Binomische Formeln Für beliebige Zahlen a und b gelten die binomischen Formeln: (a + b) 2 = a a b + b 2

Transkript

1 Erraa.03.06

2 3 Grundlagen Saz.5 (Binomischer Saz) Für jede naürliche Hochzahl n und beliebige Zahlen a und b gil die Formel (a + b) n = a n + ( n ) an b + ( n ) an b ( n n ) a bn + b n n = ( n k ) ak b n k. Beispiel.6 (Binomischer Saz) a) (x ) 3 = x 3 3 x + 3 x. b) (x + ) 4 = x x x x +. Binomische Formeln Für beliebige Zahlen a und b gelen die binomischen Formeln: k=0 (a + b) = a + a b + b (a + b)(a b) = a b (a b) = a a b + b.4 Trigonomerie Die Trigonomerie is das Teilgebie der Mahemaik, das sich mi Dreiecken beschäfig. Wir werden in diesem Abschni Zusammenhänge zwischen den Längen der Kanen und den Winkeln eines Dreiecks aufzeigen..4. Trigonomerie im rechwinkligen Dreieck In einem rechwinkligen Dreieck beseh ein Zusammenhang zwischen den Längen der einzelnen Dreiecksseien. Dieser Zusammenhang wurde bereis in der Anike erkann und is heue uner dem, nach dem griechischen Mahemaiker und Philosophen Pyhagoras benannen Saz bekann. Es gib viele verschiedene Varianen, diesen Saz zu beweisen. Wir verzichen an dieser Selle aber auf eine Herleiung. Saz.6 (Saz des Pyhagoras) Im rechwinkligen Dreieck bezeichne man die dem rechen Winkel gegenüberliegende Seie als Hypoenuse und die beiden anderen Seien als Kaheen. Zwischen der Länge der Hypoenuse c und den Längen der beiden Kaheen a und b gil die Formel a c b c = a + b.

3 .6 Beweise 43 Beispiel.3 (Ungleichungen) a) Die Ungleichung x + 4 x < 6 is für alle x-were definier. Zur Besimmung der Lösungsmenge berechnen wir zunächs die Lösungen der quadraischen Gleichung: x + 4 x + 6 = 0 x, = 4 ± x =, x = 3. Jez esen wir die Bereiche für x-were, die kleiner als sind, für x-were zwischen und 3 und für x-were, die größer als 3 sind. Wir können beispielweise die Kandidaen x =, x = 0 und x = 4 esen: ( ) + 4 ( ) < 6, (0) + 4 (0) < 6, (4) + 4 (3) < Nur die beiden Kandidaen x = und x = 4 haben den Tes besanden. Somi beseh die Lösungsmenge aus den beiden Inervallen (, ) und (3, ). b) Die Ungleichung x 4 x + is für x = 4 und x = nich definier. Die ensprechende Gleichung ha genau eine Lösung: x 4 = x + x + 4 = x 4 x 3 = 8. Für den Bereich kleiner als 8 wählen wir den Teskandidaen x = 0, zwischen 8 und wählen wir x = 4, zwischen und 4 wählen wir x = 0 und für den Bereich größer als 4 wählen wir x = 6. Durch Tesen dieser Were , , , ergeben sich die beiden Lösungsinervalle (, 8] und (, 4). Dabei is zu beachen, dass der Wer 8 zur Lösungsmenge gehör, die beiden Were und 4 jedoch nich..6 Beweise Beweise bilden die Subsanz der Mahemaik. Jede neue Formel, jeder neue Saz wird aus bereis bekannen Aussagen hergeleie. Diese Herleiungsprozesse nenn man auch Beweise. Dabei wird auch die Aussagenlogik eingesez, wie wir sie in Abschni.. kennengelern haben. Die ofmals gefürchee Srenge der Mahemaik ergib sich wesenlich daraus, dass jede Behaupung zunächs bewiesen werden muss, ehe sie den Saus einer Regel oder eines Sazes bekomm. David Hilber war ein Verreer des srengen Formalismus in der Mahemaik. Alle Aussagen sollen widerspruchsfrei bewiesen oder widerleg werden können. Prinzipiell gib es verschiedene Varianen der Beweisführung.

4 3. Vekorrechnung ohne Koordinaen 79 Definiion 3.7 (Skalarproduk) Das Skalarproduk der Vekoren a und b is das Produk aus den Längen der beiden Vekoren und dem Kosinus des von den beiden Vekoren eingeschlossenen Winkels a b = a b cos (a, b). Wie der Name schon sag, ergib das Skalarproduk von zwei Vekoren einen Skalar und keinen Vekor. Auch beim Skalarproduk verwende man wieder den üblichen Malpunk. Eine Verwechslungsgefahr mi dem Malpunk der skalaren Muliplikaion aus Definiion 3.6 beseh nich. Während das Skalarproduk nur zwischen zwei Vekoren definier is, erforder die skalare Muliplikaion einen Skalar und einen Vekor. Das Skalarproduk is ein Spezialfall des Marixproduks, siehe Abschni 4... In diesem Zusammenhang is eine alernaive Schreibweise des Skalarproduks üblich, die wir aber ers in Abschni 4.. einführen. Manchmal wird das Skalarproduk a b auch durch spize Klammern a, b dargesell. Beispiel 3.3 (Skalarproduk) Der Vekor a besiz die Länge und der Vekor b die Länge 3. Der Winkel zwischen den Vekoren beräg 30. Dann laue das Skalarproduk a b = 3 cos (30 ) = 6 = 3. Man kann die Sichweise auf die Formel in Definiion 3.7 auch umkehren. Angenommen, wir kennen den Wer des Skalarprodukes zweier Vekoren und die Beräge der beiden Vekoren. Dann können wir daraus den Winkel berechnen. Skalarproduk und Winkel Wenn man das Skalarproduk und die Längen der beiden Vekoren a und b kenn, dann kann man daraus den Winkel zwischen den beiden Vekoren berechnen: (a, b) = arccos ( a b a b ). Da der Arkuskosinus nur Were zwischen 0 und π liefer, ergeben sich mi dieser Formel nur Winkel im Bereich von 0 bis 80. Dies ensprich also genau der ursprünglichen Feslegung des Winkels. Beispiel 3.4 (Winkel zwischen Vekoren) Der Vekor a besiz die Länge und der Vekor b die Länge 8. Das Skalarproduk der beiden Vekoren beräg 4. Dann können wir den Winkel aus diesen Angaben berechnen: (a, b) = arccos ( 4 8 ) = arccos ( ). Somi beräg der Winkel 35.

5 96 3 Vekoren Spaproduk Eine Formel für das Spaproduk ergib sich aus der Formel für das Skalarproduk aus Saz 3.3 und der Formel für das Vekorproduk aus Saz 3.4: [a, b, c] = a (b c) = a a a 3 b c 3 b 3 c b 3 c b c 3 b c b c = a (b c 3 b 3 c ) + a (b 3 c b c 3 ) + a 3 (b c b c ). Diese Formel sieh komplizierer aus, als sie in Wirklichkei is. Genau wie das Kreuzproduk, läss sich auch das Spaproduk mihilfe von Deerminanen darsellen, siehe Abschni Saz 3.5 (Spaproduk von Vekoren in Koordinaen) Für das Spaproduk der Vekoren a, b und c gil: [a, b, c] = a (b c 3 b 3 c ) + a (b 3 c b c 3 ) + a 3 (b c b c ). Beispiel 3.4 (Spaproduk) Das Spaproduk der drei Vekoren beräg a = 4, b =, c = [ a, b, c ] = (( ) ( 4) 3) ( ( 3) ( 4)) + 4 ( 3 ( ) ( 3)) = 6. Der Spa, der von den drei Vekoren aufgespann wird, ha also das Volumen V = 6 = 6. Da das Spaproduk negaiv is, bilden die drei Vekoren ein Linkssysem Lineare Abhängigkei und Komponenenzerlegung Die Themen lineare Abhängigkei und Komponenenzerlegung haben wir bereis in Abschni 3..6 ausführlich unersuch. In diesem Abschni erläuern wir anhand von Beispielen, wie die Unersuchung auf lineare Abhängigkei und die Komponenenzerlegung für Vekoren in Koordinaen erfolg.

