. Beispiel 4.4: Krümmung eines Kreises mir Radius r. cos ẋ sin R r ; R r sin cos ; R ẍ ÿ cos r sin k r sin r sin r cos r cos [ r sin + r cos ] r Krümmungskreis Das vorangegangene Beispiel gib uns Aufschluss über eine mi der Krümmung verwanden Problemsellung: Die Konsrukion eines Kreises, der sich an eine vorgegebene Kurve R im Punk R 0 opimal anschmieg. Dazu suchen wir einen Kreis R 0 cos + r sin 0 mi derselben Krümmung k 0 wie die Kurve in R 0, d. h. für den Radius muss gelen: r k 0 Diese Größe nenn man den Krümmungsradius einer Kurve. Die Konsrukion eines Talorpolnoms für eine Funkion f verfolg ein ähnliches Ziel. 8

9 Zur Konsrukion des Mielpunks müssen wir im Berührpunk R 0 von Kreis und Kurve einen Vekor senkrech zum Tangenenvekor besimmen. Der Vekor n ẋ seh senkrech auf dem Tangenenvekor ẋ R M n und weis in Bewegungsrichung gesehen nach links. Wenn wir diesen Vekor auf die Länge r normieren, erhalen wir den k Verbindungsvekor von Berührpunk zum Mielpunk des Krümmungskreises. R 0 n ẋ + ẋ + ÿẋ ẍ ẋ + ÿẋ ẍ Insgesam ergib sich für die Koordinaen des Mielpunks des Krümmungskreises: M + ẋ + M ÿẋ ẍ Beispiel 4.5: Besimmung der Krümmung und der Berührkreise für eine Ellipse. a > b a cos a sin a cos R ; R ; R b sin b cos b sin k ÿẋ ẍ ẋ + b sin a sin a cos b cos a sin + b cos ab a sin + b cos M M a cos b sin + + ẋ + ÿẋ ẍ b sin a cos a sin + b cos ab Zur Besimmung der Erema von k berachen wir die Hilfsfunkion g. g a sin + b cos g a sin cos b cos sin sin cos [a b ] g sin cos [a b ] k0 k ab b! 0 sin 0, 0, ; cos 0,4, a b Maimum! k k ab b a a Minimum! 9

10 In der folgenden Skizze sind die Berührkreise für 0,.5,.5, eingezeichne sowie die Orskurve der Berührkreismielpunke. Berührkreis Orskurve der Mielpunke R s R s Bewegung eines Massepunkes längs einer Kurve Aus der vorgegebenen Parameerdarsellung der Bewegung wollen wir die Bahngeschwindigkei sowie die Beschleunigung in Tangenen- und Normalenrichung besimmen. Die Bahngeschwindigkei und der Tangenen- sowie Normaleneinheisvekor sellen sich wie folg dar: R ; v ẋ + ; ẋ + ẋ Wir zerlegen nun die Beschleunigung des Massenpunkes a ẍ R ÿ in die beiden Aneile längs und senkrech zur Tangenenrichung. Bahnbeschleunigung: a R ẋ + ẋ ẍ ÿ ẋẍ + ÿ ẋ + d dẋ + dv d 0 ; n ẋ + ẋ

11 Zenripedalbeschleunigung: a n n R ẋ + ẋ ẍ ÿ ÿẋ ẍÿ ẋ + ẋ + ÿẋ ẍÿ ẋ + v k v r Hierbei sell die Größe v r die aus der Mechanik bekanne Zenripedalbeschleunigung auf einer Kreisbahn dar. Vekoriell ergib sich die folgende Zerlegung: a R dv d + n v r Beispiel 4.6: Ein Rad mi Radius r rolle auf einer Geraden mi konsaner Winkelgeschwindigkei ω. Berache wird ein Massenpunk, der den Absand d r vom Mielpunk ha. Die Bahnkurve ergib eine Zkloide. sin cos sin R ; R ; R ; cos sin cos Bahngeschwindigkei: v ẋ + cos + sin 5 4 cos Minimum bei 0 v0 Maimum bei v Bahnbeschleunigung: dv d 5 4 cos d d Krümmung: k ÿẋ ẍ ẋ + Zenripedalbeschleunigung: v r cos 5 4 cos sin 5 4 cos cos cos sin sin 5 4 cos Erema von Bahn- und Zenripedalbeschleunigung: Zur Diskussion des Ausdrucks dv d g sin 5 4 cos g cos 5 4 cos berachen wir die Funkion g: cos 5 4 cos 5 4 cos 4 sin sin 5 4 cos cos 5 cos cos Mi der Subsiuion u cos ergib sich die quadraische Gleichung: u 5u + 0 u, 5 ± 4