6 5. Einführung 65 Definiion 5.8 (Skalierung in x-richung) Definier man eine neue Funkion f, indem man in der Funkion f die Variable x durch a x ersez f(x) = f(a x), dann enseh das Schaubild der neuen Funkion f durch Skalierung des Schaubildes von f in Richung der x-achse. Für a > wird das Schaubild gesauch, für 0 < a < wird es gedehn. Negaive a-were erzeugen zusäzlich eine Spiegelung an der y-achse. Beispiel 5.6 (Funkion skalieren in x) Die Funkion f(x) = 4 x3 4 x 3 x soll um den Fakor in x skalier werden. Dazu ersezen wir x durch x in der Funkionsgleichung: f(x) = f( x) = 4 ( x)3 4 ( x) 3 ( x) = x 3 x 3 x. y f(x) 3 3 x f(x) Definiion 5.9 (Skalierung in y-richung) Definier man eine neue Funkion f, indem man die Funkion f mi dem konsanen Fakor a muliplizier f(x) = a f(x), dann enseh das Schaubild der neuen Funkion f durch Skalierung des Schaubildes von f in Richung der y-achse. Für a > wird das Schaubild gedehn, für 0 < a < wird es gesauch. Negaive a-were erzeugen zusäzlich eine Spiegelung an der x-achse. Beispiel 5.7 (Funkion skalieren in y) Die Funkion f(x) = 4 x3 4 x 3 x y f(x) soll um den Fakor 4 in y skalier werden. Dazu wird 3 die Funkionsgleichung mi diesem Fakor muliplizier: f(x) = 4 3 f(x) = 3 x 3 3 x 6 x. 3 3 f(x) x

7 00 5 Funkionen Beispiel 5.49 (Fibonacci-Folge) Eine ypische rekursiv definiere Folge is die Fibonacci-Folge. Der Begriff samm vom ialienischen Mahemaiker Leonardo von Pisa, genann Fibonacci. Die ersen beiden Folgenglieder werden durch a = 0 und a = fesgeleg. Alle anderen Folgenglieder ergeben sich aus dem Bildungsgesez a k = a k + a k. Ein Folgenglied beseh also immer aus der Summe der beiden Vorgängerglieder (a k ) = 0,,,, 3, 5, 8, 3,,... Es is offensichlich, dass die Were der Folgenglieder über alle Grenzen anwachsen. Schließlich gib es auch Folgen, deren Folgenglieder mi Woren definier sind. Dabei kann es vorkommen, dass für diese Folgen weder eine explizie noch eine rekursive Berechnungsvorschrif bekann is. Beispiel 5.50 (Folge der Primzahlen) Es is mahemaisch bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gib. Allerdings kenn man für die Folge der Primzahlen (a k ) =,, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3,... keine Berechnungsvorschrif für das allgemeine Folgenglied. Die Vereilung der Primzahlen wurde in der Geschiche der Mahemaik ofmals unersuch. Der Mahemaiker Adrien-Marie Legendre ha um 798 eine asympoische Formel für die Primzahlvereilung aufgesell. Bei den bisherigen Beispielen is es uns nur zum Teil gelungen, das Verhalen der Folgenglieder a k für große k vorherzusagen. Dies is auch kein Wunder, denn das Grenzwerverhalen von Folgen is kein einfaches Thema. Ers Anfang des 9. Jahrhunders führe der französische Mahemaiker Augusin-Louis Cauchy eine exake mahemaische Definiion des Begriffs Grenzwer ein. Dami wurde in der Mahemaik der Wandel vom inuiiven Umgang mi Funkionen zur sreng mehodischen Analysis vollzogen. Definiion 5.33 (Grenzwer einer Zahlenfolge) Eine Zahlenfolge (a k ) besiz den Grenzwer a, wenn es zu jedem ε > 0 einen Index n gib, sodass a k a < ε für alle naürlichen Zahlen k > n. Eine Zahlenfolge, die einen Grenzwer besiz, nenn man konvergen und verwende die Schreibweisen a k a + a a ε ε (a k ) a für k oder lim k a k = a. Eine Zahlenfolge, die keinen Grenzwer besiz, nenn man divergen n... k

8 04 5 Funkionen Die Bezeichnung mi dem großen O geh auf die beiden deuschen Mahemaiker Paul Bachmann und Edmund Landau zurück. Manchmal wird auch die Bezeichnung mi dem Gleichheiszeichen a k = O(b k ) anselle der Elemenrelaion verwende. Sreng genommen is diese Bezeichnung nich korrek, denn viele unerschiedliche Folgen können dieselbe asympoische obere Schranke besizen, siehe Beispiel 5.5. Das Landau-Symbol wird in der heoreischen Informaik bei der Komplexiäsanalyse von Algorihmen verwende. Es gib auch noch ein Landau-Symbol mi dem kleinen o. Auf weiere Deails dazu verzichen wir und verweisen auf [Heuser:Analysis] und [Höllig] Grenzwer einer Funkion An den Sellen, an denen eine Funkion eine Definiionslücke besiz, kann man keinen Funkionswer berechnen. Mihilfe von Folgen können wir uns jedoch beliebig nahe an Definiionslücken heranasen. Bei diesem Heranasen an eine Definiionslücke ensehen unerschiedliche Effeke, die wir genauer analysieren werden. Beispiel 5.53 (Grenzwer einer Funkion) Die Funkion f(x) = x3 cos ( x) is zwar für x = 0 nich definier, zu allen anderen x x-weren können wir die Funkionswere jedoch berechnen. Die Folge mi den Gliedern a k = 0 k konvergier gegen die Definiionslücke x = 0. Wenn wir die Folgenglieder in die Funkion einsezen, erhalen wir a k f(a k ) ? Auch die Folge mi den Gliedern b k = konvergier gegen die Definiionslücke x = 0. Eingesez 0k in die Funkionsgleichung ergib sich b k f(b k ) ? Alle Folgenglieder der Folge (a k ) sind negaiv, sie nähern sich der Definiionslücke x = 0 von links. Ensprechend näher sich die Folge (b k ) der Definiionslücke x = 0 von rechs. Aufgrund der Zahlenwere vermuen wir, dass die Funkionswere in beiden Fällen gegen den Grenzwer konvergieren. Die Vorgehensweise in Beispiel 5.53 zur Ermilung des Grenzwers einer Funkion is zwar mihilfe von Taschenrechnern oder Compuern einfach möglich. Aus Sich der Mahemaik is diese inuiive Mehode jedoch unbefriedigend. Wir werden späer eine Mehode zur Grenzwerbesimmung kennenlernen, die uner dem Namen Bernoulli-de l Hospial bekann is, siehe Abschni 6.3.

9 5.5 Grenzwer und Seigkei 07 Bedingungen für Seigkei Eine Funkion is genau dann seig an der Selle x 0, wenn alle folgenden Bedingungen erfüll sind: () Die Funkion is an der Selle x 0 selbs und in einer Umgebung der Selle x 0 definier. () Der Grenzwer der Funkion an der Selle x 0 exisier. Insbesondere müssen der linksseiige Grenzwer G L und der rechsseiige Grenzwer G R an der Selle x 0 exisieren und gleich sein. (3) Grenzwer und Funkionswer simmen an der Selle x 0 überein. Beispiel 5.55 (Unersuchung auf Seigkei) a) Die Funkion f(x) = is an der Selle x = nich definier, also ers rech nich seig. x b) Bei der Funkion f(x) = sgn(x) simmen linksseiiger und rechsseiiger Grenzwer an der Selle 0 nich überein, denn G L = lim sgn(x) = und G R = lim sgn(x) =. Somi is die x 0 x 0+ Funkion an der Selle x = 0 auch nich seig. Abgesehen von ihren Definiionslücken sind alle elemenaren Funkionen überall seig. Seigkei elemenarer Funkionen Alle elemenaren Funkionen sind auf ihrem Definiionsbereich überall seig. Die Summe, die Differenz, das Produk und der Quoien seiger Funkionen ergib wieder eine seige Funkion. Saz 5.8 (Kombinaion seiger Funkionen) Wenn f und g seige Funkionen an der Selle x 0 sind, dann gil: Die Funkion f ± g is auch seig in x 0. Die Funkion f g is auch seig in x 0. Die Funkion f g is auch seig in x 0, falls g(x 0 ) 0. Auch für die Komposiion von seigen Funkionen gil, dass das Resula wieder eine seige Funkion ergib. Saz 5.9 (Komposiion seiger Funkionen) Wenn g eine seige Funkion an der Selle x 0 is und f eine seige Funkionen an der Selle f(x 0 ) is, dann gil: Die Funkion f g is auch seig an der Selle x 0.