12 Wegen u erhalen wir ein lokales Erema für u cos,, 5 Da dv d k 0 gil, lieg bei, das absolue Maimum und bei 5 das absolue Minimum vor. Eine analoge Diskussion der Zenripedalbeschleunigung führ auf die Hilfsfunkion h: h cos 5 4 cos Sie besiz Nullsellen bei,, 5 und ein Minimum bei. Bei 4,5 0, liegen Randerema vor. Die beiden folgenden Skizzen zeigen den Verlauf der Tangenial- und Normalbeschleunigung. dv d kv 5 5 Für die Gesambeschleunigung gil offensichlich: R sin + cos. Das Quadra der Bahnbeschleunigung und das Quadra der Zenripedalbeschleunigung ergeben zusammen ebenfalls ses. g + h sin + cos 5 4 cos 4 sin + 4 cos 4 cos cos Die folgende Skizze zeig die Zerlegung der Gesambeschleunigung, die ses zum Mielpunk des rollenden Kreises zeig, in Tangenen- und Normalenrichung. Das folgende Bild zeig die Bewegung eines Massenpunkes längs einer Zkloide mi r und d.75.

13 Bemerkung: Der Beschleunigungsvekor in Normalenrichung zeig zum Auflagepunk des Kreises. In der Technischen Mechanik wird dieser Punk Momenanpol genann. 5 Sekorfläche Gesuch wird die Fläche, die vom Orsvekor R einer Parameerdarsellung während der Bewegung auf einem Kurvensück C übersrichen wird. Dazu wählen wir auf dem Kurvensück Teilpunke R, R,..., R n+ und berachen die Flächen der Dreiecke OR k R k+ als Näherung für die Sekorfläche. Die nebensehende Skizze zeig ein solches Dreieck. Für deren Flächeninhal gil: F k R k R k+ R [ k Rk+ R k ] R k Rk k R k+ R k k In nebensehender Skizze sind Flächen des Dreiecks OR k R k+ und der Näherung miels des Tangenenvekors unerschiedlich schraffier. Lieg der Koordinaenursprung links der Kurve in Bewegungsrichung gesehen, so weis der Kreuzprodukvekor R R in mi k Richung der posiiven z-achse. Es gil: R ẋ 0 R ẋ k+ k R k

14 Wird die Unereilung der Kurve immer feiner gewähl, so sreb der zugehörige Flächeninhal der Dreiecke gegen ein Inegral und es gil: n F k k n R k Rk k F k b a R R d } {{ } ẋ Dabei sell das Inegral den Flächeninhal des Sekors dar, der vom Fahrsrahl zwischen den Parameerweren a und b übersrichen wird. Zur prakischen Auswerung verziche man auf die Beragssriche und benuz die Beziehung: F b a ẋ d Der Inegrand kann als die z-komponene des Vekors R R gedeue weren. Beispiel 5.: Flächeninhal der Epizkloide mi Radius r R R R ẋ cos ϕ + cosϕ sin ϕ + sinϕ sin ϕ sinϕ cos ϕ + cosϕ 4 [sinϕ + sin ϕ + cosϕ + cos ϕ ] 4 [sin ϕ + sin ϕ sinϕ + sin ϕ + cos ϕ + cos ϕ cosϕ + cos ϕ] 4 [ + sinϕ sin ϕ + cosϕ cos ϕ] 8 [ + cos ϕ] Die Bahngeschwindigkei wird maimal bei ϕ 0 und minimal bei ϕ. Dor gil R 0. Die Kurve besiz dor einen Umkehrpunk. ẋ [ cos ϕ + cosϕ cos ϕ + cosϕ + sin ϕ + sinϕ sin ϕ + sinϕ ] 6 + cos ϕ Für den Flächeninhal erhäl man: F + cos ϕdϕ R 0 [ϕ + sin ϕ] 0 6 Die nebensehende Skizze zeig zu verschiedenen Orsvekoren R k die zugehörigen Tangenenvekoren Rk k. Die Fläche des von diesen beiden Vekoren aufgespannen Dreiecks kann als Summand der Näherungssumme F gedeue werden. Im Winkelbereich von ϕ werden die angenialen Vekoren immer kürzer. R 4