10 5.5 Grenzwer und Seigkei 09 Beispiel 5.57 (Sprungsellen) Die Funkion f(x) = x für x [, ], f(x + ) = f(x) y f(x) beseh aus einem Funkionsprooyp über dem Inervall [, ], der mi der Periode auf der Menge der reellen Zahlen forgesez wird. Sie ha unendlich viele Sprungsellen und zwar an den Sellen x = k für k Z. 3 4 x Definiion 5.43 (Polselle, senkreche Asympoe) Man nenn die Selle x 0 eine Polselle oder y kurz Pol einer Funkion f, wenn der linksseiige und der rechsseiige Grenzwer an der Selle x 0 uneigenliche Grenzwere ± sind. Eine Polselle is eine Unseigkeisselle. Ar. Das Schaubild der Funkion besiz an einer Polselle eine senkreche Asympoe. Bei Polsellen y mi Vorzeichenwechsel finde ein Übergang der Funkionswere von nach oder von nach sa. Bei Polsellen ohne Vorzeichenwechsel sind enweder beide uneigenliche Grenzwere oder beide. x x y y x x Beispiel 5.58 (Polsellen) a) Die Funkion f(x) = x ha an der Selle x = eine Definiionslücke. Wenn wir uns von links an die Definiionslücke heranasen, dann erhalen wir G L = lim x x =. Auch der rechsseiige Grenzwer G R = lim x + x = is ein uneigenlicher Grenzwer. An der Selle x = lieg ein Pol mi Vorzeichenwechsel vor. y 3 3 f(x) = x x

11 0 5 Funkionen Aufgrund seiner Definiion über die e-funkion sind die Eigenschafen des Sinus Hyperbolicus direk aus den Eigenschafen der e-funkion ableibar. Eigenschafen des Sinus Hyperbolicus Definiionsbereich: D = R Werebereich: W = R Symmerie: ungerade Monoonie: sreng monoon wachsend Nullselle: x = 0 y e x sinh x e x x Der Kosinus Hyperbolicus enseh dadurch, dass die beiden Funkionen e x und e x addier und dann durch geeil werden. Es wird also der Mielwer aus e x und e x gebilde. Definiion 5.50 (Kosinus Hyperbolicus) Die Funkion Kosinus Hyperbolicus is definier durch cosh x = ex + e x. In der Technik wird der Kosinus Hyperbolicus auch als Keenlinie oder Kaenoide bezeichne. Der Begriff Keenlinie ha folgende Bedeuung: Eine an zwei Punken auf gleicher Höhe befesige Kee nimm uner dem Einfluss der Schwerkraf die Form einer Kosinus Hyperbolicusfunkion an. Auch die Eigenschafen des Kosinus Hyperbolicus sind eng verwand mi den Eigenschafen der Exponenialfunkion. Eigenschafen des Kosinus Hyperbolicus Definiionsbereich: D = R Werebereich: W = [, ) Symmerie: gerade Monoonie: sreng monoon fallend auf (, 0], sreng monoon wachsend auf [0, ) e x y e x 3 cosh x x

12 5.7 Umkehrfunkionen 7 Beispiel 5.70 (Were des Arkuskosinus) a) Es is arccos ( ) = π π, denn cos ( 3 3 ) =. b) Es is arccos () = 0, denn cos (0) =. c) Der Wer arccos ( π ) is nich definier, da π lieg. nich im Definiionsbereich des Arkuskosinus Beispiel 5.69 zeig, dass man beim Lösen einer rigonomerischen Gleichung mi dem Arkussinus sehr sorgfälig vorgehen muss, dami man nich einen Teil der Lösungen verlier. Das Lösen rigonomerischer Gleichungen mi dem Arkuskosinus verläuf analog zum Vorgehen beim Arkussinus. Wichig hierbei is wiederum die Mehrdeuigkei des gesuchen Winkels. Gleichungen lösen mi Arkuskosinus Der Kosinus is nur auf der halben Periode umkehrbar. Um alle Lösungen der Gleichung cos x = y zu besimmen, berechne man die erse Lösung direk mi dem Arkuskosinus, also x 0 = arccos y. Die zweie Lösung ergib sich durch x = arccos y. Alle Lösungen ergeben sich wegen der Periode π zu x = arccos y + k π, x = arccos y + k π, k Z. Beispiel 5.7 (Arkuskosinus) Wir suchen alle Nullsellen der Funkion f(x) = 4 cos x. Diese x-were erfüllen die Gleichung cos x = ±. Mi dem Arkuskosinus erhalen wir x 0 = arccos ( ) = x = arccos ( ) = π 4, 5 π 4. x 3 y x f(x) = 4 cos x x 0 π x x Die ensprechenden negaiven Were x = π 5 π und x3 = sind auch Nullsellen der Funkion 4 4 Alle Lösungen ergeben sich wegen der Periode π zu x = π 4 + π k, x = 5 π 4 + π k, x = π 4 + π k, x = 5 π + π k, k Z. 4 Im Gegensaz zum Sinus und zum Kosinus is der Tangens auf der vollen Periode sreng monoon wachsend und somi umkehrbar. Dies gil auch für den Koangens.

13 6. Ableiungsechnik 57 Den Ausdruck im Zähler erweiern wir geschick und eilen den Bruch in zwei Brüche auf: (f(x) g(x)) f(x + x) g(x + x) f(x) g(x + x) = lim x 0 x + lim x 0 Durch weiere Umformungen erhalen wir lim x 0 f(x + x) f(x) x f (x) f(x) g(x + x) f(x) g(x). x g(x + x) + lim g(x) x 0 g(x + x) g(x) x g (x) f(x). Saz 6.7 (Produkregel) Beim Ableien eines Produkes zweier Funkionen f und g summier man das Produk aus der Ableiung der ersen Funkion f und der zweien Funkion g und das Produk aus der ersen Funkion f und der Ableiung der zweien Funkion g : (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x). Beispiel 6. (Produkregel) a) Die Ableiung der Funkion f(x) = x e x berechnen wir mi der Produkregel f (x) = e x + x e x = ( + x) e x. b) Bei der Funkion f(x) = ( x 7 x + 5) (sin x + cos x) könne man zuers die Klammern ausmuliplizieren und dann die Ableiung berechnen. Eleganer is jedoch, die Produkregel direk anzuwenden: f (x) = (4 x 7) (sin x + cos x) ( x 7 x + 5) (cos x sin x). c) Auch die Ableiung der Funkion f(x) = sin x kann man mi der Produkregel berechnen, indem man die Funkion in der Form f(x) = sin x sin x darsell: f (x) = cos x sin x + sin x cos x = sin x cos x. Alernaiv könne man die Ableiung von f(x) = sin x auch mihilfe der Poenzregel und der Keenregel berechnen, siehe Beispiel 6.3. Die Ableiungsregel für einen Quoienen aus zwei Funkionen ergib sich als unmielbare Konsequenz aus der Produkregel. Wenn sich die Funkion h als Quoien der Zählerfunkion f und der Nennerfunkion g darsellen läss, dann kann man die Funkion f im Zähler auch als Produk der Funkion h und der Funkion g im Nenner darsellen: h(x) = f(x) g(x) h(x) g(x) = f(x).

14 6.6 Anwendungen 85 Dem sogenannen relaiven Fehler, also dem Fehler bezogen auf die Messgröße, komm dabei eine wesenliche Bedeuung in der Praxis zu. Eine Abweichung von einem Gramm is bei einem Brief rech viel, bei einem mi Alpapier beladenen Lkw jedoch relaiv wenig. Definiion 6.7 (Fehler) Für eine Größe f mi einer Abweichung f definier man den absoluen Fehler durch E a = f, den relaiven Fehler durch E r = f f, den prozenualen Fehler durch E p = f 00 %. f Bei kleinen Abweichungen x können wir miels des Differenzials Abschäzungen für den Ausgangsfehler einer Funkion in Abhängigkei vom Eingangsfehler herleien. Bereis in Abschni 6.. haben wir gesehen, dass das Differenzial ein guer Näherungswer für den absoluen Fehler darsell, also f df = f x. Es is unser Ziel, möglichs einfache Abschäzungen herzuleien. Wir nehmen also kleine Ungenauigkeien zugunsen einfacher Anwendung an dieser Selle in Kauf. Saz 6.6 (Abschäzung des maximalen Fehlers) Näherungsweise abschäzen läss sich der maximale absolue Fehler durch f f x, der maximale relaive Fehler durch f f f f x. Beispiel 6.34 (Relaiver Fehler einer Kugel) Bei der Produkion von Kugeln sollen diejenigen Kugeln, deren Radien einen vorgegebenen Radius um mehr als % über- oder unerschreien, aussorier werden. Die Messung des Radius erforder ein aufwendiges Verfahren, im Gegensaz dazu läss sich die Masse einfacher besimmen. Wir wollen nun herausfinden, welchen relaiven Fehler die Masse einer Kugel haben darf. Die Masse in Abhängigkei des Radius r berechne man mihilfe des Volumens V. Für das Volumen einer Kugel gil die Formel V (r) = ρ 4 3 π r3. Dami gil für die Masse m(r) = ρ V (r) = ρ 4 3 π r3, wobei ρ die Diche bezeichne. Näherungsweise gil für den relaiven Fehler m m m (r) m(r) ρ 4 π r r r = r = 3 ρ 4 π r3 r. 3 Der relaive Fehler der Masse darf also 3 mal so groß wie der relaive Fehler des Radius sein.

15 9 6 Differenzialrechnung Aufgabe 6.3 Wir berachen die zusammengeseze Funkion f(x) = { a) Unersuchen Sie die Funkion f auf Symmerie. b) Is f an der Selle x = 0 seig bzw. differenzierbar? x x für x 0 x x für x < 0 c) Besimmen Sie alle Nullsellen, Exremwere und Wendepunke der Funkion f. d) Skizzieren Sie die Funkion f mi allen bekannen Eigenschafen. auf R. Aufgabe 6.4 Wir berachen das Polynom f(x) = 5 x3 7 0 x x + 5. a) Welchen maximalen Definiionsbereich ha die Funkion f? Wo is die Funkion seig und wo is sie differenzierbar? b) Zeigen Sie, dass x = eine Nullselle von f is, und besimmen Sie alle weieren Nullsellen. c) Berechnen Sie alle Hochpunke, Tiefpunke und Wendepunke der Funkion f. d) Is die Funkion f beschränk? Welche Monoonieeigenschafen ha die Funkion? e) Skizzieren Sie das Schaubild der Funkion f und geben Sie den Werebereich an. Aufgabe 6.5 (x ) Gegeben is die gebrochenraionale Funkion x +. a) Welchen maximalen Definiionsbereich besiz die Funkion f? b) Welches asympoische Verhalen ha f für x ±? c) Besimmen Sie alle Schnipunke mi der x-achse und der y-achse. d) Besiz die Funkion f Polsellen? Wenn ja, finden Vorzeichenwechsel sa? e) Besimmen Sie alle Exremwere und Wendepunke der Funkion f. f) Skizzieren Sie die Funkion f mi allen bisher besimmen Eigenschafen. Aufgabe 6.6 Wir berachen die Säigungsfunkion f() = A für 0 mi dem Parameer A > 0. + A a) Wo is die Funkion f seig und wo is sie differenzierbar? b) Berechnen Sie alle Nullsellen, Hochpunke, Tiefpunke und Wendepunke der Funkion f. c) Ermieln Sie den Säigungswer lim x f(). d) Is die Funkion f beschränk? Welche Monoonieeigenschafen ha die Funkion? e) Zu welchem Zeipunk wird der halbe Säigungswer erreich? f) Besimmen Sie die Tangene der Funkion f an der Selle = 0. g) Skizzieren Sie das Schaubild der Funkion f und geben Sie den Werebereich an.

16 300 7 Inegralrechnung Die Trapezfläche können wir aus dem Produk der Länge der Grundseie und der mileren Höhe berechnen, siehe Abschni Somi erhalen wir Dadurch gil A() = ( ) ( + ) = 4 ( ). A() 3 A() = 4 ( ) A() = x dx = 4 ( ). 3 4 Die Ableiung der Inegralfunkion sell die Verbindung zwischen Differenzial- und Inegralrechnung her. Die Berechnung der Ableiung erfolg miels Definiion über den Grenzwer A () = lim 0 A( + ) A(). Die Differenz der beiden Inegralfunkionswere beseh aus einem Flächensück, das bei sare und bei + ende. Diese Differenz kann man für kleine -Were durch ein Recheck mi Grundseie und Höhe f() annähern: A( + ) A() f(). Insgesam erhalen wir dann y f() A A( + ) A() f() () = lim lim = f(). 0 0 a A() f(x) + Die Ableiung der Inegralfunkion is also gerade die Funkion f selbs. Diesen wichigen Zusammenhang bezeichne man als Haupsaz der Differenzial- und Inegralrechnung. Saz 7. (Haupsaz der Differenzial- und Inegralrechnung I) Die Ableiung der Inegralfunkion A() = a f(x) dx is die Ausgangsfunkion f. Es gil also A () = d d f(x) dx = f(). a Der Haupsaz der Differenzial- und Inegralrechnung beseh aus zwei Teilen. Der erse Teil beschreib den Zusammenhang zwischen der Ableiung der Inegralfunkion und der Ausgangsfunkion. Der zweie Teil, den wir in Abschni 7..3 behandeln, liefer eine Formel zur Berechnung von besimmen Inegralen. x

17 7.4 Länge, Flächeninhal und Volumen 37 Das Berechnungsprinzip läss sich auch anwenden, wenn die beiden Funkionen abwechselnd oberhalb oder unerhalb voneinander verlaufen. Man zerleg dann die Fläche in Teilflächen zwischen den Schnipunken. Beispiel 7.3 (Fläche zwischen zwei Funkionen) a) Die Schaubilder der beiden Funkionen f(x) = x 6 x + 7, g(x) = 3 x begrenzen eine Fläche. Zur Besimmung des Flächeninhals A berechnen wir zunächs die x-were der Schnipunke der beiden Schaubilder. Die zwei x-were x = und x = 4 sind die Lösungen der quadraischen Gleichung x 6 x + 7 = 3 x. y f(x) = x 6 x x g(x) = 3 Aus der Skizze erkennen wir, dass im Bereich von bis 4 die Funkion g oberhalb von f verläuf. Somi berechnen wir den Flächeninhal durch A = 4 ((3 x) (x 6 x + 7)) dx = = 3 x x 4 x = 9. 4 ( x + 5 x 4) dx b) Wir berachen die beiden Funkionen y f(x) = sin x, g(x) = cos x. Die Schaubilder dieser Funkionen haben zwar unendlich viele Schnipunke, aus Symmeriegründen haben aber alle Teilflächen zwischen diesen beiden Funkionen denselben Flächeninhal. Sinus und Kosinus haben für x = π 4, x = 5 π 4 f(x) = sin (x) 4 π π 5 4 π g(x) = cos (x) jeweils dieselben Were, nämlich ±. Im Bereich von x bis x verläuf der Sinus oberhalb vom Kosinus. Wir besimmen den Flächeninhal A einer einzigen Teilfläche. Dieser is gegeben durch x A = π 4 5 π 4 5 π 4 (sin x cos x) dx = ( cos x sin x) =. π Bogenlänge Uner der Bogenlänge verseh man die Länge, die das Schaubild einer Funkion ha. Dabei wird die Krümmung berücksichig. Wir können uns vorsellen, dass wir einen Faden enlang des Schaubildes legen, Anfang und Ende markieren und dann die Länge dieses Fadens mihilfe eines Lineals abmessen.