15 Die Flächenformel gil auch, wenn der Koordinaenursprung außerhalb einer umschlossenen Fläche lieg. Wir denken uns dazu die Kurve C durch die Berührpunke T, T der Tangenen vom Koordinaenursprung in zwei Teile C, C aufgeeil. Der Inegrand is die z-komponene des Kreuzpordukvekors R R e. Das Inegral F C R R e d wird dann in die beiden Teile F R R e d R R e d + R R e d C C C zerleg. Beim ersen Inegral weis der Vekor R R in Richung der posiiven z-achse; Die Fläche wird deshalb posiv gezähl. Der Vekor R R des zweien Inegrals zeig in Richung der negaiven z-achse und erzeug daher einen negaiven Wer. Die Summe dieser beiden Größen ergib den gesuchen Flächeninhal. Die Sellen der Kurve mi ẋ 0 mögliche Vorzeichenwechsel des Inegranden sind die Berührpunke der Tangenen vom Ursprung an die Kurve: ẋ 0 ẋ ẋ Dabei kann der Quoien Orsvekors R gedeue werden. als Seigung des Tangenenvekors R und als Seigung des C T T + T C T Beispiel 5.: Der Inhal der von der Kurve mi der Paramerdarsellung cos ; sin cos 0 eingeschlossenen Fläche soll besimm werden. R cos sin ; R sin cos cos sin ; R R cos e Nun ergib das Inegral 5

16 0 cos d 0 cos sin d [ sin sin ] 0 0 R 0.5 Soll der geomerische Flächeninhal besimm werden, so is die Fläche des rechen Teils zu besimmen und anschließend der Wer zu verdoppeln. R + F cos d cos sin d [ sin sin ] 4 6 Polarkoordinaen Sa der Darsellung in karesischen Koordinaen, verwende man of auch zur Beschreibung von Punken in der Ebene Polarkoordinaen r, ϕ. Vgl. die Darsellung kompleer Zahlen in Komponeneen- und rigonomerischer Form. Zwischen diesen beiden Beschreibungsmöglichkeien gil der folgende Zusammenhang: ϕ r r cos ϕ r sin ϕ r + an ϕ Eine Kurve kann im Falle karesischer Koordinaen eplizi durch eine Funkion f oder durch eine Parameerdarsellung, ; IR beschrieben werden. Genauso erhäl man durch eine eplizie Funkion r rϕ die Darsellung einer Kurve. Ebenso ergeben zwei Parameerfunkionen r, ϕ wieder eine Kurve in der Ebene. Die Begriffsbildungen der vorangegangenen Abschnie wollen wir nun auf die Polarkoordinaendarsellung r rϕ einer Kurve umrechnen. ϕ rϕ cos ϕ ẋϕ ṙϕ cos ϕ rϕ sin ϕ ẍϕ rϕ cos ϕ ṙϕ sin ϕ rϕ cos ϕ ϕ rϕ sin ϕ ϕ ṙϕ sin ϕ + rϕ cos ϕ ÿϕ rϕ sin ϕ + ṙϕ cos ϕ rϕ sin ϕ 6

17 Dami ergeben sich für die Bahngeschwindigkei v und die Bogenlänge s die folgenden Beziehungen: ẋ + ṙ cos ϕ r sin ϕ + ṙ sin ϕ + r cos ϕ ṙ cos ϕ rṙ cos ϕ sin ϕ + r sin ϕ + ṙ sin ϕ + rṙ cos ϕ sin ϕ + r cos ϕ ṙ + r v ṙ ϕ + r ϕ ; s ϕ ṙ ϕ + r ϕ dϕ Für die Krümmung k besimmen wir den folgenden Ausdruck: ÿẋ ẍ r sin ϕ + ṙ cos ϕ r sin ϕ ṙ cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ ṙ sin ϕ r cos ϕ ṙ sin ϕ + r cos ϕ r + ṙ r r k r + ṙ r r r + ṙ ϕ Die Formel für die Fläche eines Sekors ergib sich aus: ẋ r cos ϕ ṙ sin ϕ + r cos ϕ r sin ϕ ṙ cos ϕ r sin ϕ r ϕ F r dϕ ϕ Beispiel 6.: Die Archimedische Spirale heiß die Kurve, die durch Bewegung eines Punkes mi konsaner Geschwindigkei v 0 auf einem Srahl enseh, der mi konsaner Winkelgeschwindigkei ω 0 den Koordinaenursprung umkreis. rϕ r rϕ aϕ mi a v 0 ω 0 Für a erhäl man ṙ ; r 0. Orsvekor Rϕ ϕ cos ϕ cos ϕ ϕ sin ϕ Tangenenvekor Rϕ ϕ sin ϕ sin ϕ + ϕ cos ϕ Wegen R0 komm die Kurve mi waagrecher Tangene aus dem Ursprung. 0 v + ϕ ; k + ϕ + ϕ Für die Fläche und Bogenlänge der schraffieren Ezenerscheibe erhäl man: F s ϕ dϕ [ ϕ 6 + ϕ dϕ ] 4 [ ϕ + ϕ ln ϕ + ] + ϕ