18 8.4 Eigenschafen 357 Beispiel 8.3 (Division von Poenzreihen) Die Funkion f(x) = an x is der Quoien aus Sinus und Kosinus. Für beide Funkionen kennen wir die Poenzreihen mi Enwicklungsselle x 0 = 0, siehe Beispiel 8.9. Bei der Poenzreihe von f beschränken wir uns auf die Berechnung der Glieder bis zur Ordnung 5: an x = c 0 + c x + c x + c 3x 3 + c 4x 4 + c 5x Ensprechend müssen wir bei den Poenzreihen des Sinus und Kosinus auch nur Glieder bis zur Ordnung 5 berücksichigen: x x3 6 + x5 x... = ( 0 + x4 4...) (c0 + cx + cx + c 3x 3 + c 4x 4 + c 5x ). Ausmuliplizieren der Klammern auf der rechen Seie ergib c 0 + c x + (c c0 ) x + (c 3 c ) x3 + (c 4 c + c0 4 ) x4 + (c 5 c3 + c 4 ) x Aus dem Koeffizienenvergleich folg c 0 = 0, c =, c = 0 und c 3 = 6 c3 = 3, c4 = 0, c = 0 c5 = 5. Dadurch erhalen wir die Poenzreihe des Tangens an x = x + 3 x3 + 5 x Obwohl die Poenzreihen des Sinus und Kosinus den Konvergenzradius r = besizen, gil diese Reihenenwicklung nur für x < π, denn bei x = ± π besiz der Tangens Definiionslücken. Durch Symmerieüberlegungen häen wir uns in Beispiel 8.3 die Arbei erleichern können. Der Sinus is eine gerade Funkion und der Kosinus is eine ungerade Funkion. Somi is der Tangens als Quoien beider Funkion eine ungerade Funkion. Bei der Reihenenwicklung des Tangens häe man also von vornherein berücksichigen können, dass die Koeffizienen mi geradem Index, die ja bei Poenzen mi geraden Hochzahlen sehen, alle null sind. Poenzreihen symmerischer Funkionen Die Poenzreihe mi Enwicklungsselle x 0 = 0 einer geraden Funkion besiz nur gerade Poenzen. ungeraden Funkion besiz nur ungerade Poenzen. Die Symmerieüberlegungen lassen sich auf Funkionen, die achsensymmerisch zur Achse x = x 0 oder punksymmerisch zum Punk mi den Koordinaen (x 0 y 0 ) sind, verallgemeinern. Diese verallgemeinere Symmerie is in Definiion 5.8 und Definiion 5.0 beschrieben. Dazu berache man Poenzreihen mi der ensprechenden Enwicklungsselle x 0. In diesen Reihen reen dann die Glieder (x x 0 ) k nur mi geraden oder nur mi ungeraden Hochzahlen auf.

19 37 9 Kurven c) Wir berachen die Kegelschnigleichung y 3x + y 5 = 0. Der Term x is nich enhalen. Die Ergänzung von y zum vollsändigen Quadra führ auf die Gleichung (y + ) = 3(x ). Dami is der Kegelschni eine Parabel mi dem Scheielpunk M( ). y 3 3 S x 9.3 Tangene Ein wichiges Prinzip in der Mahemaik beseh darin, kompliziere Objeke durch einfachere Objeke anzunähern. Man verwende dieses Prinzip ewa, um eine Funkion durch eine Tangene an einer besimmen Selle zu approximieren. Solange man sich in einer kleinen Umgebung der Selle befinde, mach sich der Unerschied zwischen Funkion und Tangene kaum bemerkbar. Dasselbe Prinzip läss sich auf Kurven überragen. Die Tangene einer Kurve wird als Grenzwer definier. Definiion 9.8 (Tangenenvekor und Tangene) Der Tangenenvekor einer Kurve mi der Parameerdarsellung c() im Kurvenpunk mi dem Parameerwer 0 is definier durch c ( 0 ) = lim 0 (c( 0 + ) c( 0 )). Die Gerade durch den Kurvenpunk c( 0 ) mi dem Richungsvekor c ( 0 ) nenn man die Tangene der Kurve zum Parameerwer 0. O c( 0 ) c( 0 + ) Der Grenzwer für den Tangenenvekor is koordinaenweise zu versehen. Auf den ersen Blick frag man sich vielleich in Definiion 9.8, warum man den Tangenenvekor nich als Grenzwer der Differenz der beiden Orsvekoren ohne den Vorfakor, also durch lim (c( 0 + ) c( 0 )) 0 definier ha. Die Anwor auf diese Frage is nahe liegend. Ohne den Fakor sich im Grenzwer der Nullvekor ergeben. würde

20 9.7 Anwendungen 383 Sraßen werden, sowei es die baulichen Gegebenheien erlauben, so angeleg, dass sie möglichs sicher und komforabel befahren werden können. Dazu forder man insbesondere, dass der Lenkwinkel nich sprunghaf geänder werden muss, um dem Sraßenverlauf zu folgen. Dies ha auch einen Komforaspek, denn der Lenkwinkel und die Querbeschleunigung sind fahrdynamisch näherungsweise proporional. Man möche also Unseigkeien in der Querbeschleunigung vermeiden. Beispiel 9.7 (Klohoide) Zwei Geradensücke im 90 -Winkel sollen mieinander verbunden werden. Eine Lösung mi einem Kreisbogen mi Radius r ha den Nacheil, dass die Kurve an den Nahsellen zwischen Geraden und Kreisbogen einen Sprung in der Krümmung besiz. Besser is der Ansaz mi einer Klohoide: c() = ( x() a π y() ) = a π 0 0 cos π τ dτ sin π τ dτ. y r Kreis r c() Klohoide Die Klohoide is prinzipiell für alle R definier. Dabei is a ein Parameer, der die Särke der Krümmungsänderung beschreib. Die Inegranden besizen zwar Sammfunkionen, diese sind aber nich elemenar darsellbar, siehe Abschni 7.3. Sez man für die Klohoide die Formel für die Krümmung aus Definiion 9. und die Formel für die Bogenlänge aus Definiion 9.3 an, so erhäl man nach einigen Rechenschrien π κ = a, s = a π κ = a s. Die Krümmung κ is proporional zur Bogenlänge s. Die Klohoide besiz also die richige Eigenschaf für eine gleichmäßige Krümmungsänderung. Durchfähr man eine Klohoide mi konsaner Geschwindigkei, so muss man den Lenkwinkel proporional zur Zei ändern. Für das gesuche Verbindungssück zwischen den Geraden sezen wir also zwei Klohoidenbögen ein. Diese beiden Bögen sind symmerisch zur Geraden r x. Wir berachen nun nur den einen Bogen, der am Anfang eine waagreche Tangene ha. Für diesen Klohoidenbogen is noch die Frage offen, wie der Parameerendwer und der Kurvenparameer a gewähl werden müssen, dami die Kurve insgesam ansazfrei is. Dazu bilden wir mihilfe des Haupsazes der Differenzial- und Inegralrechnung, siehe Saz 7., den Tangenenvekor c () = ( x () y () ) = a π cos π a π sin π und fordern, dass dieser am Endpunk den Winkel 45 besiz. Dazu muss der Sinuswer mi dem Kosinuswer übereinsimmen. Wir erhalen =. Weierhin beseh die Bedingung, dass am Endpunk des Kurvenbogens die Summe aus x-wer und y-wer gerade r ergeben muss: a(x( ) + y( )) = r a = r x( ) + y( ). x Dami sind also sowohl als auch a besimm.

21 0. Definiion und Darsellung 39 Beispiel 0.5 (Hyperbolisches Paraboloid) Das Schaubild der Funkion f (x, y) = x y 4 beseh aus einem sogenannen hyperbolischen Paraboloid. Die Schnikurven für x = x0 und y = y0 sind Geraden. Höhenlinien haben die Form z0 = x y, 4 sie sind also rechwinklige Hyperbeln. Beispiel 0.6 (Zusammengeseze Exponenialfunkion) Die Funkion f (x, y) = 4 x e (x +y ) enseh im Wesenlichen durch Muliplikaion der Variablen x mi einer Exponenialfunkion. Je weier man sich vom Ursprung enfern, deso kleiner werden die Funkionswere. Roaionssymmerische Funkionen sind Funkionen, bei denen der Funkionswer f (x, y) nur von Radius r = x + y abhäng. Die unabhängigen Variablen reen also nur in der Form x + y auf. Die Schaubilder solcher Funkionen sind roaionssymmerisch bezüglich der z-achse. Die Höhenlinien von Roaionsflächen sind konzenrische Kreise. Beispiel 0.7 (Halbkugel) Das Schaubild der roaionssymmerischen Funkion f (x, y) = x y sell die obere Hälfe der Kugel mi Radius und Mielpunk im Ursprung dar. Definiions- und Werebereich sind D = {(x, y) x + y }, W = [0, ]. Die Schnikurven für x0 = 0 und y0 = 0 sind g (y) = y, g (x) = y, also Halbkreise um den Ursprung mi Radius. Höhenlinien exisieren für 0 z0, nämlich implizi in der Form x + y = z0. Dies sind konzenrische Kreise um den Ursprung mi Radius r = z0.

22 0.3 Differenziaion 407 Ableiungen, analog zur zweien Ableiung im Eindimensionalen, eine besondere Bedeuung bei der Besimmung von Exremweren besizen. Die sogenanne Hesse-Marix is benann nach dem Mahemaiker Luwig Oo Hesse. Definiion 0.4 (Hesse-Marix) Die Hesse-Marix einer Funkion f is eine Marix, die aus allen zweien pariellen Ableiungen von f beseh: H(x, y) = ( f xx(x, y) f xy (x, y) f yx (x, y) f yy (x, y) ) Exremwere Bei Problemsellungen aus der Praxis unersuch man Funkionen mi mehreren Variablen, um möglichs opimale Parameer eines komplexen Sysems zu besimmen. Opimal bedeue dabei, dass die Funkion einen minimalen oder maximalen Wer besiz. Definiion 0.5 (Lokaler Exremwer) Eine Funkion f mi zwei Variablen besiz an der Selle (x 0, y 0 ) ein lokales Minimum, wenn alle Funkionswere in der Umgebung von (x 0, y 0 ) größer sind als der Funkionswer an der Selle (x 0, y 0 ). ein lokales Maximum, wenn alle Funkionswere in der Umgebung von (x 0, y 0 ) kleiner sind als der Funkionswer an der Selle (x 0, y 0 ). Bei einer Funkion mi einer Veränderlichen muss das Schaubild in einem Hochpunk oder Tiefpunk eine waagreche Tangene besizen. Nowendigerweise muss das Schaubild bei einer Funkion mi mehreren Variablen in einem Exrempunk eine horizonale Tangenialebene besizen. Saz 0.5 (Nowendige Bedingungen für einen Exremwer) Eine Funkion f mi zwei Variablen besiz an der Selle (x 0, y 0 ) einen Exremwer, wenn beide pariellen Ableiungen erser Ordnung an der Selle (x 0, y 0 ) null sind: f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. Hinreichende Bedingungen für Exremwere erhäl man, wie bei Funkionen mi einer Veränderlichen, aus den zweien Ableiungen. Man kann zeigen, dass die sogenanne Definihei der Marix mi den pariellen Ableiungen zweier Ordnung hinreichend für eine Exremselle is. Bei Funkionen mi zwei Veränderlichen kann man die Definihei der Hesse-Marix mi der Deerminane besimmen.

23 436 Komplexe Zahlen und Funkionen Beispiel.6 (Beräge komplexer Zahlen) a) Gesuch sind alle komplexen Zahlen z mi Im z 4 3 i <. Aus der Darsellung z (4 + 3 i) < erkennen wir, dass es sich um alle komplexen Zahlen z handel, die von z 0 = i einen Absand größer gleich und ech kleiner haben. 4i 3i i i z Re b) Bei der Menge aller Zahlen z mi Im z ( + i) z (5 + 3 i) is der Absand der Zahlen z zur fesen Zahl z = + i größer oder gleich dem Absand zur Zahl z = i. Alle Zahlen z auf der Mielsenkrechen durch z 0 = (z + z) = 3 + i haben denselben Absand zu z und z. Somi lie- gen die Zahlen z alle in einer Halbebene. 4i 3i i i z z 0 z Re c) Bei allen Zahlen z mi der Eigenschaf z ( + i) + z (6 + i) = 6 ha die Summe der Absände zu z = + i und z = 6 + i den Wer 6. Es is eine Ellipse mi Halbachse a = 6, siehe Definiion 9.5. Die Exzenriziä e = ensprich dem halben Absand der Brennpunke. Daraus kann man durch b = a e = 9 4 = 5 Im 4i 3i i i z a z 0 e z b Re die Länge der zweien Halbachse besimmen..3 Poenzen, Wurzeln und Polynome Moivier wurde die Einführung der komplexen Zahlen durch die Gleichung z =. Wir verallgemeinern diese Fragesellung auf die Besimmung aller komplexen Nullsellen eines Polynoms. Dazu benöigen wir Poenzen und Wurzeln komplexer Zahlen.

24 444 Komplexe Zahlen und Funkionen c) Bei der Orskurve der komplexwerigen Funkion z() = i, R erkenn man den Kurvenyp nich auf den ersen Blick. Man kann jedoch zeigen, dass gil: z() =. Die Orskurve is also ein Kreis mi Mielpunk bei z 0 = und Radius. Im 4i 3i i i Re i z() i z( ) z0 z(0) Orskurven lassen sich in karesischer Form oder in Exponenialform darsellen: z() = x() + i y() = r() e i ϕ(), I. Die karesische Form ensprich der Parameerdarsellung ebener Kurven, siehe Definiion 9.. Die Darsellung in Exponenialform ensprich der Darsellung ebener Kurven in Polarkoordinaen, siehe Definiion Harmonische Schwingungen Die mahemaische Beschreibung von Schwingungsvorgängen is Besandeil vieler Problemsellungen in Naurwissenschaf und Technik. Uner einer harmonischen Schwingung verseh man eine Oszillaion, die sich in Form einer Sinus- oder Kosinusfunkion darsellen läss, siehe Definiion 5.8. Technische Vorgänge lassen sich nur bei idealisieren Annahmen durch reine harmonische Schwingungen beschreiben. Trozdem bilden harmonische Schwingungen die Grundlage jeder Schwingungsanalyse. Dabei berache man harmonische Schwingungen meisens nich in Form von Sinus- oder Kosinusfunkionen, sondern in Form komplexer Funkionen mi einer reellen Veränderlichen, siehe Kapiel 3 und Kapiel. Saz.7 (Harmonische Schwingung) Jede harmonische Schwingung mi Kreisfrequenz ω läss sich sowohl durch eine Ampliude A > 0 und einen Phasenwinkel ϕ mi dem Kosinus als Grundfunkion als auch durch Überlagerung phasenwinkelfreier Sinus- und Kosinusfunkionen darsellen: A cos (ω + ϕ) = C cos (ω ) + C sin (ω ). Zur Umrechnung zwischen den beiden Darsellungen gelen die Formeln: C = A cos ϕ C = A sin ϕ A = C + C ϕ = arg(c i C )

25 .4 Komplexe Funkionen 449 Beispiel.3 (Transformaion von Orskurven) Die Orskurve der komplexwerigen Funkion z() = 3 + i + 3 ei, [0, π], is ein Kreis mi Mielpunk. Durch Muliplikaion mi der komlexen Zahl r = i ergib sich die um π 3 roiere und um den Fakor r = skaliere Orskurve 3 z() = 3 i z() = i + ei ( + π ), Im 4i 3i z 0 z 0 i i Re i i die ebenfalls wieder ein Kreis is. Insbesondere bei Wechselspannungen und Wechselsrömen in der Elekroechnik benöig man den Kehrwer von komplexen Zahlen. Die komplexwerige Sromsärke ensprich der komplexwerigen Spannung muliplizier mi dem Kehrwer der Impedanz. Definiion. (Inversion) Die komplexe Funkion f, die einer komplexen Zahl z ihren Kehrwer zuordne f(z) = z bezeichne man als Inversion. Für z = 0 is die Inversion sreng genommen nich definier. Man kann diesen Sachverhal jedoch auch anders inerpreieren. Die Zahl z = 0 wird ins Unendliche ransformier. Wenn also eine Orskurve durch den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene verläuf, dann is die inveriere Orskurve bis ins Unendliche ausgedehn. Die Inversion wird manchmal auch über eine Spiegelung am Einheiskreis und der reellen Achse beschrieben. Beispiel.4 (Inversion) a) Die Inversion des Ursprungskreises mi Radius r z() = r e i, [0, π] r = Im i i ergib einen Ursprungskreis mi Radius r z() = z() = r e i, [0, π], bei dem sich der Durchlaufsinn geänder ha. 3 3 i i Re

26 454 Komplexe Zahlen und Funkionen Aufgabe.8 Besimmen Sie die reellen Were A und ϕ aus der Gleichung 4 e i ϕ = A ( + 3 i i ). Aufgabe.9 Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichungen und skizzieren Sie die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene: a) z = 3 i b) z j = 0 c) z4 = + π ei + e i π Aufgabe.0 Besimmen Sie sämliche Nullsellen des Polynoms p(z) = z 4 z 3 z + 8 z 8. Aufgabe. Sellen Sie die harmonischen Schwingungen mi Kosinus als Grundfunkion dar: a) z() = cos sin b) z() = 3 cos + 4 sin c) z() = cos ( π ) cos ( ) 4 d) z() = cos ( π + π ) sin ( π 5 π ) 4 6 Aufgabe. Um welche Ar von Kurven handel es sich bei den folgenden Orskurven? Skizzieren Sie den Verlauf der Orskurven in der komplexen Ebene. a) z() = + i( 3) b) z() = + i + 3 cos + 3 i sin c) z() = i + i d) z() = i i Aufgabe.3 Auf was wird der Einheiskreis in der komplexen Ebene durch die Transformaion f(z) = abgebilde? z Anwendungsaufgaben Aufgabe.4 Skizzieren Sie den Polygonzug in der Gaußschen Ebene, der die sechs komplexen Zahlen 0,, + i, + 3 i, i, 0 in dieser Reihenfolge verbinde. Welche Figur enseh, wenn man alle sechs Zahlen mi + i muliplizier und das Ergebnis wieder in derselben Reihenfolge verbinde? Aufgabe.5 Wir berachen einen Widersand mi Impedanz Z R, einen Kondensaor mi Impedanz Z C und eine Spule mi Impedanz Z L. Berechnen Sie Realeil, Imaginäreil und Berag von Z(ω) mi Z(ω) = Z R + Z C Z L, Z R = R, Z C = Z C + Z L i ω C, Z L = i ω L und skizzieren Sie die Orskurve von Z(ω) in der komplexen Zahlenebene.

27 474 Gewöhnliche Differenzialgleichungen Alle Ausdrücke, die C(x) enhalen, kürzen sich heraus und die Gleichung läss sich direk nach C (x) auflösen: C (x) = r(x) a (x) y (x) C(x) = r(x) a (x) y (x) dx. Saz.6 (Parikuläre Lösung linearer Differenzialgleichungen. Ordnung) Eine parikuläre Lösung y p einer linearen Differenzialgleichung erser Ordnung a (x) y + a 0 (x) y = r(x) erhäl man durch Variaion der Konsanen mi der Formel y p (x) = y (x) r(x) a (x) y (x) dx. Dabei is y eine Fundamenallösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung. Dividier man die Differenzialgleichung a (x) y + a 0 (x) y = r(x) durch a (x), so erhäl man die ebenfalls gebräuchliche homogene Form y + g(x) y = h(x) mi der Lösung y p (x) = y (x) h(x) y (x) dx. Auf den ersen Blick schein man diese Formel und die Formel aus Saz.6 durch Kürzen von y weier vereinfachen zu können. Dies is naürlich nich der Fall, denn einmal seh y vor dem Inegral und einmal uner dem Inegral. Beispiel.0 (Differenzialgleichung erser Ordung) Zur Lösung der linearen Differenzialgleichung y an (x) y = sin x besimmen wir zunächs die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung durch Separaion. Mi der Formel aus Saz.5 ergib sich: y h (x) = Ce an x dx = Ce sin x cos x dx = Ce ln (cos x) = Ce ln (cos x) = C cos x. Eine parikuläre Lösung erhalen wir mi der Fundamenallösung y (x) = Formel aus Saz.6 zu y p(x) = cos x cos x (sin x) (cos x) dx = sin x cos x = cos x = cos x. cos x cos x Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung laue somi und mi der y(x) = y h (x) + y p(x) = C cos x. cos x

28 .3 Lineare Differenzialgleichungen 485 (D) Mehrfache komplexe Eigenwere Jedes doppele konjugier komplexe Paar Eigenwere λ = a ± i b einer linearen Differenzialgleichung mi konsanen Koeffizienen erzeug genau vier reelle Fundamenallösungen y (x) = e a x cos (b x), y (x) = e a x sin (b x), y 3 (x) = xe a x cos (b x), y 4 (x) = xe a x sin (b x). Falls die Vielfachhei des komplexen Eigenwers größer als zwei is, ensehen jeweils durch Muliplikaion mi x neue Fundamenallösungen y 5 (x) = x e a x cos (b x), y 6 (x) = x e a x sin (b x),... Beispiel.9 (Doppele komplexe Eigenwere) Die Differenzialgleichung y (4) + 4 y + 8 y + 8 y + 4 y = 0 ha die charakerisische Gleichung λ λ λ + 8 λ + 4 = 0. Durch Probieren gelang man auf die Fakorisierung (λ + λ + ) = 0 und dami auf die doppelen Eigenwere λ, = + i und λ 3,4 = i. Somi is y(x) = e x (C cos x + C sin x + C 3x cos x + C 4x sin x) die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung. Lösung einer homogenen linearen Differenzialgleichung Die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differenzialgleichung der Ordnung n mi konsanen Koeffizienen kann man durch folgende Schrie besimmen: () Berechne alle Eigenwere aus der charakerisischen Gleichung a n λ n + a n λ n a λ + a 0 = 0. () Besimme zu jedem Eigenwer λ i die Eigenfunkionen y i. Dabei sind Spezialfälle bei mehrfachen und komplexen Eigenweren zu beachen. (3) Die allgemeine Lösung beseh aus einer Linearkombinaion der Eigenfunkionen: y h (x) = C y (x) + C y (x) C n y n (x).

29 486 Gewöhnliche Differenzialgleichungen Beispiel.30 (Eigenwere) Die Eigenwere der Differenzialgleichung y (5) 3 y + 5 y = 0 sind λ, = 0, λ 3 = 4 und λ 4,5 = ± 3 i, siehe Beispiel.4. Es kommen also sowohl eine doppele reelle Lösung als auch ein komplex konjugieres Paar als Eigenwere vor. Die allgemeine Lösung dieser homogenen Differenzialgleichung is somi y(x) = C + C x + C 3 e 4 x + e x (C cos (3 x) + C sin (3 x)). Aufgrund der einfachen Srukur von linearen Differenzialgleichungen erzeugen Sörfunkionen in Form eines Polynoms in der Regel parikuläre Lösungen, die auch Polynome sind. Dasselbe Prinzip gil auch für Exponenialfunkionen und gedämpfe und ungedämpfe harmonische Schwingungen, siehe Beispiel.3. Deshalb wähl man als Ansaz für eine parikuläre Lösung einfach die Sörfunkion in einer ewas allgemeineren Form mi zunächs freien Koeffizienen. Die folgende Übersich zeig die Ansäze für einige Typen von Sörfunkionen. Söransazabelle Sörfunkion Polynom vom Grad n r(x) = a 0 + a x a nx n Exponenialfunkion r(x) = a e k x Ansaz für parikuläre Lösung Polynom vom Grad n y p(x) = A 0 + A x A nx n Exponenialfunkion y p(x) = A e k x Harmonische Schwingung Harmonische Schwingung r(x) = a cos (ω x) + a sin (ω x) y p(x) = A cos (ω x) + A sin (ω x) Gedämpfe harmonische Schwingung r(x) = e k x (a cos (ω x) + a sin (ωx)) Gedämpfe harmonische Schwingung y p(x) = e k x (A cos (ω x) + A sin (ωx)) Falls die Sörfunkion ein Polynom vom Grad n is, dann verwende man für die parikuläre Lösung ein Polynom vom selben Grad. Auch der Exponen k der e-funkion und die Kreisfrequenz ω von Sinus und Kosinus sind bei der Sörfunkion und dem ensprechenden Ansaz für eine parikuläre Lösung idenisch. Beim Söransaz muss ses der vollsändige Term angesez werden. Beseh die Sörfunkion nur aus a n x n, so benöig man für die parikuläre Lösung rozdem einen Ansaz mi einem kompleen Polynom vom Grad n. Auch wenn die Sörfunkion nur aus einem Sinus beseh, so brauch man für die parikuläre Lösung rozdem einen Ansaz mi einer Sinus- und einer Kosinusfunkion. Ensprechendes gil auch für gedämpfe Schwingungen.

30 .4 Schwingungsdifferenzialgleichungen 497 Aus einem Vergleich von linker mi recher Seie folg ϕ [0, π]. Außerdem ergib sich für die Ampliude A und den Winkel ϕ (ω0 ω E ) + 4 δ ωe = ω 0 x E A, an ϕ = δ ω E ω0. ω E Im Spezialfall ω E = ω 0 is ϕ = π und es lieg Resonanzfähigkei vor. Die Särke der Resonanz häng von der Dämpfung ab. Deshalb sprich man hier auch im Unerschied zum ungedämpfen Fall nich von Resonanz, sondern lediglich von Resonanzfähigkei. Definiion. (Unerkriische und überkriische Anregung) Eine harmonisch angerege, gedämpfe Schwingung bezeichne man als unerkriisch, falls die Erregerfrequenz ω E kleiner als die Kreisfrequenz ω 0 is. In diesem Fall lieg die Phasenverschiebung ϕ zwischen 0 und π. überkriisch, falls die Erregerfrequenz ω E größer als die Kreisfrequenz ω 0 is. In diesem Fall lieg die Phasenverschiebung ϕ zwischen π und π. Phasenverschiebungen lassen sich durch Experimene sehr gu beobachen. So kann man die Resonanzfähigkei eines Sysems experimenell besimmen. Beispiel.36 (Harmonisch angerege, gedämpfe Schwingung) Bei der Schwingungsdifferenzialgleichung x x E cos (ω E ) ẍ + ẋ + 4 x = 8 cos 3 handel es sich um ein schwach gedämpfes Problem mi Dämpfung δ = und Kreisfrequenz ω0 =. Die Erregerkreisfrequenz is ω E = 3 und die Erregerampliude x E =. Die homogene Lösung laue x h () = e (C cos ω δ + C cos ω δ ) mi der Kreisfrequenz ω δ = ω0 δ = 5. π π 3π 4π x x h () π π 3π 4π Die parikuläre Lösung x p() = A cos (3 ϕ) ha die Ampliude 8 A = ( 3 ) + 3 = Bei überkriischer Anregung lieg die Phasenverschiebung ϕ = arcan ( 3 ) + π zwischen π und π. 5 Bei der allgemeinen Lösung, die durch Überlagerung der homogenen und der parikulären Lösung enseh, ri nach einer gewissen Zei ein sogenanner eingeschwungener oder saionärer Zusand ein. Die exponeniell gedämpfe homogene Lösung spiel nur zu Beginn der Schwingung eine Rolle. x x x p () π π 3π 4π x() = x h () + x p () π π 3π 4π

31 .5 Differenzialgleichungssyseme 503 Definiion.9 (Phasenkurven, Phasenebene und Trajekorie) Werden zwei von der Zei abhängige Zusandsgrößen z () und z () einer Differenzialgleichung im z -z -Koordinaensysem dargesell, so sprich man von einer Phasenkurve, einer Zusandskurve oder einer Trajekorie. Die z -z -Ebene bezeichne man als Phasenebene oder Zusandsebene. Beispiel.40 (Freie Schwingungen in der Phasenebene) Die Differenzialgleichung einer freien Schwingung kann man mi den Zusandsgrößen z = x und z = ẋ als Sysem mi zwei Gleichungen erser Ordnung darsellen: ẍ + δ ẋ + ω ż = z 0 x = 0 ż = δ z ω0 z Für δ = 0 besehen die Lösungen aus ungedämpfen harmonischen Schwingungen: z () = x() = C cos ω + C sin ω z () = ẋ() = ω C sin ω + ω C cos ω Die Phasenkurven sind Ellipsen, wobei das Verhälnis der Halbachsen durch die Kreisfrequenz ω fesgeleg is. Den Gleichgewichspunk (0 0) bezeichne man als Wirbelpunk. Die Abbildung zeig den Fall ω =. Im Fall von schwacher Dämpfung, also für 0 < δ < ω 0, besehen die Lösungen aus gedämpfen harmonischen Schwingungen: z () = e δ (C cos ω δ + C sin ω δ ) z () = δ e δ (C cos ω δ + C sin ω δ ) + ω δ e δ (C cos ω δ C sin ω δ ). Die Phasenkurven sind Spiralen, die sich alle im Srudelpunk (0 0) reffen. Bei sehr sarker Dämpfung, also für δ > ω 0, besehen die Lösungen aus zwei e-funkionen mi negaivem Exponenen: z () = x() = C e λ + C e λ z () = ẋ() = λ C e λ + λ C e λ. Der größere der beiden negaiven Eigenwere λ, = δ ± δ ω 0 z 3 3 z 3 3 z 3 3 z z z besimm die Seigung der Ursprungsgeraden durch den Knoenpunk, an den sich die Phasenkurven annähern.

32 .5 Differenzialgleichungssyseme 505 Definiion.30 (Lineares Sysem mi konsanen Koeffizienen) Ein Differenzialgleichungssysem, das man in der explizien Form ẋ = a x + a x a n x n + r () ẋ = a x + a x a n x n + r () ẋ n = a n x + a n x a nn x n + r n () schreiben kann, nenn man ein lineares Differenzialgleichungssysem erser Ordnung mi konsanen Koeffizienen und Sörfunkionen r (), r (),..., r n (). Lineare Differenzialgleichungen erser Ordnung mi konsanen Koeffizienen sind von großer Bedeuung für Problemsellungen aus der Praxis. Differenzialgleichungssyseme, die sich nich als Sysem mi konsanen Koeffizienen darsellen lassen, kann man auf einem kleinen Variableninervall durch ein Sysem mi konsanen Koeffizienen annähern. Dieses Prinzip is so ähnlich wie die Annäherung einer Funkion mi mehreren Variablen durch ihre Tangenialebene, siehe Abschni Einzelheien dazu finde man beispielsweise bei [Heuser:DGL]. DGL-Sysem in Marixform Ein lineares Differenzialgleichungssysem erser Ordnung mi konsanen Koeffizienen läss sich in Marixform darsellen: ẋ ẋ ẋ n ẋ a a... a n a = a... a n a n a... a nn A Beispiel.4 (Sysem in Marixform) x x x n x r () r + (). r n () r() Das lineare Differenzialgleichungssysem erser Ordung mi konsanen Koeffizienen läss sich in Marixform darsellen: ẋ = 3 x + 3 x ẋ = ( 3 3 ẋ = 3 x 5 x 3 5 ) x. Die Darsellung linearer Differenzialgleichungssyseme durch Marizen is der Schlüssel zum Erfolg. Wir werden in diesem Abschni erläuern, wie man die Lösung eines Differenzialgleichungssysems durch Marizenrechung besimm. Saz.3 und Saz.4 gelen in ensprechender Form auch für lineare Differenzialgleichungssyseme. Ohne die Deails genauer zu berachen, überragen wir die Lösungssraegie für lineare Differenzialgleichungen auf Syseme. Das wichigse Prinzip bei linearen Differenzialgleichungen is die separae Unersuchung des homogenen Sysems. Man nenn ein Differenzialgleichungssysem homogen, falls alle Sörfunkionen idenisch null sind.